流体力学2020_01_绪论-雨课堂

第一章绪论
人类生活在一个被大气包围的星球上，而这颗星球表面的3/4又被广阔的海洋覆盖，我们的生活一刻也离不开流体。

流体力学在工业和日常生活中都有着广泛的应用，例如：飞行器、舰船、港口、石油平台、桥梁、水库、城市给排水管网、化工机械、动力设备、医疗设备等的设计需要流体力学；气象、海况和洪水的预报需要流体力学；大气、海洋、湖泊、河流和地下水中环境污染的防治也需要流体力学。

因此，掌握一定的流体力学知识和方法实在是有必要的。

本章内容提要：1）什么是流体？什么是流体力学？2）流体力学的研究方法；3）流体的主要物理性质；4）流体质点的概念和连续介质模型（或连续介质假定）。

连续介质假定是整个流体力学的基石之一，务必深入理解。

1.1 流体力学的研究对象和任务
流体力学属于力学的一个重要分支，它是研究流体在各种力的作用下的平衡（静止）和运动规律的一门科学。

Fluid mechanics is the study of fluids either in motion (fluid dynamics) or at rest (fluid statics) and the subsequent effects of the fluid upon the boundaries, which may be either solid surfaces or interfaces with other fluid (Frank M. White).
传统上，流体力学的研究对象包括液体（liquid）和气体（gas），二者统称为流体。

近年来，等离子体也被纳入流体力学的研究范畴，因此等离子体在某些情况下也被视为流体。

本书将要讨论的流体限于液体和气体。

此外，在流体力学研究中，通常从形态上将物体分为固体（solid）和流体（fluid）两类。

流体力学研究的是流体中大量分子的宏观运动规律，而不是具体的分子运动，属于宏观力学的范畴。

这一点在本章第3节中将具体讨论。

流体力学的基本任务在于建立描述流体运动的基本方程，确定流体经过各种通道及绕流不同物体时的速度、压强的分布规律，探求能量转换及各种损失之间的计算方法，并解决流体与限制其流动的固体壁之间的相互作用问题。

1.2 流体力学的研究方法
与其他众多自然科学一样，实验研究、理论分析和数值模拟是现代流体力学研究中不可或缺而又相辅相成的三种重要方法。

实际的流体力学问题是复杂、多样的。

虽然早在19世纪就已经建立了能够描述流体运动的基本方程组，但目前人们对于这一非线性方程组的数学性质的认识依然相当有限，更谈不上给出一般的求解方法。

在解决某一实际的流体力学问题
时，我们总是需要根据具体的情况在实验研究、理论分析和数值模拟中做出选择，更多的时候是综合运用这三种方法。

1.2.1 实验研究
在流体力学的发展过程中，实验是最先使用的一种研究方法，在其他两种方法出现以前已做出过巨大贡献，即使到现在，若不使用这种方法，航空、航天和大型水利枢纽等复杂工程的顺利实现，仍然是不可能的。

应用这种方法的主要步骤是：1）对所给定的问题，选择适当的无量纲相似参数（相似参数将在第？章介绍），并确定其大小范围；2）根据上一步准备实验条件，其中包括模型的设计制造与设备仪器的选择使用等；3）制定实验方案并开展实验；4）整理和分析实验结果，并与其他方法或他人研究所得的结果进行比较等。

实验能直接解决生产中的复杂问题，并能发现流动中的新现象及其规律，也是检验其他方法及结论是否正确的唯一依据。

实验无疑是流体力学研究中至关重要的方法，但它并不是万能的。

想象一下，若在实验水池中模拟某一海湾中的流动会遇到什么困难？假设我们研究的海湾的水平尺度为
100
10 的尺度（一个不太大的海湾），实验水池的水平尺度为 m
m
100 （一个km
km
10
很大的实验水池）。

