2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档：选修4-4 第二节 参 数 方 程 Word版含答案

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第二节参数方程
2019考纲考题考情
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：错误!①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y）都在这条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程,t叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．直线的参数方程
过定点P0(x0，y0）且倾斜角为α的直线的参数方程为错误!(t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段错误!的数量。

3．圆的参数方程
圆心为(a，b），半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成
的角α为参数的圆的参数方程为错误!(α为参数)α∈[0，2π）.
4．椭圆的参数方程
以椭圆的离心角θ为参数，椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的参数方程为错误!（θ为参数），θ∈［0,2π）.
1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t）的值域,即x和y的取值范围。

2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为:|t｜是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0）的距离。

一、走进教材
1．（选修4－4P26T4改编）在平面直角坐标系中，曲线C：错误!(t为参数）的普通方程为________。

解析消去t，得x－y＝1,即x－y－1＝0。

答案x－y－1＝0
2．(选修4－4P37例2改编)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l：错误!(t为参数）过椭圆C：错误!（φ为参数）的右顶点，求常数a的值。

解直线l的普通方程为x－y－a＝0,
椭圆C的普通方程为错误!＋错误!＝1，
所以椭圆C的右顶点坐标为（3，0)，
若直线l过(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.
二、走出误区
微提醒：①不注意互化的等价性致误；②直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；③交点坐标计算出错致错。

3．若曲线C的参数方程为错误!(θ为参数),则曲线C 上的点的轨迹是（）
A．直线x＋2y－2＝0
B．以（2,0)为端点的射线
C．圆（x－1）2＋y2＝1
D．以（2，0）和（0，1）为端点的线段
解析将曲线C的参数方程化为普通方程得x＋2y －2＝0（0≤x≤2,0≤y≤1)。

故选D。

答案D
4．已知直线错误!(t为参数）上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB｜＝( ）
A．｜t1＋t2｜B．｜t1－t2｜
C.错误!｜t1－t2| D。

错误!
解析依题意，A(x0＋at1，y0＋bt1)，B（x0＋at2，y0＋bt2)，则|AB｜＝
［x0＋at1－x0＋at2]2＋［y0＋bt1－y0＋bt2]2
＝错误!|t1－t2|。

故选C.
答案C
5．在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为错误!(t 为参数）,则C1与C2交点的直角坐标为________。

解析由ρ（cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2①.
又错误!消去t，得y2＝8x②。

联立①②得错误!即交点坐标为（2，－4）.
答案(2,－4）
考点一参数方程与普通方程的互化
【例1】把下列参数方程化为普通方程。

(1）错误!(t为参数）.
(2）错误!(θ为参数,θ∈［0,2π））。

解(1)由已知得t＝2x－2，
代入y＝5＋错误!t中得y＝5＋错误!(2x－2）。

即它的普通方程为3x－y＋5－3＝0.
(2）因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，
即y＝1－x2。

又因为|sinθ|≤1,
所以其普通方程为y＝1－x2(｜x|≤1）.
将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性。

参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等。

【变式训练】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为错误!（α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin
错误!＝错误!m.
(1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
（2）若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值
范围。

解（1)由曲线C1的参数方程为
错误!（α为参数)，可得其普通方程为y＝x2（－2≤x≤2)，
由曲线C2的极坐标方程为ρsin错误!＝错误!m，可得其
直角坐标方程为x－y＋m＝0。

（2)联立曲线C1与曲线C2的方程，
可得x2－x－m＝0，
所以m＝x2－x＝错误!2－错误!,
因为－2≤x≤2，曲线C1与曲线C2有公共点，
所以－错误!≤m≤6.
考点二直线参数方程的应用
【例2】（2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为错误!（θ为参数)，直线l的参数方程为错误!(t为参数）。

（1)求C和l的直角坐标方程;
(2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
解(1）曲线C的直角坐标方程为错误!＋错误!＝1。

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x ＋2－tanα,当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1。

(2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0①。

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解,设为t1，t2,则t1＋t2＝0。

又由①得t1＋t2＝－错误!，
故2cosα＋sinα＝0，
于是直线l的斜率k＝tanα＝－2。

1．直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离。

2．根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论：
(1)若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为
t1,t2,则弦长l＝|t1－t2|。

（2)若定点M0(标准形式中的定点）是线段M1M2(点M1，M2对应的参数分别为t1，t2，下同)的中点，则t1＋t2＝0.
(3)设线段M1M2的中点为M,则点M对应的参数为t M ＝错误!.
【变式训练】（2019·西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

已知直线l的参数方程为错误!(t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ。

（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB｜.
解（1)由ρsin2θ＝4cosθ，
可得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，
所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x。

（2)将直线l的参数方程代入y2＝4x，
整理得4t2＋8t－7＝0，
所以t1＋t2＝－2，t1t2＝－错误!,
所以｜AB｜＝－32＋22｜t1－t2｜＝错误!× 错误!＝错误!×错误!＝错误!.
考点三圆与椭圆参数方程的应用
【例3】（2017·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为错误!（θ为参数），直线l的参数方程为错误!(t为参数）。

