期货最优套期保值比率的估计分析

一、实验名称：期货最优套期保值比率的估计 二、理论基础
1. 期货套期保值比率概述
期货，一般指期货合约，作为一种套期保值工具被广泛使用。

进行期货套期保值交易过程中面临许多选择，如合约的选取，合约数量的确定。

如果定义套期保值比h 为期货头寸与现货头寸之商的话，在上面的讨论中一直假设期货头寸和现货头寸相同，即套期保值比h 为1，但这不一定是最优的套期保值策略。

如果保值者的目的是最大限度的降低风险，那么最优套期保值策略就应该是让套保者在套保期间内的头寸价值变化最小，也就是利用我们如下所说的头寸组合最小方差策略。

考虑一包含s C 单位的现货多头头寸和f C 单位的期货空头头寸的组合，记t S 和t F 分别为t 时刻现货和期货的价格，该套期保值组合的收益率h R 为：
f s t
s t
f t s h hR R S C F C S C R -=∆-∆=
（2-1） 式中： s
f
C C h =
为套期保值比率，t
t
s S S R ∆=
，t
t
f F F R ∆=
,1--=∆t t t S S S ，
1--=∆t t t F F F 。

收益率的方差为：),(2)()()(2
f s f s h R R hCov R Var h R Var R Var -+= （2-2）
（2）式对h 求一阶导数并令其等于零，可得最小方差套期保值比率为：
f
s
f f s R Var R R Cov h σσρ
==
)
(),(* （2-3） 其中：ρ为s R 与f R 的相关系数，s σ和f σ分别为s R 与f R 的标准差。

2. 计算期货套期保值比率的相关模型
虽然上述的介绍中的*
s
f h σρ
σ=可以求解最优套期保值比，但其操作性不强，
其先要
分别求三个量然后再计算*h ，显然误差较大 ，下面为几种常见的关于求解最优套期保值比
率的时间序列模型。

1) 简单回归模型（OLS ）
考虑现货价格的变动（△S ）和期货价格变动（△F ）的线性回归关系，即建立：
t t t F h c S ε+∆+=∆* （2-4）
其中C 为常数项，t ε为回归方程的残差。

但是上述线性回归模型常常会遇到残差项序列相关和异方差性的问题，从而降低参数估计的有效性。

2) 误差修正模型（ECM ）
现实中的期货价格和现货价格序列往往是非平稳的，期货合约定价理论决定了期货价格与现货价格序列的走势之间存在着某种共同的趋势，即期货价格和现货价格序列之间可能存在协整关系。

在计量分析中，若两个时间序列之间存在协整关系，那么传统的OLS 的估计量将是有偏的，换句话说，得到的“最优”套期保值比率将不是最优的，存在一定的偏误。

Ghosh （1993）通过实证发现：当不恰当地忽略协整关系时，计算出的套期保值比率将小于最优值。

Lien & Luo （1993）、Ghosh （1993）与Chou 、 Fan& Lee (1996)分别提出了估计最优套期保值比率的误差修正模型，并使用两步法进行估计。

ECM 模型将从期货价格和现货价格序列开始分析起，得出能同时反应短期关系和长期关系相结合的模型使得估算出更精确的最优套期保值比率。

考虑现货价格和期货价格的水平序列，一般情况下，通过自相关图和单位根检验现货价格和期货价格序列都不平稳，都存在一个单位根，但对两者进行回归，发现回归方程比较显著，对残差序列进行单位根检验，通常会得出拒绝其为非平稳序列的结论。

说明现货价格和期货价格间可能存在协整关系，即现货价格与期货价格间可能存在长期均衡关系。

Lien & Luo （1993）认为，若现货和期货价格序列之间存在协整关系，那么，最
优套期保值比率可以根据以下两步来估计。

第一步，对下式进行协整回归：
t t t bF a S ε++= （2-5）
第二步，估计以下误差修正模型：
∑∑=--=--+∆+∆+∆+-=∆n
j t j t j i t m i i t t t t e S F F F S S 1
1
11)(θδβα （2-6）
（2-6）式中β的OLS 估计量β
ˆ即为最优套期保值比率*
h 。

Chou 、 Fan& Lee (1996)将第二步的误差修正模型改为：
∑∑=--=-+∆+∆+∆+=∆n
j t j t j i t m i i t t t e S F F S 1
1
1ˆθδβε
α （2-7） 其中：)ˆˆ(ˆ1
11---+-=t t t F b a S ε为（2-5）式中估计的残差项，也称为误差修正项（ECM ）， 运用误差修正模型对参数进行估计时，先估计方程（2-5），保留其残差项，然后利用方程（2-7）估计参数得到最优套期保值比率*
h 。