为了开展实验，我们需要将海湾的水平尺度缩小100倍。

假设海湾的典型深度为20 m（常见的深度），按同样的比例缩小后，实验水池中的典型水深应为0.2 m。

这样缩小比例尺后，实验中底部摩擦对水流的影响要远大于实际海湾中底部摩擦对水流的影响——实验获得的流动特性可能与实际情况相去甚远。

若我们研究的是海湾中泥沙颗粒的运动，情况又会怎么样呢？当然，现代实验方法和技术的发展使我们能在一定程度上解决这些问题，但仅仅是在一定程度上解决。

第？章中将要详细讨论的量纲分析和相似性理论是实验研究中常用的两种非常重要的工具（不局限于实验研究）。

相似性理论将告诉我们：受实验条件的限制，有时难以、甚至不可能做到模型和原型相似。

此外，实验研究一般还有投资大、耗时长的缺点。

1.2.2 理论分析
继实验方法之后出现的是理论分析的方法，应用这种方法的主要步骤是：1）建立简化的数学模型，即根据所给问题的特点，做出一定的假定，并用以简化一般的流体运动方程组和初始条件与边界条件；2）用分析方法求此简化后的初值问题或边值问题的分析解；3）选取适当的算例，利用分析解进行具体的数值计算；4）将所得算例结果与用其他方法所得的相应结果进行比较，以检验简化模型的合理性。

理论分析方法的优点是：分析解明确地给出了各种流动参量之间的变化关系，有较好的普适性。

其缺点是：数学上的困难很大，能获得的分析解的数量有限。

导致从数学上求解流体力学基本方程组的困难一方面缘于方程组本身的非线性特性，另一方面缘于研究区域几何边界的复杂性。

关于方程组本身的特性我们将在后续的课程中逐步认识，这里可以简单分析一下几何边界的复杂性带来的困难。

仍以前面提到的海湾中的流动
为例：海湾的底部和岸线通常都是不规则的，难以从数学上用确定的函数来表示；此外，海湾中的流动是具有自由表面的（自由表面指水和空气的交界面），而自由表面的形状及作用在其上的力也是需要求解的。

从这个简单的例子我们可以认识到寻求实际问题的分析解的难度。

事实上，目前已知的有限数量的分析解都是在简单的流动形态和简单的几何边界条件下获得的。

这里必须强调：虽然在寻求分析解的过程中做了大量的简化，但这些有限数量的分析解对于理解流动现象的机理却是至关重要的，对于实验研究和数值模拟的指导意义也是绝不可以轻视的。

1.2.3 数值模拟
数值模拟是20世纪中叶才伴随着计算机的快速发展而出现的一种方法。

这种方法的主要步骤是：1）建立数学模型——根据流动问题的特征，对流体运动方程及定解条件（初始或边界条件）进行必要的简化和改写；2）数值求解——选用适当的数值方法，对简化或改写的初值问题或边值问题进行离散化（包括计算区域的离散）并编制相应的程序；3）选取典型的案例进行计算，通过与理论、实验或其他计算方法结果进行比较以检验数学模型、数值方法和程序，并反复改进和完善。

很多研究者将数学模型及数值求解统称为数学模型或数值模型。

数值模拟方法的优点是：许多用理论分析法无法求解的问题，用此方法可以求得它们的数值解。

随着计算机的速度与容量的快速提高和计算方法的不断改进，数值模拟在工程中所起的作用越来越大。

应注意：1）建立数学模型本身需要依据实验和理论分析；2）数值方法是一种近似方法，其可靠性应与可获得的实验或分析解进行比较后进行判断。

随着各种商业软件和开源程序的普及，越来越多的人开始从事流体力学数值模拟，其中既包括流体力学领域的研究者，也包括非流体力学领域的研究者。

必须指出的是：目前我们对流体力学问题的认识依然相当有限，对流体力学问题还没有普适的数学模型和求解方法，因此也不存在普适的流体力学软件；正确地使用流体力学软件的前提是必须具备一定的流体力学基础，能够根据具体情况正确选择模型和模型参数，并能根据流体力学的基本理论对数值模拟结果做出合理解释；否则，将得出不可靠，甚至完全错误的结果。

