离散时间信号与系统的复频域分析——z变换ppt

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6.6.1 数字滤波器的概念
与模拟滤波器相对应,在离散系统中 广泛应用数字滤波器。它的作用是利用离 散时间系统的特性对输入信号波形或频谱 加工处理。或者说,把输入的数字信号通 过一定的运算关系变成所需要的输出数字 信号。
数字滤波器一般可以用两种方法来实 现:一种方法是用数字硬件装配成一台专 门的设备,这种设备称为数字信号处理机; 另一种方法就是将所需要的运算编制成程 序利用计算机软件来实现。
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第6章 离散时间信号与系统的复 频域分析——z变换
6.1 z 变 换 的 定 义 6.2 常 用 序 列 的 z 变 换 6.3 z 变 换 的 性 质 6.4 逆 z 变 换 6.5 离散系统的z域分析 6.6 数 字 滤 波 器 6.7 用MATLAB进行z域分析
在连续时间系统中,为了把时域的微 分方程转换为代数方程,我们利用了拉氏 变换。在离散系统中,我们是否可以用类 似的变换——z变换把差分方程的问题转换 为代数方程的问题呢?
2.系统幅频特性与选频滤波器
由 式 ( 6-32 ) 和 式 ( 6-33 ) , 可 以 得 到系统在不同频率信号作用下响应的幅度 为
|Y(ejΩ)|=|X(ejΩ)||H(ejΩ)|
根据数字滤波器通带与阻带在频率轴 上占据的相对位置,它也分为低通、高通、 带通、全通等不同类型。
6.6 数 字 滤 波 器
6.3.1 线性 6.3.2 移位性质 6.3.3 z域微分性质 6.3.4 时域卷积定理
6.4 逆 z 变 换
6.4.1 变换对对比法 6.4.2 幂级数展开法(长除法) 6.4.3 部分分式展开法
6.5 离散系统的z域分析
6.5.1 应用z变换求解差分方程
应用z变换求解差分方程,是根据z变 换的线性性质和移位性质,把差分方程转 化为代数方程。
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6.2 常 用 序 列 的 z 变 换
许多序列的z变换可直接由z变换的定义式求出。
1. δ[n]的z变换 2. u[n]的z变换 3. anu[n]的z变换
6.3 z 变 换 的 性 质
z变换具有许多性质,这些性质在离散 时间系统研究中非常重要。利用这些性质, 可以方便的计算许多复杂信号的z变换和逆 z变换,还可以找到z域与时域的关系。
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6.1 z 变 换 的 定 义
6.1.1 抽样信号的拉氏变换
由第四章可知,对连续时间信号进行均 匀冲激取样后就得到离散时间信号。设有连 续时间信号x(t),每隔时间T取样一次,这相 当于连续时间信号x(t)乘以冲激序列δT(t)。
6.1.2 z变换的定义
1.双边z变换 2.单边z变换
利用拉氏变换,我们可以把求解连续 系统零状态响应的卷积积分问题转换为乘 积计算问题,在离散时间系统中,我们是 否可以用z变换把系统零状态响应的卷积和 的问题转换为乘积问题呢?
连续系统中,利用拉氏变换我们引入 了系统函数H(s),它是输出信号的拉氏变 换Y(s)与输入信号的拉氏变换X(s)的比值, 也是冲激响应h(t)的拉氏变换。我们是否可 以利用z变换引入离散系统的系统函数H(z) 呢?
只有当H(z)的所有极点在单位圆内时系统才是稳定的。
6.5.4 离散系统的频域分析
1.离散系统的频率响应
如果一个离散时间LTI系统的单位样 值响应为h[n],激励为x[n],则根据 时域的分析方法,系统的响应为
y[n]=x[n]*h[n]
在z域的对应关系为
Y(z)=X(z)H(z)
令z=ejΩ,即当z只在单位圆上变化时,可得 到系统在频域的对应关系为
Y(ejΩ)=X(ejΩ)H(ejΩ)
H(ejΩ)一般为复数,可用幅度和相位表示为
H(ejΩ)=|H(ejΩ)|ejφ(Ω)
H(ejΩ)随频率Ω的变化称为离散时间系统的 频率响应。|H(ejΩ)|称为幅度函数,而φ(Ω) 称为相位函数。由于ejΩ为Ω的周期函数, 周期为2π,因而H(ejΩ)也是Ω的周期函数。
3. z变换与傅里叶变换的关系
由于z=esT,则s平面的虚轴s=jω映射到 z 平 面 的 单 位 圆 |z|=e0=r=1 。 正 像 虚 轴 上 的 拉普拉斯变换对应于连续时间信号的傅里 叶变换一样,单位圆上的z变换对应于离散 时间信号的傅里叶变换。因此,若一个离 散时间信号的傅里叶变换存在,它在z平面 的收敛域应包含单位圆。
数字滤波器可以用差分方程、单位样 值响应h[n]、系统函数H(z)或频率响应 H(ejΩ)来描述。
与模拟滤波器相比,数字滤波器具有 更高的精确度和可靠性,使用灵活、方便, 已经成为数字信号处理技术中的重要手段。
数字滤波器的分类方法很多。若按照 其幅频响应的通带特性,可分为低通滤波 器、高通滤波器、带通或带阻滤波器;若 按照数字滤波器的构成方式,可分为递归 型滤波器和非递归型滤波器;或按照其单 位样值响应的时间特性,又可以分为无限 长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响 应(FIR)滤波器。
连续系统中,利用系统函数,我们可 以分析系统的时域特性、频率特性、稳定 性。在离散系统中,我们是否也可以用系 统函数做相同的事情呢?