模型建立和估计的过程将在实验过程中给出。

3) ECM-BGARCH 模型
方程（5）中还存在一个问题：残差序列μ是否是同方差，就金融时间序列来讲，误差的方差不随时间而发生变化是不太可能的，因此，假定模型残差的方差不是常数是一种合理的考虑，它还描述残差是如何变化的。

观察金融资产的收益序列往往发现其表现出“波动聚集”的特征，即波动的当期水平往往与它最近的前些时期的水平正相关关系。

这将导致用资产价格收益的序列进行回归时，其残差项往往不具备同方差性，残差项方差和其前期方差存在一定的关系，常常用ARCH 过程或广义ARCH 过程（GARCH ）来描述这种关系。

需要注意的是一元GARCH 模型仅能估计单一变量的条件方差，无法估计序列之间的协方差。

为此我们要估计最优套期保值比率h=COV(△S,△F)/VAR(△F)，需要建立二元GARCH(B-GARCH)模型。

在这里我们采用。

下面我们分别采用常数二元GARCH 模型和D —BEKK 二元GARCH 模型给出ECM-B-GARCH 方法下估计最优套期保值比率的模型。

两种GARCH 模型运用均值方程相同都为
,111,1111
ˆˆ()s t s S t t f f t f t t t t t C z S C z F z S F εδδεαβ-------⎡⎤
∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=-+
(2-8)（其中即上文提到的误差修正项） 1~(0,)t t t N H ε-Ω 注意此处的均值方程中包含了误差修正项，即考虑了现货价格和期货价格的长期协整关系。

a) 常数相关系数的二元GARCH 模型
常数相关系数的二元GARCH 模型的条件方差方程：
11()()t t t t
vec H C A vec B H εε--'=+⋅+⋅⨯⨯其中：C 为31的参数向量；A 和B 均为33的系数矩阵）
同时为了简化参数估计，假定残差项
,s t
ε 和
,f t
ε之间的相关系数为常数
sf
ρ（注意没有时
间下标t ）。

此时,,,,001100
ss t
sf t sf sf t
ff t sf
h h h h ρρ⎤⎤⎡⎤⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎣t H Vec 算子取矩阵的“上三角形”部分，把每一元素排成一个单列的向量。

例如：
,,,ss t t ff t sf t h vec H h h ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（）=。

这样我们把上述矩阵形式表示的条件方差方程可展开得到：
2,,1,12,,1,1,ss t SS SS s t ss ss t ff t ff ff f t ff ff t sf t sf h C h h C h h αεβαεβρ----=++=++= b) D —BEKK 模型
D —BEKK 模型的条件方差方程为：
'111,,11121111
,,222222()()()(29)00()000t t t t ss t sf t t sf t
ff t vec H vec C C vec A A vec B H B h h C C H C A h h C εεαβαβ---'''=++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
（）、、B=
Vec 算子取矩阵的“上三角形”部分，把每一元素排成一个单列的向量。

例如：
,,,ss t t ff t sf t h vec H h h ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（）=。

这样我们把上述矩阵形式表示的条件方差方程可展开得到：
2222,1111,111,122222,221222,122,1
,11222211,1122,1,1
= + + + + + + ss t ss t s t ff t ff t f t sf t sf t s t f t h C h h C C h h C C h βαεβαεββααεε------⨯⨯=+⨯=⨯⨯⨯
得到最优套期保值比率,*,(,)()
st ft sf t t ft ff t
Cov h B Var h εεε=
=。

为了不与条件方差项混淆，此处最优套
期保值比率用*
t B 表示，表明运用ECM-B-GARCH 法得到的最优套期保值比率是随时间变化的一个序列，表明我们要随着时间的变化不断调整套期保值的头寸。

3. 期货套期保值比率绩效的评估
为了对利用最小方差套期比的绩效进行评估，我们考虑一包含1 单位的现货多头头寸和h 单位的期货空头头寸的组合。

组合的利润H V ∆为：t f t s H F C S C V ∆-∆=∆ (2-10)
套期保值组合的风险为：
),(2)()()(22F S Cov C C F Var C S Var C V Var f s f s H ∆∆-∆+∆=∆ (2-11)
由于现货的持有头寸在期初即为已知，因此，可以视之为常数，等式两边同除2
s C ，得：
),(2)()()()(*
2*2
F S Cov h F Var h S Var C V Var s
H ∆∆-∆+∆=∆ (2-12) 对于不同方法计算出的最优套期保值比率*
h ，我们可以通过比较（2-12）来对它们各自套期保值的保值效果进行分析。