（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；
（2)若C上的点到l距离的最大值为错误!，求a。

解（1）曲线C的普通方程为错误!＋y2＝1。

当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0。

由错误!解得错误!或错误!
从而C与l的交点坐标为(3，0），错误!。

(2）直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，
故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为
d＝错误!＝错误!,
其中sinφ＝错误!，cosφ＝错误!。

当a≥－4时，d的最大值为错误!。

由题设得错误!＝错误!,所以a＝8;
当a〈－4时，d的最大值为错误!。

由题设得错误!＝错误!，所以a＝－16。

综上，a＝8或a＝－16。

椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解。

【变式训练】(2019·安徽质检)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2错误!ρsin错误!－2＝0,曲线C2的极坐标方程为θ＝错误!(ρ∈R)，C1与
C2相交于A，B两点。

(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；
(2）若P为C1上的动点，求｜PA|2＋|PB|2的取值范围。

解(1）由题意知，C1:(x＋1)2＋（y－1)2＝4，
C2:x－y＝0。

联立错误!
解得A（－1,－1),B（1，1)或A(1，1)，B（－1，－1）.
（2)设P(－1＋2cosα，1＋2sinα),
不妨设A（－1，－1），B（1,1),
则｜PA｜2＋｜PB|2＝（2cosα)2＋（2sinα＋2）2＋(2cosα－2)2＋(2sinα）2＝16＋8sinα－8cosα＝16＋8错误!sin错误!，
所以|PA|2＋｜PB|2的取值范围为
［16－82，16＋82］。

考点四求曲线的参数方程
【例4】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为错误!(θ为参数)，过点(0，－错误!)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点。

（1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程。

解（1）⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝π2
时，l 与⊙O 交于两点. 当α≠错误!时,记tan α＝k ，
则l 的方程为y ＝kx －2。

l 与⊙O 交于两点当且仅当错误!〈1，
解得k <－1或k 〉1，
即α∈错误!或α∈错误!.
综上,α的取值范围是错误!.
（2）l 的参数方程为错误!错误!。

设A ,B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t p ＝错误!，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0。

于是t A ＋t B ＝2错误!sin α,t P ＝错误!sin α。

又点P 的坐标(x ，y ）满足错误!
所以点P 的轨迹的参数方程是
错误!错误!。

求曲线的参数方程最为关键的一点是根据题意合理恰当地选择参数，比如本题选择了直线的倾斜角α为参数,并且也要注意参数的取值范围。

【变式训练】 如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程。

解 圆的半径为12
, 记圆心为C 错误!，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，
故x P ＝错误!＋错误!cos2θ＝cos 2
θ， y P ＝错误!sin2θ＝sin θcos θ(θ为参数)。

所以圆的参数方程为错误!（θ为参数)。

错误!
1．（配合例2使用）已知直线l 的参数方程为错误!（t 为参数)，以直角坐标系xOy 的原点为极点,x 轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4错误!sin
错误!.
(1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若P点的直
角坐标为（2,1)，求｜|PA|－｜PB|｜的值。

解（1）易得直线l的普通方程为y＝x－1。

因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4错误!sin错误!＝
4sinθ＋4cosθ，即ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0(或写
成(x－2)2＋(y－2)2＝8）。

(2）点P(2，1)在直线l上，且在圆C内,把错误!代入x2＋y2－4x－4y＝0，得t2－2t－7＝0,
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2,则t1＋t2＝错误!，t1t2＝－7〈0，即t1,t2异号，
所以|｜PA｜－|PB||＝||t1|－｜t2|｜＝|t1＋t2｜
＝错误!。

2．(配合例3使用)在直角坐标系xOy中,曲线C1的
参数方程为错误!(t为参数,m∈R）,以原点O为极点,x轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程
为ρ2＝错误!（0≤θ≤π)。

（1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方
程；
（2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最
小距离为2错误!，求m的值。

解(1）由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0.
由曲线C2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3,θ∈[0,π]，
所以曲线C2的直角坐标方程为错误!＋y2＝1(0≤y≤1).
（2）设曲线C2上任意一点P的坐标为（错误!cosα，sinα)，α∈［0，π]，
则点P到曲线C1的距离d＝错误!＝
错误!。

因为α∈[0，π]，所以cos错误!∈错误!，
2cos错误!∈［－2，错误!］，
由点P到曲线C1的最小距离为2错误!得,
若m＋错误!〈0，则m＋错误!＝－4，即m＝－4－错误!.
若m－2>0，则m－2＝4，即m＝6.
若m－2〈0,m＋3〉0，当｜m＋错误!｜≥｜m－2｜,即m≥错误!时,－m＋2＝4,即m＝－2，不合题意,舍去；
当|m＋错误!｜<｜m－2|,即m〈错误!时，m＋错误!＝4，即m＝4－错误!,不合题意，舍去。

综上，m＝－4－错误!或m＝6。