回答以上问题就是本章的内容。
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路漫漫其修远兮,吾将上下而求索!
豫章故郡,洪都新府。星分翼轸,地 接衡庐 。襟三 江而带 五湖, 控蛮荆 而引瓯 越。物 华天宝 ,龙光 射牛斗 之墟; 人杰地 灵,徐 孺下陈 蕃之榻 。雄州 雾列, 俊采星 驰。台 隍枕夷 夏之交 ,宾主 尽东南 之美。 都督阎 公之雅 望,棨 戟遥 临;宇文新州之懿范,襜帷暂驻。十 旬休假 ,胜友 如云; 千里逢 迎,高 朋满座 。腾蛟 起凤, 孟学士 之词宗 ;紫电 青霜, 王将军 之武库 。家君 作宰, 路出名 区;童 子何知 ,躬逢 胜饯。 时维九月,序属三秋。潦水尽而寒潭 清,烟 光凝而 暮山紫 。俨骖 騑于上 路,访 风景于 崇阿; 临帝子 之长洲 ,得天 人之旧 馆。层 峦耸翠 ,上出 重霄; 飞阁流 丹,下 临无地 。鹤汀 凫渚, 穷岛屿 之萦回 ;桂殿 兰宫, 即冈峦 之体势 。 披绣闼,俯雕甍,山原旷其盈视,川 泽纡其 骇瞩。 闾阎扑 地,钟 鸣鼎食 之家; 舸舰迷 津,青 雀黄龙 之舳。 云销雨 霁,彩 彻区明 。落霞 与孤鹜 齐飞, 秋水共 长天一 色。渔 舟唱晚 ,响穷 彭蠡之 滨;雁 阵惊寒 ,声断 衡阳之 浦。 遥襟甫畅,逸兴遄飞。爽籁发而清风 生,纤 歌凝而 白云遏 。睢园 绿竹, 气凌彭 泽之樽 ;邺水 朱华, 光照临 川之笔 。四美 具,二 难并。 穷睇眄 于中天 ,极娱 游于暇 日。天 高地迥 ,觉宇 宙之无 穷;兴 尽悲来 ,识盈 虚之有 数。望 长安 于日下,目吴会于云间。地势极而南 溟深, 天柱高 而北辰 远。关 山难越 ,谁悲 失路之 人?萍 水相逢 ,尽是 他乡之 客。怀 帝阍而 不见, 奉宣室 以何年 ? 嗟乎!时运不齐,命途多舛。冯唐易 老,李 广难封 。屈贾 谊于长 沙,非 无圣主 ;窜梁 鸿于海 曲,岂 乏明时 ?所赖 君子见 机,达 人知命 。老当 益壮, 宁移白 首之心 ?穷且 益坚, 不坠青 云之志 。酌贪 泉而觉 爽,处 涸辙以 犹欢。 北海 虽赊,扶摇可接;东隅已逝,桑榆非 晚。孟 尝高洁 ,空余 报国之 情;阮 籍猖狂 ,岂效 穷途之 哭! 勃,三尺微命,一介书生。无路请缨 ,等终 军之弱 冠;有 怀投笔 ,慕宗 悫之长 风。舍 簪笏于 百龄, 奉晨昏 于万里 。非谢 家之宝 树,接 孟氏之 芳邻。 他日趋 庭,叨 陪鲤对 ;今兹 捧袂, 喜托龙 门。杨 意不逢 ,抚凌 云而自 惜;钟 期既 遇,奏流水以何惭? 呜乎!胜地不常,盛筵难再;兰亭已 矣,梓 泽丘墟 。临别 赠言, 幸承恩 于伟饯 ;登高 作赋, 是所望 于群公 。敢竭 鄙怀, 恭疏短 引;一 言均赋 ,四韵 俱成。 请洒潘 江,各 倾陆海 云尔: 滕王高阁临江渚,佩玉鸣鸾罢歌舞。 画栋朝飞南浦云,珠帘暮卷西山雨。 闲云潭影日悠悠,物换星移几度秋。 阁中帝子今何在?槛外长江空自流。
6.1.3 单边z变换的收敛域
1.单边z变换收敛域的定义
使序列x[n]的z变换收敛的所有z的 集合称为z变换X(z)的收敛域,简记为ROC (Region of Convergence)。
2. z变换收敛域与拉氏变换收敛域的关系
图6.2 单边z变换的收敛域
单边拉普拉斯变换的收敛域是s平面上 σ>σ0 的 右 半 平 面 , 相 应 z 变 换 的 收 敛 域 为 r>r0的圆外。即z平面上以原点为中心,以 r0=eσ0T为半径的圆外区域(包括无穷大区 域)为z变换的收敛域。
如果对任一有界输入x[n]只能产生 有界输出y[n],则称系统在有界输入、 有界输出意义下是稳定的。根据该定义, 对所有n,当
|x[n]|<M
时(其中M为实常数),若有|y[n]|<∞, 则系统稳定。
.
2. z域判别法
图 6 3 稳 定 系 统 的 极 点 分 布
3.系统函数的零极点与时域响应的关系
6.5.2 离散系统的系统函数
1.系统函数的引出 2.线性时不变离散系统的三种描述方式
可以用以下三种方式描述:差分方程,样 值响应,系统函数,它们之间可以相互转换。
6.5.3 离散时间系统的稳定性
1.时域判别法
与连续时间系统类似,离散时间系统 的样值响应h[n]或系统函数H(z)决定了 系统的特性。
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