三、实验目的
利用上述理论模型估计中国期货交易所交易的期货合约的最优套期保值比率并对保值效果进行绩效评估，说明期货套期保值在经济生活中的重要作用，并找出绩效评估最佳的套期保值比率模型。

同时帮助读者熟悉EVIEWS 软件的操作，使读者能用互联网上的数据分析解决实际的金融问题。

四、实验方法
在实验过程中使用时间序列分析的方法对整理后的价格时间序列按照上面的理论基础模型进行建立模型以得到最优套期保值比率系数，其中涉及时间序列分析中的方法有：模型参数估计，参数的显著性检验，变量平稳性检验（含单位根检验），回归残差项的ARCH效应检验等。

这些过程都将在EVIEWS软件中进行，因此EVIEWS软件的使用方法也是我们重要的实验方法。

五、实验过程
（一）数据的搜集和整理
1、数据的搜集
本报告以上海期货交易所中铝的期货合约为例，利用上面介绍的方法通过EVIEWS的操作估计中国期货交易所交易的期货合约的最优套期保值比率并对其绩效进行简单评估。

由于期货合约在交割前两个月最活跃，使得其价格信息释放较为充分，更能反映期货合约的真实价值，所以中国企业多用距离交割月份较近的期货合约进行保值，故选择了在任何一个时点的后一个月进入交割月的期货合约的中间价格作为分析对象。

从国泰君安数据库上下载了AL的2013年1月4号到2013年12月31号的现货价格数据，按上段的方法在上海期货交易所网站上得到相应的期货数据并在EXCEL中进行整理，整理后我们得到含有238对期货现货数据的EXCEL文件。

2、EVIEWS工作文件的建立
打开EVIEWS，选择FILE下拉菜单中NEW 项在NEW项下的下拉菜单中选择WORKFILE项，弹出如图2.1所示workfile creat菜单窗口：
（1）在date specification中的Frequency的下拉复选框中选择interger date；（2）在start和end中分别输入1和238；
（3）在WF项后面的框中输入工作文件名称HR，点击OK项
弹出如图1所示的工作文件窗口，这样就建立了样本期从1到238的整数频率工作文件HR。

图1 工作文件HR对话框
3、数据的导入
在HR工作文件的菜单项中选择Proc，在弹出的下拉菜单中选择Import，然后在二级下拉菜单中选择Read Text-lotus-Excel，找到数据EXCEL文件存储路径后双击文件名。

选定数据的排列顺序：By observations，选项右边Upper-left data cell下的空格填写Excel工作文件左上方第一个有效数据单元格地址，系统默认的为B2，在中输入序列的名称，这里命名为f及s分别为期货和现货价格序列。

同时还可以输入数据截取范围，一般不须改变EVIEWS的默认值。

点击OK按钮，数据序列即被导入，在工作文件中以图标形式显示，见下图2。

图2 数据导入后的工作文件
4、数据的验证和保存
点击导入的序列f，查看导入序列是否正确合理。

接着保存工作文件，选File\Save打开保存对话框，输入工作文件名和保存的位置。

这里将保存的工作文件命名为FS，点击OK按钮即可，EVIEWS将在指定的目录位置，以FS.WF1的名称保存工作文件。

（二）利用Eviews估计最优套期保值比率
1、用OLS模型估计最优套期保值比率
1)调整样本期
在EVIEWS命令窗口中输入“smpl 2 238”并按回车键执行命令将样本期调整到2到238。

这里调整样本期的目的是为了对价格序列进行差分。

2)建立F和S的差分序列
在EVIEWS命令窗口中输入“series if=f-f(-1) ”并按回车键执行命令得到期货价格的差分序列if；在EVIEWS命令窗口中输入“series is=s-s(-1)”并按回车键执行命令得到现货价格的差分序列is，如图3，这里的is和if即我们上面所说的价格变化序列△F 和△S。

图3 F和S的差分序列生成
3)建立△F 和△S 的OLS简单回归模型
在EVIEWS命令窗口中输入ls is c if并按回车键执行命令得到期货价格的差分序列if对现货价格的差分序列is的回归方程，结果如图4所示：
写成方程式为：∆S t=−0.230444+0.698767∆F t+μt方程一
t (-0.1674) (25.5769)
p (0.8672) (0.0000)
第二行括号里是t统计量，第三行括号里是p值，结果显示该方程整体上显著的，且解释变量系数很显著（p值为0），故基本认可该回归模型。