以上三种方法，各有其优缺点，它们是互相补充的。

一个优秀的流体力学工作者，应当熟练地掌握这些方法，以便根据具体情况，取长补短地加以应用。

The essence of the subject of fluid flow is a judicious compromise between theory and experiment (Frank M. White).
1.3 流体的主要物理性质
流体的主要物理性质包括密度、温度、压强、膨胀性、压缩性、能量、黏性、热传导系数和表面张力等。

考虑到压强、黏性和表面张力与流体的受力直接相关，我们将在第三章中具体讨论。

虽然出于讲述方便的考虑，我们将压强放在第三章讨论，但必须强调：密度、温度和压强是流体最基本的热力学参数，三者是密切相关的。

在本节和第三章，应该通过对流
体主要物理性质的讨论从表象和力学本质两个层面加深对流体和固体的区别的认识。

1.3.1 流体的密度、比体积和相对密度
和其他物质一样，流体的密度指单位体积流体的质量。

其数学表达式为： 0lim V m V (1-1)
密度的倒数称为比体积，即单位质量流体所占据的空间。

可表示为： 1
(1-2)
一般情况下，密度和比体积与状态变量压强p 及温度T 相关，同时也可能随空间和时间而变化。

因此：
(1-3a) (1-3b)
(1-4)
其中w 为4摄氏度时纯水的密度。

1.3.2 流体的可压缩性和膨胀性
流体的体积（密度）是温度和压强的函数，故其将随温度和压强的变化而变化。

一般情况下：在温度不变的条件下，压强增大，体积缩小，此性质称为流体的可压缩性；在压强不变的条件下，温度升高，体积膨胀，此性质称为流体的膨胀性。

显然，与可压缩性相对应的压缩率和与膨胀性相对应的体积膨胀系数并不是像密度和比体积那样互为倒数。

在流体处于高温、高压或高速运动状态时，其可压缩性和膨胀性可能会对流体或受流体作用的物体的受力和运动状态产生显著的影响。

比如热气球内的氦气在加热时膨胀导致热气球升空；由于水的可压缩性导致在长管道内出现“水击”现象；由于空气的可压缩性导致超音速飞机头部出现激波。

当然，在一般的状态下我们也可以感受到流体的可压缩性，比如声波的传播。

流体的体积膨胀系数定义为：
01lim T p const V V T (1-5) 其国际标准单位为1/K 。

注意：这里压强保持不变。

流体的压缩率定义为：
0011lim lim p p T const T const V V
p p 其国际标准单位为1/Pa 。

注意：这里温度保持不变。

压缩率的倒数称为体积模量：
K (1-6) 其国际标准单位为Pa 。

2）在满足工程精度要
1.3.3 流体的易变性
从表面现象上看：固体有确定的形状，而流体的形状则取决于与流体相接触的边界（盛放液体的容器）的形状。

同为流体，液体在未充满的容器中能保持一定的形状，即具有自由表面；而气体则不具有自由表面，它总是会充满盛放它的容器（容器密闭）或者逃逸出去（容器开口）。

从受力和变形之间的关系来看：固体在确定切应力的作用下，将产生确定的变形（可回顾材料力学中的剪切弹性模量）；流体在确定切应力的作用下，将产生连续不断的变形（试想将一杯水倒在地上会发生什么现象）。

对于流体易变性也可从力学的角度表述为：静止流体不能承受剪切力。

若从分子运动的层面来看，流体易变性的根源在于流体分子间的间距较大，相互作用较弱；气体分子间的距离更大，它比液体更易变形。

1.3.4 流体的能量
一般情况下，流体的能量包含内能（热力学能）、动能和势能三部分（本书不讨论化学能、核能等其他形式的能量）。

储存在单位质量流体内的总能量可表示为： P E V u ˆe 221 (1-7)
其中u
ˆ和P E 分别为单位质量流体中所含的内能和势能。

我们通常研究的流体力学问题是处于重力场中的，因此，若将势能具体化为重力势能，可得： gz V u
ˆe 22
1 (1-8) 上式中z 坐标的方向按常规定义为垂直地面指向上方，g 为重力加速度。

