二阶微分方程习题课

由上述方程组解得
b0 2, b1 4, b2 3, C
1 2
于是求得一个特解为
y 2x2 4x 3 1 2 2x x e 2
故原微分方程的通解为
y Y y
e 2 x (C1 C2 x 1 2 x ) 2x2 4x 3 2
例3 求常系数齐次线性方程 y y 2 y 0; y(0) 0, y(0) 3 的通解和给定条件下的特解。 解 特征方程为
并求出
y 2b0 x b1 2Cxe2 x 2Cx 2e2 x y 2b0 2Ce2 x 8Cxe2 x 4Cx 2e2 x
代入原方程中，比较等式两端同类项系数，则有
常数项 2b0 4b1 4b2 0 8b 4b 0 x项 0 1 对应 2 4b0 8 x 项 e 2 x 项 2c 1
k x
0, j不是特征方程的根 k 1, j是特征方程的单根
由分解定理
Re y x k e x [Q1 ( x ) cosx Q2 ( x ) sinx] Im y x e [Q1 ( x ) sinx Q2 ( x ) cosx]
分别是以
k x
2 2 0
解得
1 2, 2 1
所以方程的通解为
y C1e2 x C2e x
由 y(0) 0, y(0) 3, 得C1＝－1，C2＝1，故所求特解为
y e x e2 x 例4 求方程 y 2ay a 2 y e x 的一个特解。
y( x) (1 2x)e x
例2 解微分方程
y 4 y 4 y 8x 2 e2 x .
解 所给方程的对应的齐次方程为
y 4 y 4 y 0
它的特征方程
r 2 4r 4 0
有一个二重实根 r＝2.于是对应的齐次方程的通解为
Y e2 x (C1 C2 x)
1 2 x y x e 2 1 ，故特解为 2
,
二、 f ( x ) Pm ( x )e cosx型
f ( x ) Pm ( x )e sinx型及其组合 型
y x [Q1 ( x ) jQ2 ( x )]e (cosx j sinx )
k
x
x
x
x e [(Q1 ( x ) cos x Q2 ( x ) sinx ) j (Q1 ( x ) sinx Q2 ( x ) cos x )]
2
特征根的情况
实根 r1
通解的表达式
1wenku.baidu.com2
2
r2 y C1e r x C 2 e r x 实根r1 r2 y (C1 C 2 x )e r x 复根 r i y ex (C1 cos x C 2 sin x ) 1, 2
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x) (2)
由于 f (x)= f1(x)＋ f2(x) ，而 f1(x) ＝8x2属于Pm(x) eλx型(其中Pm(x)＝ 8x2 ，λ＝0)； f2(x)＝ e2x也属于Pm(x) eλx型(其中Pm(x)＝1 ，λ＝2)。 且0及±2i均不是特征方程的根；2是特征方程的二重根，故设特解 为
y (b0 x 2 b1 x b2 ) Cx 2e2 x
分析 这个二阶常系数非齐次线性方程的非齐次项
f ( x) e x
这里f(x)=pm(x)eλx,其中pm(x)=1, λ=1 当a≠－1时，特征方程为λ2＋2aλ＋a2＝0，λ＝1不是特征方程的 根，所以特解
y x0aex a e x
将
y aex , y aex , y aex
二阶微分方程
习题课


二阶常系数线性微分方程的一般形式为 ay’’+by’+cy=f(x) a,b,c都是实系数，a≠0,f(x)是x的函数 当f(x)≡0 为二阶常系数线性齐次微分方程 当f(x)≡0 为二阶常系数线性非齐次微分方程
y py qy 0
r pr q 0
Y C1e x C2e2 x
由于λ＝1是特征方程 r2－3r＋2＝0的单根，因此设原方程的一个 特解为 y* = axex ，代入方程中，求得 a＝－2，故原方程的通解为
y( x) C1e x C2e2 x 2xex
其次确定初始条件，由所给条件知，在点(0,1)处所求曲线与已知 曲线 y＝x2－x＋1有公共的切线，因此所求函数应满足初始条件：y(0) ＝1及 y(0) 1 ，即有 y (0) C1 C2 0 1 0 y ( 0 ) C 2 C 2 e 1 1 2 从上述方程组中，解得C1＝2，C2＝1.故所求函数为
x f ( x ) e Pm ( x ) 型 一、
设 y x k e x Qm ( x ) ,
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
x y p y qy Ae 特别地
A x 2 p q e , 不是特征方程的根 A y xe x 是特征方程的单根 2 p A 2 x xe 是特征方程的重根 2
代入原方程，比较等式两边同类项系数，得 a
y
1 x e (a 1) 2
1 ，故特解 ( a 1) 2
当a＝－1时，特征方程为λ2－2λ＋1＝0，λ ＝1是二重特征
根，所以特解
y x 2 aex ax2e x
即
y ax2e x
将 y, y , y 代入原方程，比较同类项系数，得 a
f ( x ) Pm ( x )e x cos x
为自由项的非齐次线 性微分方程的特解
f ( x ) Pm ( x )e x sinx
例1 设函数 y = y (x)满足微分方程
y 3 y 2 y 2e x
且其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y＝x2－x＋1在该点的切线重合，求 函数 y = y (x) . 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且 f (x)＝2ex 是 Pm(x)eλx型(其中Pm(x)＝2，λ＝1)。 原方程对应的齐次方程为 y 3 y 2 y 0 ，其通解为