上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十四章24.4相似三角形的判定

E
A
B C D
C
D
A B
G
A B C
D
F
D
E
B C
A
B
E
D
§24.4（1）相似三角形的判定
1、已知一个三角形内角分别为︒︒70,30，另一个三角形内角分别为︒︒70,80，则这两个三角形…… ( )
(A)一定相似 (B) 不一定相似 (C) 一定不相似 (D) 不能确定 2、如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有…… ( ) (A)1对 (B) 2对 (C) 3对 (D) 4对
3、如图(1)，△ABC 中，DG 、DF 、EG 分别平行于BC 、AC 、AB ，图中与△ADG 相似的三角形共有 个
4、如图(2)，△ABC 中，D 在AB 上，若∠ACD=∠B,AD=4,AB=6,则AC=
5、如图(3),E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中 对相似三角形。

图（1） 图（2） 图（3）
6、如图，矩形ABCD 中，BP⊥PQ，(1)求证: △ABP ∽△DPQ; (2)写出对应边成比例的式子.
7、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且∠ADE=∠B,若AE=2,BE=3,AD=3,求CD 的长。

§24.4（2）相似三角形的判定
A B
C
D E
A
B
C
P
A
B
C
D
E
1、下列能判定△ABC 和△DEF 相似的是（ ） （A ）∠A=40°，∠B =∠E=58°，∠D=82°；（B ）∠A=∠E ，
AB DF
BC EF
=
； （C ）∠A=∠B ，∠D =∠E ； （D ）AB=BC=DE=EF. 2、如图，AD 和BE 分别是三角形的高，则图中相似三角形有（ ） （A ）4对； （B ）5对； （C ）6对； （D ）7对. 3、如图，点P 是△ABC 边AB 上一点（AB>AC ），下列条件不一定能 使△AC P ∽△ABC 的是（ ） （A ）
AC AP AB AC =； （B ）PC AC
BC AB
=
； （C ）∠A CP =∠B ； （D ）∠A PC =∠A CB. 4、下列说法中，正确的是（ ）
①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等 的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似. （A ）①，②；（B ）②，③；（C ）③，④；（D ）①，④.
第2题图 第3题图 第5题图
5、如图，在△ABC 中，DE∥BC，1
3
AD BD =，
则△ABC∽ ，其相似比为 . 6、如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长.
O
A
D
F
O
7、如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明.
§24.4 （3）相似三角形的判定
1、在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）
（A）AD AE
BD EC
=；（B）∠ADE=∠ACB；
（C）AE﹒AC=AB﹒AD；（D）AD DE AB BC
=.
2、已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，
∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（）
（A）
2
a
c
；（B）
2
b
a
；（C）
a b
c
；（D）
2
b
ac
.
3、下列各组图形有可能不相似的是（）
（A）各有一个角是45°的两个等腰三角形；
（B）各有一个角是60°的两个等腰三角形；
（C）各有一个角是105°的两个等腰三角形；
（D）两个等腰直角三角形.
4、点D在△ABC的边AB上，且AC2=AD﹒AB，则△ABC∽△ACD，理由是 .
5、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=
12，AD=3，AE=2，那么DE= .
6、在△ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE 与原三角形相似，则AE= .
7、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且满足AB BC AC AD DE AE
==，
求证：△ABD∽△ACE.A
B C E
D
A
B
C
D
E
A
B C
D
E
§24.4 （4）相似三角形的判定
1、RT △ABC，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，下列等式成立的是（ ） （A ）AD 2=AB ﹒AC ； （B ）AC 2=AB ﹒AD ； （C ）AB ﹒AC=BD ﹒DC ； （D ）AB ﹒CD=BD ﹒AC.
2、在RT △ABC 和RT △DEF 中，∠C =∠F=90°，由下列条件判定△ABC ∽△DEF 的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12， DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15.
（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个.
3、点P 是RT △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的点，过点P 作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样的直线共有 条.
4、如图1，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥DC ，DC=6，AD=8， AC ⊥BC ，则AB= .
5、如图2，在矩形ABCD 中，AB=2，CB=1，E 是DC 上一点，∠DAE= ∠BAC ，则EC 的长为 .
6、如图，AB ⊥AD ，BD ⊥DC ，且BD 2
=AB ﹒BC.求证：∠ABD=∠DBC.
7、如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的一点，F 是BC 的延长线上的一点，且CE=CF ，BE 的延长线交DF 于点G ，求证：△B GF ∽△DCF.
§24.4 （5）相似三角形的判定
1、将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A
B C
D
图1
A
B
C
D
E
图2
A B C
D
A
B
C
D E
F
G
（A ）2:1； （B ）：1； （C ）3:1； （D ）：1.
2、下列命题中，假命题是（ ）