在本书中若无特殊说明，将沿用这一定义。

1.3.5 理想气体的状态方程
流体的热力学性质，如密度、温度和压强等是存在密切联系的，描述这一联系的就是状态方程。

在温度不太高、压强不太大的情况下，大部分气体都遵循以下的状态方程：
RT p (1-9) 其中，p 、 、R 和T 分别为气体的压强、密度、气体状态常数和温度（绝对温度）。

热力学参数遵循式（1-9
式（1-9）中的气体状态常数R 二者之间的转换关系为：
(1-10) 其中，122K s m 8314 对于常见的空气，其平均分子量为122K s m 2 87R 。

空气实际上是多种气体的混合物，然而在160-2200K 的温度范围内，空气各组分的所占的相对份额基本不变，因此可将其视为一种单一组分的气体。

在式（1-7）中提到了内能u
ˆ，热力学的研究发现，理想气体的内能仅与温度相关，二者通过定容比热容v c 相联系，即：
dT u d T u T c v ˆˆ (1-11)
其中的偏导数是在保持密度（或体积）不变的条件下求得。

由此可得理想气体内能增量的计算公式：
dT c u d v ˆ (1-12)
与内能相似，理想气体的另一个重要热力学量，焓（h ）也仅随温度变化，其关系为： RT u p u T h ˆˆ (1-13)
与焓密切相关的一个重要参数是定压比热容：
dT dh T h T c p p (1-14)
由此可得理想气体焓的增量的计算公式：
dT c dh p (1-15)
根据式（1-11）和（1-14）很容易得出两种比热容（specific heat capacity ）的差正好是气体状态常数，即：
v p c c R (1-16) 而两种比热容的比值p v c c 是气体动力学中的一个很重要的无量纲量（这在空气动力学中尤其重要），称为比热容比，对于空气，一般可取41. 。

图1-1给出了8种常用气体的比热容比与温度的关系。

图1-1 8种常用气体的比热容比随温度的变化
1.3.6 液体的状态方程
对于液体，没有像理想气体那样的状态方程，至少作者没有见到过。

一般情况下，液体可视为不可压缩的。

对于均质的纯液体，其状态方程可写为如下简单的形式：
dT c dh const c c const p v p (1-17)
虽然大部分情况下，液体可以视为不可压缩的，但在一些特殊情况下，我们仍然必须考虑其可压缩性。

液体密度和压强之间有如下的经验公式： B B p p n a a 1 (1-18) 其中：B 和n 是两个无量纲常数，它们与研究的具体液体有关，且随温度有微小变化；a p 为标准大气压；a 为液体在标准大气压下的密度。

对于水，一般可取3000 B 、7 n 。

在大洋中，海水密度的变化对于海洋动力条件有显著的影响，虽然即使在最深的海沟密度变化的比例看起来也不太大（具体参考习题1.5）。

海水密度有明显分层的区域可能出现重力内波，而重力内波的幅值有时会大至数十米，甚至上百米。

这样的重力内波不仅会影响潜艇等的航行安全，还会对声纳等探测仪器产生影响。

海水的密度通常是深度（Depth ）、盐度（Salinity ）和温度（Temperature ）三个状态参量的函数，因此，在海洋研究领域广泛使用一类称为“温盐深（CTD ，其中C 代表电导率Conductance ，可用于计算盐度）”的海洋观测仪器。

1.3.7 热传导系数（thermal conductivity ）
无论流体还是固体，若在其中存在温度差，热量就会以传导的方式自然从高温处传向低温处。

实验结果表明，热量的传输速率正比于当地的温度梯度，这一结论就是热传导的傅里叶定律，其数学表达形式如下：
k T q (1-19a) 其中k 为热传导系数，q 为通过单位面积的热流矢量，负号表示热量从高温处传向低温处。

