万有引力理论的成就总结

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1．在某行星上，宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重 力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得 其环绕周期为T。根据这些数据求该星球的质量和密度。 解析：设行星的质量为 M，半径为 R，表面的重力加速 度为 g，由万有引力定律得 F＝mg＝GMRm2 。 飞船沿星球表面做匀速圆周运动由牛顿第二定律得 GMRm2′＝m′4πT22R。
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3．常用的几个关系式
设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的中心天体做半径为
r 的匀速圆周运动。 (1)由 GMr2m＝mvr2得 v＝
GrM，r 越大，天体的 v 越小。
(2)由 GMr2m＝mω2r 得 ω＝ GrM3 ，r 越大，天体的 ω 越小。 (3)由 GMr2m＝m(2Tπ)2r 得 T＝2π GrM3 ，r 越大，天体的 T
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[特别提醒] (1)在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时，只 能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量。 (2)要掌握日常知识中地球的公转周期、地球的自转周 期、月球的周期等，在估算天体质量时，往往作为隐含条 件加以利用。 (3)要注意R、r的区分。R指中心天体的半径，r指行星 或卫星的轨道半径。若绕近地轨道运行，则有R＝r。
越大。
(4)由 GMr2m＝man 得 an＝GrM2 ，r 越大，天体的 an 越小。
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2.如图 6－4－1 所示，a、b 是两颗绕地球做
匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的
高度分别是 R 和 2R(R 为地球半径)。
下列说法中正确的是
()
图6－4－1
A．a、b 的线速度大小之比是 2∶1
B．a、b 的周期之比是 1∶2 2
ω＝ GrM3 可知，角速度 ω 变大，选项 D 错误。 答案：A
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[自学教材] 1．地球质量的计算 利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为 m 的
Mm 物体的重力等于地球对物体的万有引力 ，即 mg＝ G R2 ，
gR2 则 M＝ G ，只要知道 g、R 的值，就可计算出地球的质量。
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2．太阳质量的计算 利用某一行星：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动， 行星与太阳间的 万有引力 充当向心力，即 GMr2m＝4πT2m2 r，由
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由万有引力提供向心力有 GmL1m2 2＝m1ω2R1，① GmL1m2 2＝m2ω2R2。② (1)①②两式相除，得RR12＝mm21。 (2)因为 v＝ωR，所以vv12＝RR12＝mm21。 [答案] (1)m2∶m1 (2)m2∶m1
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[借题发挥] 有关求双星系统的问题的思路是相互的万有引力提供 各自做圆周运动的向心力，且二者有共同的角速度和周期， 二者的轨道半径之和是二者之间的距离。解题时一定要注 意，双星各自的轨道半径与它们之间的距离不同。
万有引力理论的成就总结
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1.若不考虑地球自转的影响，地面上物体所 受重力等于地球对物体的引力，即 mg＝ GMRm2 ，可得地球质量 M＝gGR2。
2．根据万有引力提供行星做圆周运动的向 心力，可得太阳的质量为 M＝4GπT2r23。 3．除了可以应用万有引力定律计算天体的质量外，还可以应 用万有引力定律发现未知天体，海王星的发现和哈雷彗星 的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
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[自学教材] 1．已发现天体的轨道推算 18世纪，人们观测到太阳系第七个行星——天王星的轨 道和用 万有引力定律 计算出来的轨道有一些偏差。 2．未知天体的发现 根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算 出未知天体的轨道，如海王星 、冥王星 就是这样发现的。
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[重点诠释] 1．解决天体问题的两条思路 (1)所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引 力。因此，向心力等于万有引力，是我们研究天体运动建立方 程的基本关系式，即 GMr2m＝ma，式中的 a 是向心加速度，根 据问题的条件可分别选用：a＝vr2，a＝ω2r，a＝4Tπ22r。 (2)物体在地球(天体)表面时受到的引力等于物体的重力， 即 GMRm2 ＝mg，式中的 R 为地球(天体)的半径，g 为地球(天体) 表面物体的重力加速度。
＝7.6×103 s。
[答案] 6.9×103 m/s 7.6×103 s
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[借题发挥] 定量计算问题中，除需要列出等式 GMr2m＝man＝mvr2 ＝mω2r＝m(2Tπ)2r 外，有时必须借助于 GMRm2 ＝mg 才能顺 利解题。
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2．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨
道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比 ( )
A．轨道半径变小
B．向心加速度变小
C．线速度变小
D．角速度变小
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解析：由 T＝2π
GrM3 可知，T 变小，则轨道半径 r 变小，
选项 A 正确；由 an＝GrM2 可知，向心加速度 an 变大，选项 B
错误；由 v＝ GrM可知，线速度 v 变大，选项 C 错误；由
4π2r3 此可得太阳质量 M＝ GT2 ，由此式可知只要测出行星绕太阳 运动的 周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量。
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3．其他行星的质量计算
利用绕行星运转的卫星：若测出该卫星与行星间的距
离
r
和转动周期 4π2r3
T，同样据
GMr2m＝ m(2Tπ)2r
可得出行星的
质量 M＝ GT2 。
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(1)地球的质量为多少？ (2)地、月之间的距离约为多少？ [思路点拨] 地球表面物体的重力近似等于地球对它的万 有引力大小；月球绕地球运动所需的向心力由地球对它的万有 引力提供。
