数学第六章 实数练习题及答案

数学第六章 实数练习题及答案
一、选择题
1．在下列各数322 2,3,8, , ,36,0.10100100013π--⋯⋯ （两个1之间，依次增加1个0），其中无理数有（ ） A ．6个
B ．5个
C ．4个
D ．3个 2．3
164的算术平方根是（ ） A ．12 B ．14 C ．18 D ．12
± 3．16的算术平方根是（ ）
A ．2
B ．2±
C ．4
D ．4±
4．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A ．2-与12-
B ．|2|-与2
C ．2(2)-与38-
D ．38-与38- 5．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1；③任何实数都有立方根；④16的平方根是4±，其中正确的个数有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有2,3这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④
2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②
7．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C 所对应的实数是( )
A ．1+3
B ．2+3
C ．23﹣1
D ．23+1
8．下列各式中，正确的是（ ）
A ．()233-=-
B ．42=±
C ．164=
D ．393=
9．在如图所示的数轴上，,AB AC A B =，两点对应的实数分别是3和1,－则点C 所对应的实数是（ ）
A ．13
B ．23
C ．231-
D ．231
10．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A ．227
B
C
D ．0.1010010001
二、填空题
11．若已知()2
120a b -++=，则a b c -+=_____．
12．a 是不为2的有理数，我们把2称为a 的“文峰数”如：3的“文峰数”是2223
=--，-2的“文峰数”是()21222=--，已知a 1=3，a 2是a 1的“文峰数”， a 3是a 2的“文峰数”， a 4是a 3的“文峰数”，……，以此类推，则a 2020=______
13．+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____．
14．
=__________．
15．若()22110a c --=，则a b c ++=__________．
16的算术平方根为_______． 17．1111111111112018201920182019202020182019202020182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．
18．设a ，b 都是有理数，规定 *=a b ()()48964***-⎡⎤⎣⎦=__________．
19．7.071≈≈≈≈，按此规
_____________
20．若一个正数的平方根是21a +和2a +，则这个正数是____________． 三、解答题
21．阅读下面文字：
对于52315917
36342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可以如下计算： 原式()()()5231591736342⎡
⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()5231591736342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1014⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
114=- 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，计算： （1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）235120192018201720163462
⎛
⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22．阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用21-来表示2的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵()232273<
<，即273<<，∴7的整数部分为2，小数部分为
()
72-。

请解答
（1）11的整数部分是______，小数部分是_______。

（2）如果5的小数部分为a ，41的整数部分为b ，求5a b +-的值。

（3）已知x 是35+的整数部分，y 是其小数部分，直接写出x y -的值.
23．化简求值： ()1已知a 是13的整数部分，3b =，求54ab +的平方根．
()2已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：
22(1)2(1)a b a b ++---．
24．观察下列两个等式：112-2133=⨯+，225-5133
=⨯+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+ 成立的一对有理数a ，b 为“共生有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（2，13），（5，23
），都是“共生有理数对”． （1）数对（-2，1），（3，
12）中是“共生有理数对”吗？说明理由． （2）若（m ，n ）是“共生有理数对”，则（-n ，-m ）是“共生有理数对”吗？说明理由．
25．规律探究
计算：123499100++++⋅⋅⋅++
如果一个个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的的运算律，可简化计算， 提高计算速度．
()()()12349910011002995051101505050++++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++=⨯= 计算：
（1）246898100++++⋅⋅⋅++
（2）()()()()22334100101a m a m a m a m ++++++⋅⋅⋅++
26．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果12
n x -≤<1n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122
n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=．
（1）计算： 1.87<>= ；= ；
（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围， ②求满足43
x x <>=的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程
21122a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项．
【详解】
在下列各数22 , ,3
π⋯⋯（两个1之间，依次增加1个
0），其中有理数有：222,
,63=-=-
，π，0.1010010001……共3个．
故选：D ．
【点睛】
此题考查无理数的定义．解题关键在于掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．A
解析：A
【分析】
【详解】
1
4
，
1
2
=．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了立方根的性质、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键
.
3．C
解析：C
【分析】
本题是求16的算术平方根，应看哪个正数的平方等于16，由此即可解决问题．
【详解】
∵（±4）2=16，
∴16的算术平方根是4．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．
4．C
解析：C
【分析】
先化简，然后根据相反数的意义进行判断即可得出答案.