上式可写为如下的分量形式： x y z T
T
T q k q k q k x y z (1-19b)
1.3.8 蒸汽压（Vapor pressure ）
汽化（vaporization ）现象是研究液体流动时经常遇到的一个重要问题。

在研究水轮机和舰船螺旋桨叶片的气蚀、超空泡鱼雷的阻力，以及一些管道的阻力等问题时需要慎重地分析
液体的汽化。

汽化是物质由液态转变为气态的相变过程，其发生的根本原因是分子热运动（thermal vibration of molecules ）。

液体分子由于热运动穿越液体表面进入其周围环境（气体或真空），从液体中逃逸的分子会对周围环境作用其分压强（partial pressure ），称为蒸汽压。

在密闭条件中，在一定温度下，与液体或固体处于相平衡的蒸气所具有的压强称为饱和蒸气压。

蒸汽压随温度的升高而升高，因为分子热运动随温度升高而加剧。

当蒸汽压达到外界压强时，在液体内部和表面同时发生剧烈汽化的现象，即沸腾。

液体沸腾的温度叫沸点。

不同液体的沸点不同。

即使同一液体，它的沸点也要随外界压强的改变而改变。

显然，加热可以增大液体分子的动能，导致汽化的加剧，甚至沸腾。

另一方面，在流体内部，若压强降至蒸汽压之下，也会在这些区域产生汽化，若压强足够低，将出现剧烈的汽化现象（沸点降低了——查查在拉萨水沸腾的温度）。

1.4 流体的连续介质模型
1.4.1 宏观运动与微观运动间的尺度差异
前面我们多次提到了密度、压强和温度等概念，这些量似乎都是在时间和空间上连续分布的，或者说，每一个时刻在流场中的每一个空间点上总能测得（假设我们有这样精密的测量仪器）流体的密度、压强和温度。

以密度为例，其定义为式（1-1）。

学过微积分的同学可能认为这一定义从数学上来说是很严谨的，而我们直观感受到的流体似乎也是连续分布的——果真如此吗？实际上，流体分子并不是紧密排列的，其间距远大于分子本身的尺寸，在我们取极限的那一个空间点在大部分时刻是根本没有流体分子的。

在流体力学研究中，解决这一宏观上的连续性和微观上的离散性之间的矛盾的方法就是引入连续介质模型（或称为连续介质假定）。

这一假定的出发点是从统计学的观点来解释流体的物理性质。

引入连续介质模型后，当我们提到“流体质点”或“无限小流体单元”时才不致引起困惑和混淆。

与我们在日常生活中所感受到的物体宏观运动的特征尺度（scale ）相比，分子运动的空间尺度和时间尺度都是非常小的。

以一般状态下大气中气体分子为例：分子间的平均间距为m 1039 ，分子的平均自由程m 1068 ，一个分子连续两次碰撞的时间间隔为s 1010 。

作为对比：一般情况下我们面对的流动问题的最小空间尺寸 很少会小于m 104 ，或者mm .10；若假定该流动问题的特征流速为-1ms 1，则对应的时间尺度为s 104 ；即使假定该流动的特征流速为-1ms 100（这已经超过了普通民航客机的起飞速度），对应的时间尺度也不过s 106 。

很明显，对于我们平常所讨论的流体力学问题，其宏观空间尺度和时间尺度都比分子运动的特征尺度大3个量级以上。

在流体力学中用努森数（Knudsen number ）来表示微观和宏观运动尺度之间的比值： Kn (1-20) 一般情况下，当1 Kn 时，在研究流体的宏观运动时，可忽略流体分子实际存在离散特性而将其视为连续介质。