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[解析] (1)设地球表面有一质量为 m1 的物体。 依题意有 m1g＝GMRm2 1， 解得 M＝gGR2。 (2)设月球质量为 m2，地、月之间的距离为 r。 由牛顿第二定律得 GMrm2 2＝m2(2Tπ)2r，
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2．解决天体问题时应注意的问题 (1)在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时，只能测 出中心天体的质量，而环绕天体的质量在方程式中被消掉了。 (2)由 GMRm2 ＝mg 可以得到：GM＝gR2。由于 G 和 M(地球 质量)这两个参数往往不易记住，而 g 和 R 容易记住，所以粗略 计算时，一般都采用上式代换。
C．a、b 的角速度大小之比是 3 6∶4
D．a、b 的向心加速度大小之比是 9∶4
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解析：两卫星均做匀速圆周运动，F 万＝F 向，向心力选不
同的表达形式分别分析。由GMr2m＝mvr2得vv12＝
rr12＝
3R 2R
＝
32，A 错误；由GMr2m＝mr(2Tπ)2 得TT12＝
r1 r2
33＝23
知 v＝ RG＋Mh。
①
由地球表面附近的物体受到的万有引力近似等于重力，
即 GMRm2′＝m′g，得 GM＝gR2。 ② 由①②两式可得
v＝ Rg＋R2h＝
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6．4×106×
9.8 6.4×106＋2.0×106 m/s
＝6.9×103 m/s。
运动周期 T＝2πRv＋h
＝2×3.14×66..49××110063＋2.0×106 s
3 解得 r＝
G4MπT2 2，
将 M＝gGR2代入上式得 r＝ 3 gR4π2T2 2。
[答案]
gR2 (1) G
3 gR2T2 (2) 4π2
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[借题发挥] (1)计算天体质量和密度的公式，既可以计算地球质量， 也可以计算太阳等其他星体的质量，需明确计算的是中心 天体的质量。 (2)要注意理解并区分公式中的R、r，R指中心天体的半 径，r指行星或卫星的轨道半径，只有在近“地”轨道运行时 才有r＝R。
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在上例条件下，试确定该“双星”系统运行的角速度。 解析：两星的角速度相同，则
GmL1m2 2＝m1ω2R1，GmL1m2 2＝m2ω2R2，
故RR12＝mm21。又因为 R1＋R2＝L，所以 R1＝mm1＋2Lm2，
所以 GmL1m2 2＝m1ω2mm1＋2Lm2，解得 ω＝ GmL1＋3 m2。
(1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度之比。 [思路点拨] 解决该问题应注意： (1)万有引力表达式中的距离不等于圆周运动的轨道半径。 (2)两星的向心力相等都等于万有引力。 (3)两星的角速度相同。
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[解析] 这两颗星必须各以一定速率绕某 一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在 一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做 圆周运动的角速度ω必须相同。如图所示，设 二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2。
23，
B
错误；由GMr2m＝mrω2
得ω1＝ ω2
r2 r1
33＝3
4
6，C
正确；由
GMr2m＝ma 得aa12＝rr21 22＝94，D 正确。
答案：CD
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[例1] 为了实现登月计划，先要测算地、月之间的距离。 已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，在地球附近物 体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，又知月 球绕地球运动的周期为T，万有引力常量为G，则：
答案：
Gm1＋m2 L3
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[例3] 已知地球半径R＝6.4×106 m，地面附近重力 加速度g＝9.8 m/s2，计算在距离地面高为h＝2.0×106 m的 圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T。
[思路点拨]
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[解析] 根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即 GRM＋mh2＝mRv＋2 h。
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1．已知万有引力常量G，现给出下列各组数据，可以计算出
地球质量的有
()
A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T
D．地球公转的周期T′及运转半径r′
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解析：由 GMRm2 ＝mg，得 M＝gGR2，故 A 正确。又由万有引力 提供向心力 GMr2m＝mvr2＝m4Tπ22r，得 M＝rGv2＝4GπT2r23，故 B、C 正确。若已知地球公转的周期 T′及运转半径 r′，只能求出 地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质 量，故 D 错误。 答案：ABC
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(2)若天体的某个卫星的轨道半径为 r，周期为 T，天体半径 为 R，则由 GMr2m＝m4Tπ22r 和 M＝ρ·43πR3 得 ρ＝G3Tπ2rR3 3。
(3)当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 r 等于 天体半径 R，则由 GMRm2 ＝m4Tπ22R 和 M＝ρ·43πR3 得 ρ＝G3Tπ2。
[重点诠释] 1．求天体质量的思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动， 做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的 万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量。
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2．天体密度的计算 根据密度公式 ρ＝MV ＝43πMR3，只要求出天体的质量代入此式 就可计算天体的密度。 (1)由天体表面的重力加速度 g 和半径 R 求此天体的密度： 由 mg＝GMRm2 和 ρ＝43πMR3得 ρ＝4π3GgR。
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联立解得 M＝16FG3πT44m3。
将 M 代入 ρ＝43πMR3，得 ρ＝G3Tπ2。
答案：16FG3πT44m3
3π GT2
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[例2] 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以 两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有 引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，二者 相距为L，求：