（A ）正方形都相似； （B ）对角线和一边对应成比例的矩形相似； （C ）等腰直角三角形都相似； （D ）底角为60°的两个等腰梯形相似. 3、在△ABC 中，D 为AB 上一点，过点D 作一条直线截△ABC，使截得 的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（ ）
（A ）2条； （B ）3条； （C ）4条； （D ）5条. 4、如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，则= .
5、如图2，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，BA=12cm ，AD 、BE 是两条中线，F 为其交点，那么CF= cm.
6、如图3，D 为AB 上一点，且AD=2BD ，∠ACD=∠B ，那么= .
7、如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，过点D 作对角线AC 的垂线，交AC 于点E ，交BC 于点F ，求证：CD 是CF 和CB 的比例中项.
8、 如图，DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线，交BC 及AC 的延长线于点E 、F ，已知CD=6，DE=4，求DF 的长.
§24.4（1）相似三角形的判定 1.答案：A
A B
C
D
E
图1
A
B
C
D
F
E
图2
A
B
C
D 图3
A
B
C
D
E F
解析：两个内角对应相等的两个三角形相似
2.答案：C
解析：△ADE∽△ACD∽△ABC
3.答案：5
解析：图中所有其他的三角形都与△ADG相似
4.答案：
解析：AC2=AD×AB=24，AC=
5.答案：3
解析：△AEF∽△FCD∽△EBC
6.答案：（1）证明过程如解析
（2）AP AB BP
== DQ PD PQ
解析：（1）∵矩形ABCD，BP⊥PQ
∴∠A=∠D=∠BPQ=90°
∴∠ABP+∠APB =90°，∠DPQ+∠APB =90 ∴∠ABP=∠DPQ
∴△ABP∽△DPQ
（2）AP AB BP
== DQ PD PQ
7.答案：CD的长为
3
解析：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC
∴AE AD
= AC AB
∴
23
= AC5
∴AC=10 3
∴CD=1 3
§24.4（2）相似三角形的判定
1.答案：A
解析：两个内角对应相等的两个三角形相似
2.答案：C
解析：△AOE∽△BOD∽△ACD∽△BCE
3.答案：B
解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而B不是夹角相等
4.答案：B
解析：①必须是夹角，④必须是第三边的平行线
5.答案：△A DE ；4
解析：∵13AD BD =，∴1
A 4
AD B =
6.答案：EF 的长为15
2
解析：联结CF ∵翻折 ∴AF=CF
设AF=x ，则DF=8-x
2226(8)x x +-=
254
x =
∵OC=5 ∴OF=
154
可证OE=OF ∴EF=15
2
7.答案：△ADE ∽△BDA
解析：∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE
∴，BD=2CD ∴
ED AD AD BD == ∵∠ADB=∠ADB ∴△ADE ∽△BDA
§24.4 （3）相似三角形的判定
1.答案：D
解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而D不是夹角相等2.答案：B
解析：CD AC AC BC
=
3.答案：A
解析：45°有可能是顶角，也有可能是底角
4.答案：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
解析：AD AC
AC AB
=且∠A=∠A
5.答案：DE=4
解析：∵AD AC
AC AB
=
1
3
=，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
∴
1
3 ED BC
=
∴DE=4
6.答案：
7
4
AE=或
4
7
AE=
解析：分类讨论i.AE AD
AC AB
=，
7
4
AE=
ii .AE AD
AB AC
=，
4
7
AE=
7.答案：证明过程如解析
解析：∵AB BC AC AD DE AE
==
∴△ADE∽△ABC
∴∠DAE=∠BAC ∴∠DAB=∠EAC
∵AB AD AC AE
∴△ABD∽△ACE
§24.4 （4）相似三角形的判定
1.答案：B
解析：射影定理
2.答案：C
解析：①③④是正确的，②没有边对应成比例
3.答案：4
解析：A字型或斜交型各2个
4.答案：50 3
解析：DC AC
=
AC AB
，
610
=
10AB
，
50
AB=
3
5.答案：3 2
解析：ED AD
=
BC AB
，
ED1
=
12
，
1
DE=
2
，
3
CE=
2
6.答案：证明如解析
解析：∵AB⊥AD，BD⊥DC
∴△ABD和△DBC都是Rt△∵BD2=AB﹒BC
∴AB BD
= BD BC
∴Rt△ABD∽Rt△DBC ∴∠ABD=∠DBC
7.答案：证明如解析解析：∵正方形ABCD
∴∠DCB=∠DCF=90°，DC=BC
∵CE=CF
∴△DCF ≌△ECB
∴∠CDF =∠CBE
∵∠CDF ＋∠F=90°
∴∠CBE ＋∠F=90°
∴∠BGF=90°=∠DCF
∴△B GF ∽△DCF
§24.4 （5）相似三角形的判定
1.答案：B
解析：设矩形长2a ，宽b ，则b =
b 2a a ，=b a ，2b 1a =
2.答案：B
解析：B 没说清楚一边是矩形的长还是宽
3.答案：C
解析：A 字型或斜交型各2个
4.答案：
=AB AD AE AC
解析：三角形一边的平行线性质定理推论
5.答案：4
解析：AB 上的中线长为6cm ，因为点F 是重心，所以CF 长为2643
⨯
=cm
6.答案：3解析：∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A
∴△ACD ∽△ACB ∴=BC DC AD AC AC AB
= ∴2
AC AD AB =⋅ 223
AC AB AB =⋅ 2223
AC AB =
AC AB =
∴=BC DC 37.答案：证明如解析
解析：∵∠ACD= ∠ACD ，∠DEC=∠CDA
∴△DEC ∽△CDA
∴2CD CE AC =⋅
同理可得△FEC ∽△CBA ∴=BC CE CF AC
∴CF CB CE AC ⋅=⋅
∴2CD CF CB =⋅
∴CD 是CF 和CB 的比例中项
8.答案：9
解析：∵DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线
∴∠BDE =90°，6AD BD CD ===
∵DE=4
∴BE =∵∠ACB= ∠BDE ，∠B=∠B
∴△ACB ∽△BDE ∴=AC DE BE AB
∴24
13AC =
∴36
13BC =
同理可得△ADF ∽△CBA
∴=AC AD DF
BC
∴DF=9
A B C D E F。