回归结果表明每一单位的现货头寸要用0.698767单位相反的期货头寸进行对冲，即最优套期保值比为0.698767。

图4 OLS估计结果
2、用ECM模型估计最优套期保值比率
1)期货价格序列即f序列的平稳性检验
点击打开f序列，选择菜单View\correlogram，弹出correlogram specification对话框，在对话框中选择Level表明对原序列进行检验，因为样本期有数据238个，在滞后期空格处填写24（用238除以10，取近似值），点击OK，出现以下结果（见图5）
图5 期货价格的自相关及偏相关系数
从序列的自相关系数（autocorrelation）没有很快的趋近与0，可以看出原序列是非平稳的序列。

下面对其进行进一步的单位根检：选择菜单View---Unit root test项弹出窗口，在检验类型（Test type）中选择默认的ADF检验。

Test for unit in 中可以选择对原序列，一阶差分或二阶差分序列做单位根检验，这里我们先保持默认的level，即原序列。

Include in test equation中选择第二个选项，即同时具有趋势项和常数项（因为资产价格序列往往有一定的趋势和截距），其它选项保持系统默认值，点击OK得到图6：
图6 期货价格序列单位根检验结果
从结果可以看出ADF检验值大于各显著水平临界值，且犯第一类错误的概率大于0.1，说明我们不能拒绝原序列存在一个单位根的假设。

重复上述操作，在选择Test for unit in时候选择1st difference即对一阶差分序列进行检验，得到图7：
图7 期货价格一阶差分序列单位根检验结果
从结果中可以看出ADF统计量小于临界值，犯第一类错误概率接近为0，说明一阶差分序列不存在单位根。

综上两次检验我们可以肯定期货序列f是一阶单整的。

2、现货价格序列即s序列的平稳性检验
与期货价格序列平稳性检验过程相同，对现货价格进行自相关检验和两次单位根检验的结果见图8-10：
图8 现货价格的自相关及偏相关系数
图9 现货价格序列单位根检验结果
图10 现货价格一阶差分序列单位根检验结果
从图8-10中我们发现现货价格序列s也不平稳，它与期货价格一样也是一阶单整的。

3、对现货价格序列s和期货价格序列f的协整检验
由于期货价格序列与现货价格序列是同阶单整的，故满足协整检验前提。

接下来我们用现货价格对期货价格做回归，用其残差来检验期货价格序列与现货价格序列是否存在协整关系。

在EVIEWS命令窗口中输入smpl 1 238并按回车键执行命令将样本期调整到1到238.在EVIEWS命令窗口中输入ls s c f并按回车键执行命令得到图11。

图11 现货价格对期货价格回归结果
从图11中t统计量和F统计量都可以认为模型是显著的，选择菜单Name保存模型，默认其名为eq02，下面进一步对其残差进行单位根检验：
（1）先保存上述回归方程中的残差。

在EVIEWS命令窗口中输入series e=resid 并按回车键，上述回归方程中的残差将保存到新序列e 中。

（2）打开序列e，选择菜单View\Unit root test，在弹出的对话框中，选择对序列e 进行不含趋势向和常数项的检验，得到如下结果（见图12）：
图12 残差e序列单位根检验结果
结果显示在1%的置信区间内可以接受残差序列e不含单位根的假设。

这说明两序列协整关系存在，因此这里的残差项e可以当作误差修正项用作建立误差修正模型。

4、建立含有误差修正项的△F 和△S 间的误差修正模型
（1）在EVIEWS命令窗口中输入smpl 2 238并按回车键执行命令将样本期调整到2到238。

（2）在EVIEWS命令窗口中输入ls is c if e(-1) 并按回车键执行命令并选择菜单Name以默认名eq03保存。

结果如图13：
图13 期货价格与现货价格的协整方程
协整回归方程式为：
∆S=−0.235416+0.695819∆F t+−0.024320ECM t−1+μt方程2
t (-0.171518) (25.48145)
p (0.8640) (0.0000)
从F统计量看出该方程整体上是系数显著的，自变量系数和误差修正项系数的t统计量都很显著，故该回归模型拟合的较好。

回归结果表明每一单位的现货头寸要用0.695819单位相反的期货头寸进行对冲，即最优套期保值比为0.695819，这比简单的OLS模型估计出的结果0.698767稍小。

（三）用ECM-BGARCH模型估计最优套期保值比率
1、ARCH效应检验
在建立ARCH模型之前，先必须对方程2的残差进行ARCH效应检验。

先选择菜单命令View\ResidualTests\ARCH—LM，在滞后项（lags to include）中填上3，点击
OK ，出现如下检验结果（图14）：从图14可以看出，F 统计量和LM 统计量（Obs*R-squared ）都是显著的，说明方程残差项具有ARCH 效应，故可以建立ECM-BGARCH 模型。