【详解】
解：A. 2
-与
1
2
-不是一组相反数，故本选项错误；
B. |，所以|不是一组相反数，故本选项错误；
，
故选：C
【点睛】
本题考查了相反数，能将各数化简并正确掌握相反数的概念是解题关键.
5．C
解析：C
【分析】
分别根据相关的知识点对四个选项进行判断即可．
【详解】
解：①所有无理数都能用数轴上的点表示，故①正确；
②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0，故②错误；
③任何实数都有立方根，③说法正确；
2±，故④说法错误；
故其中正确的个数有：2个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是实数，需要注意掌握实数的概念、平方根以及立方根的相关知识点．
6．D
解析：D
【分析】
根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．
【详解】
①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；
②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；
③两个无理数的积不一定是无理数，如2=-，此说法错误； ④
2
π是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②，
故选：D ．
【点睛】 本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．
7．D
解析：D
【详解】
设点C 所对应的实数是x ．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有 ()
x 1-，解得.
故选D.
8．C
解析：C
【分析】
对每个选项进行计算，即可得出答案.
【详解】
3
=，原选项错误，不符合题意；
2
=，原选项错误，不符合题意；
4
=，原选项正确，符合题意；
D. 3
≠，原选项错误，不符合题意.
故选：C
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的计算，重点是掌握平方根、算术平方根、立方根的性质.
9．D
解析：D
【分析】
根据线段中点的性质，可得答案．
【详解】
∵，A，
∴C，
故选：D．
【点睛】
此题考查实数与数轴，利用线段中点的性质得出AC的长是解题关键．
10．B
解析：B
【分析】
无限不循环小数是无理数，根据定义解答即可.
【详解】
A、22
7
是小数，不是无理数；
B是无理数；
C是整数，不是无理数；
D、0.1010010001是有限小数，不是无理数，
故选：B.
【点睛】
此题考查无理数的定义，熟记定义并运用解题是关键.
二、填空题
11．6
【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，代入即可．
【详解】
解：因为，
所以，
解得，
故，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方
解析：6
【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可．
【详解】
解：因为()2
120a b -+++=，
所以10,20,30a b c -=+=-=，
解得1,2,3a b c ==-=，
故1(2)36a b c -+=--+=，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数或（式）都为0是解题关键． 12．．
【分析】
先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．
【详解】
解：∵a1=3
∴，，，，
∴该数列为每4个数为一周期循环，
∵
∴a2020=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查规律的探索， 解析：
43
． 【分析】
先根据题意求得2a、3a、4a、5a，发现规律即可求解．【详解】
解：∵a1=3
∴
2
2
2 23
a==-
-，()
3
21
222
a==
--，
4
24
13
2
2
a==
-，
5
2
3
4
2
3
a==
-，
∴该数列为每4个数为一周期循环，∵20204505
÷=
∴a2020=44 3
a=．
故答案为：4
3
．
【点睛】
此题主要考查规律的探索，解题的关键是根据题意发现规律．13．-1
【分析】
根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可. 【详解】
解：∵+（y+2）2=0
∴
∴(x+y)2019=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟
解析：-1
【分析】
根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.
【详解】
（y+2）2=0
∴
10
20 x
y
-=
+=⎧
⎨
⎩
1
2 x
y
=
⎧
∴⎨
=-
⎩
∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键.
14．351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点
解析：351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=10
+
=1+2+3+n
+=351
=1+2+326
故答案为：351
【点睛】
本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
15．【分析】
先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的值，再代入即可得．
【详解】
由题意得：，解得，
则，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用 解析：12
- 【分析】
先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得．
【详解】
由题意得：2102010a b c -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1221a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩
， 则()112122a b c ++=
+-+=-， 故答案为：12
-
． 【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键． 16．【分析】
利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．
【详解】
∵，，
∴的算术平方根为；
故答案为：.
【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 解析：12
【分析】
14=的值，求出14的算术平方根即可．． 【详解】
14=
12
=，
的算术平方根为12； 故答案为：
12.
【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
17．【分析】
设，代入原式化简即可得出结果.
【详解】
原式
故答案为：.