1.4.2 流体质点
当努森数很小时，即宏观运动的尺度远大于微观运动的尺度时，一定存在一个中间尺度* ，该尺度既远大于分子运动的特征尺度，又远小于宏观运动的特征尺度，即：
* (1-21) 当我们在一个体积为3**V 的微小单元内对分子运动的特性取平均时，可以得出相对稳定的统计学平均量，如密度、温度和压强。

这些统计平均量既不会表现出单个或少量分子特性那样明显的随机性，也不会掩盖流体物理性质在宏观层面上的空间（和时间）差异性。

由此可以给出流体质点的定义：流体质点是指流体具有相对稳定宏观特性的最小流体单元，及空间尺寸在宏观上足够小（与所研究物体的特征尺寸相比），而微观上足够大（与分子的平均自由程相比）的一团流体分子的组合，该团分子在统计平均的意义上体现出相对稳定的物理性质。

流体质点又称为流体微元。

流体微元这一名称更能体现流体质点的本质，但在用微积分和场论等数学工具分析流体力学问题时，流体质点与极限和连续等思想更符合。

顺便指出，当努森数足够小时，可以允许* 存在量级上的变化，而不至影响在流体质点的尺度上获得的流体运动的宏观特性。

换言之，在研究流体力学问题时，一般可以不用考虑流体质点的具体尺寸。

1.4.3连续介质模型
流体质点概念的提出，解决了宏观上的连续性与微观上的离散性的矛盾。

根据流体质点的概念，在任一时刻，在流场内的任一空间点上，反映流体宏观特性的量（如密度、温度、压强）都有统计意义上的明确的定义。

在流体质点概念的基础上，欧拉于1753年提出了流体的连续介质模型（或连续介质假设）：1）流体是由连续排列的流体质点组成，即空间的每一点都被确定的流体质点所占据，其间没有间距，亦无重叠。

于是流体的任一物理参数都可表达为空间坐标及时间坐标的连续函数。

2）在充满连续介质的空间，物理参数不仅是时空坐标的连续函数，而且是连续可微函数（在某些特殊情况下—如激波，允许某些点、线、面上存在不连续）。

11
连续介质带来的简化是：不必研究大量分子的微观瞬时状态，而只需研究描述流体宏观状态的物理量，如速度、压强和密度等。

在连续介质中，可以把这些物理量看作时间和空间坐标的连续函数，因而可以充分地利用连续函数和场论等数学工具。

自然界和工程中的流体运动，一般都满足努森数1 Kn 的条件，因此，对于一般的流体力学问题都可以应用连续介质模型。

然而，也有一些例外，如在120~150km 的外层空间，分子的平均间距和平均自由程都大至可以和飞行器的特征尺寸相比拟，这时不能简单地使用连续介质模型，而必须引入稀薄空气动力学；再比如超音速飞行器附近出现的激波，其厚度小至可以和分子的平均间距和平均自由程相比拟，这时也不能简单地应用连续介质模型（微分关系不成立，但积分关系依然成立）。

一般情况下，认为010.Kn 时，连续介质模型不再成立。

习题1
1.1. 请简述流体质点和连续介质的概念。

1.2. 请回答什么是均质流体和各向同性流体。

1.3. 20℃的水
2.5m 3，当温度升至80℃时，其体积增加多少？
1.4. 请根据理想气体的状态方程计算常温常压状态下空气的压缩系数和膨胀系数，并查阅
资料检验。

1.5. 请根据空气的比热容比计算一般情况下空气的定容和定压比热容。

时，某种液体的密度相对增长率为000.02，求此种液体的
o 100 C 时单位质量的水与饱和水蒸气的焓值分别为
310 J kg 。

试求此条件下的汽化热。

atm pressure, estimate the pressure required to reduce its
weight of 44 and a specific heat =610 J kg K v c .
What is its specific heat ratio k?
思考题
1.10. 请查阅世界最深的海沟——马里亚纳海沟的有关资料，并估算在海沟底部：
1）压强有多大？ 2）海水的密度有多大？
1.11. 请查阅有关稀薄空气和激波的资料，并估算这两种情况下的努森数Kn 。