图14 残差的ARCH 效应检验结果
下面我们将分别运用常数相关系数二元GARCH 模型和D-BEKK 二元GARCH 模型分别说明点击菜单的最优套期保值比率估计。

（1）常数相关系数二元GARCH 模型（CCC-BARCH ）（菜单式操作）
由于我们假定残差项,s t ε 和,f t ε之间的相关系数为常数sf ρ，故可通过分别对△S 、△F 做两个单方程的GARCH 估计得到,ss t h 和,ff t h ，并用△S 、△F 均值方程的残差序列的相关系数作为sf ρ。

①对△S 做单方程的GARCH 估计
点击EVIEWS窗口菜单Quick/Estimate Equation命令出现窗口，在Method下拉项中选择ARCH项，弹出如图15所示的窗口。

图15 GARCH估计方程对话框
在Mean Equation中输入均值方程的变量is c if e(-1)，其它保持默认，点击确定并将其保存为eq04得到如下结果(见图16)：
图2.22 GARCH方程估计结果
得到GARCH方程估计结果后，需保存均值方程的残差序列。

在命令框输入：“series resid01=resid.”此时resid中存放的残差项是主方程（均值方程）的，而这正是我们所需要的。

同时点击proc\make garch variance series，得到估计的条件方差序
garch01(见图17)
图17 均值方程残差的条件方差
②对△F做单方程的GARCH估计
使用与前面相同的操作，我们又得到一个残差序列resid02和garch02.然后将残差序列resid01和resid02以组的方式打开，点击view\correlation\common sample，便可看到resid01和resid02的相关系数
如图18：
sf
图18 相关系数矩阵
③计算动态最优套期保值比率
在命令框输入命令：series h=ρsf *(garch01)^.5/(garch02)^.5便可得到一个动态套
期保值的序列。

点击view\graph\line，得到图19
图19 CCC-BARCH模型下的动态套期保值比率
点击view\descriptive stastics\stats table 便得到最优套期保值序列的均值和标准差（见图20）。

图21 CCC-BARCH模型下动态套期保值比率的统计性描述
三、对利用最小方差套期比的套保组合进行绩效评估.
在第2步中，通过OLS ，ECM模型估计出的最优套期保值比分别为0.698767 ，0.695819，ECM-BGARCH模型计算出的最优套期保值比率均值为0.700519。

现在我们用上述三个套期保值比套期保值的组合和没有经过套期保值的现货收益率进行方差比较，这里收益用价格相对变化表示。

即比较VAR([△S-0.698767△F]/[S-0.698767F]),
VAR([△S-0.695819△F]/[S-0.695819F]) ,VAR(△S/S).
其在EVIEWS中的实现过程如下：
第一步，在EVIEWS命令窗口中分别执行命令：
Series P1=(is-0.698767*if)/(s-0.698767*f)
SeriesP2=(is-0.695819*if)/(s-0.695819*f)
Series P4=is/s
SeriesP3=(is-h t**if)/(s- h t**f)
由上得到的P1、P2、P3及P4分别表示由OLS、ECM、没有经过套期保值H以及D-BEKK-BGARC的收益率。

第二步，打开P1序列，在序列菜单VIEW下拉菜单下观察序列的描述性统计量Descreptive statistics中的Histogram and stats我们得到如下结果（见图22）：
图22 OLS下套期保值效果的统计性描述
由Std.Dev.后面的数据0.004820说明序列P1标准差=0.004820。

第三步，打开P2序列，在序列菜单VIEW下拉菜单下观察序列的描述性统计量Descreptive statistics中的Histogram and stats我们得到如下结果（见图2.31）：
图23 ECM下套期保值效果的统计性描述
由Std.Dev.后面的数据0.004774 说明序列P2标准差=0.004774。

第四步，打开P3序列，在序列VIEW下拉菜单下观察序列的描述性统计量Descreptive statistics中的Histogram and stats我们得到如下结果（见图2.32）：
图2.31无保值组合的统计性描述
由Std.Dev.后面的数据0.026287说明序列P3标准差=0.0262872。

第五步，将上述所得结果列入下表中进行比较，如下所示：
表2-1 不同方法下套期保值效果比较
从表2-1中可以看出，（1）经过套期保值的组合收益率方差都比未经过套期保值的收益率，说明用期货套期保值是有效的；（2）利用ECM-BGARCH模型进行套期保值的组合收益率的方差最小，能最大限度的降低价格风险，在用于测算最优套期保值比时更精确。