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，设将式子进行合理变形是解题的关键. 解析：12020
【分析】 设1120182019
m =
+，代入原式化简即可得出结果. 【详解】 原式()111120202020m m m m ⎛
⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221202*********
m m m m m m =-+
--++ 12020= 故答案为：
12020
. 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，设1120182019m =
+将式子进行合理变形是解题的关键. 18．1
【分析】
根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．
【详解】
∵，
∴
=（）（）
=（2+2）（3-4）
=4（-1）
=
=2-1
=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查平方
解析：1
【分析】
根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．
【详解】
∵*=a b
∴()()48964***-⎡⎤⎣⎦
=*）
=（2+2）*（3-4）
=4*（-1）
==2-1
=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 19．36
【分析】
从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.
【详解】
解：观察，
不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，
因此得到第三个数的
解析：36
【分析】
从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.
【详解】
7.071≈≈≈≈，
不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，
因此得到第三个数的估值扩大1022.36≈.
故答案为22.36.
【点睛】
本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.
20．1
【分析】
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.
【详解】
由题意得2a+1+a+2=0，
解得a=-1,
∴a+2=1
解析：1
【分析】
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.
【详解】
由题意得2a+1+a+2=0，
解得a=-1,
∴a+2=1,
∴这个正数是22
(2)11a +==，
故答案为：1.
【点睛】
此题考查平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 三、解答题
21．（1）14-
（2）124- 【分析】
（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；
（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.
【详解】
（1）115112744362⎛
⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()115112744362⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭
104⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 14
=- （2）原式()235120192018201720163462⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 124⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 124
=- 【点睛】
此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.
22．（1）33； （2）4；（3）x ﹣y=7．
【解析】
【分析】
（1）由3
4可得答案；
（2）由2
＜3知2，由67知b=6，据此求解可得；
（3）由2
＜3知5＜6，据此得出x 、y 的值代入计算可得．
【详解】
（1）∵3
4，
3﹣3；
故答案为3﹣3．
（2）∵23，
∴2，
∵67，
∴b=6，
∴a+b 2+6．
（3）∵23，
∴5＜6，
∴x=5，小数部分为2．
则x ﹣y=52）=5
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．
23．（1）±3；（2）2a +b ﹣1.
【解析】
分析：（1）由于34a=3，根据算术
平方根的定义可求b
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可．
详解：（1）∵34，∴a=3．
=3，∴b=993；
（2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则
+|a﹣b|
=a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）
=a+1+2b﹣2+a﹣b
=2a+b﹣1．
点睛：本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
24．(1) (−2,1)不是“共生有理数对”，
1
3,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
是“共生有理数对”；理由见详解.
(2)(−n,−m)是“共生有理数对”，理由见详解.【分析】
（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；（2）根据“共生有理数对”的定义即可判断；【详解】
(1)−2−1=−3，−2×1+1=1，
∴−2−1≠−2×1+1，
∴(−2,1)不是“共生有理数对”，
∵
1515 3,31
2222 -=⨯+=，
∴
11
331
22
-=⨯+，
∴(
1
3,
2
)是“共生有理数对”；
(2)是.
理由：− n−(−m)=−n+m，
−n⋅(−m)+1=mn+1
∵(m,n)是“共生有理数对”
∴m−n=mn+1
∴−n+m=mn+1
∴(−n,−m)是“共生有理数对”，
【点睛】
考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，等式的性质，读懂题目中“共生有理数对”的定义是解题的关键.
25．（1）2550；（2）50505150a m +
【分析】
（1）利用所给规律计算求解即可；
（2）先去括号，再分组利用所给规律计算．
【详解】
解：（1）原式()()()21004985052=++++⋅⋅⋅++
102252550=⨯=
（2）原式()()23100234101a a a a m m m m =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+
50505150a m =+
【点睛】
本题考查的知识点是去括号与添括号、有理数的加法、合并同类项，灵活运用加法的运算律是解此题的关键．
26．（1）2，3 （2）①
5722x ≤<②330,,42
（3）00.5a ≤< 【分析】
（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；
（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值； （3）先解方程求得22x a =
-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围．
【详解】
（1） 1.87<>=2；=3；
（2）①∵12x <->= ∴1121222
x --<+≤ 解得5722
x ≤<； ②∵43x x <>=
∴41413232
x x x -<+≤ 解得3322
x -<≤ ∵43x 为整数 ∴333,0,,442
x =-
故所有非负实数x 的值有330,,
42； （3）21122
a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-
22x a =-<>
∵方程的解为正整数
∴21a -<>=或2
①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去 ②当22a -<>=时，00.5a ≤<．
【点睛】
本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．。