2016-2017学年江苏省徐州市铜山区八年级(下)期中数学试卷

2016-2017学年江苏省徐州市铜山区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2016春•会宁县校级期末）下列图形中，不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）（2012•杭州）一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
3．（3分）（2010•徐州）如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
4．（3分）（2005•湘潭）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．
5．（3分）（2017秋•莘县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．﹣C． D．﹣
6．（3分）（2017春•铜山区期中）下列说法中正确的是（）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．（3分）（2014•路北区一模）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
8．（3分）（2013•郑州模拟）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC 上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）
A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）（2017春•铜山区期中）使分式有意义的x的取值范围是．10．（3分）（2017春•铜山区期中）分式和的最简公分母是．11．（3分）（2017春•铜山区期中）在▱ABCD中，若∠A=130°，则∠C=°．12．（3分）（2008春•平谷区期末）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则EC=．
13．（3分）（2017春•铜山区期中）把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是（填序号）．
（1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色；
（2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育；
（3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球；
（4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下．
14．（3分）（2017春•泗阳县期末）如下图，E为正方形ABCD的边BC延长线上
的点，且CE=AC，连接AE，则∠E=度．
15．（3分）（2017春•铜山区期中）两个全等菱形如图所示摆放在一起，其中B、C、D和G、C、F分别在同一条直线上，若较短的对角线长为10，点G与点D的距离是24，则此菱形边长为．
16．（3分）（2017春•铜山区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD 且AC=6，BD=8，点E、F、G分别是边AB、CD、AD的中点，则EF=．
17．（3分）（2015秋•高新区期末）一件工作，甲独做a小时完成，乙独做b小时完成，若甲，乙两人合作完成，需要小时．
18．（3分）（2017春•铜山区期中）关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2=．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（8分）（2017春•铜山区期中）化简：
（1）÷（a+b）2；
（2）﹣．
20．（8分）（2017春•铜山区期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小丽做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计：当实验次数为10000次时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）
（2）假如由你摸球一次，你摸到白球的概率P（摸到白球）=；
（3）盒子中有黑球个．
21．（8分）（2010秋•文成县期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，四边形AECF是平行四边形吗？为什么？
22．（8分）（2017春•铜山区期中）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）试作出△ABC以点C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；（2）试作出△ABC以原点O为对称中心，与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（3）若点P在坐标轴上，△PAB与△CAB的面积相等，请直接写出符合条件的与点C距离最近的点P的坐标．
23．（8分）（2017春•铜山区期中）解方程：
（1）=；
（2）﹣=8．
24．（8分）（2017春•铜山区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点．
（1）求证：PQ、MN互相平分；
（2）当四边形ABCD的边满足条件：时，PQ⊥MN．（不必证明）
25．（8分）（2017春•铜山区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：
（1）BF=DF；
（2）BF⊥FE．
26．（10分）（2017春•铜山区期中）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6．
（1）C点的坐标为；
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB 的交点分别为D，F，E，求折痕DE的长；
（3）若点M在x轴上，以M、D、F、N为顶点的四边形是菱形，请直接
．．写出所有符合条件的点N的坐标．
2016-2017学年江苏省徐州市铜山区八年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2016春•会宁县校级期末）下列图形中，不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）（2012•杭州）一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球与摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
【分析】利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．【解答】解：A．摸到红球是随机事件，故A选项错误；
B．摸到白球是随机事件，故B选项错误；
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能
性大，故C选项错误；
D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故D选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件以及可能性大小，利用可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等得出是解题关键．
3．（3分）（2010•徐州）如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
【解答】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选：B．
【点评】熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．
4．（3分）（2005•湘潭）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方
法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
B、；
C、=；
D、；
故选：A．
【点评】分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
5．（3分）（2017秋•莘县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．﹣C． D．﹣
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式=﹣=，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
6．（3分）（2017春•铜山区期中）下列说法中正确的是（）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，可得答案．
【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故A错误；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误；
C、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故C错误；
D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质，特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．
7．（3分）（2014•路北区一模）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
【分析】工作时间=工作总量÷工作效率．那么3000÷x表示实际的工作时间，那么3000÷（x﹣10）就表示原计划的工作时间，15就代表现在比原计划少的时间．
【解答】解：设实际每天铺设管道x米，原计划每天铺设管道（x﹣10）米，方程，则表示实际用的时间﹣原计划用的时间=15天，
那么就说明实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．
8．（3分）（2013•郑州模拟）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC 上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）
A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2．
故选：B．
【点评】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．
要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）（2017春•铜山区期中）使分式有意义的x的取值范围是x≠0．【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：由题意，得
x≠0，
故答案为：x≠0．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于
零是解答此题的关键．
10．（3分）（2017春•铜山区期中）分式和的最简公分母是10x2y．【分析】求几个分式的最简公分母时，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母．
【解答】解：分式和的最简公分母是10x2y，
故答案为：10x2y，
【点评】此题考查最简公分母问题，求几个分式的最简公分母时，应注意将分母转化为最简式后再进行相乘．
11．（3分）（2017春•铜山区期中）在▱ABCD中，若∠A=130°，则∠C=130°．【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出∠C=∠A．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=130°．
故答案为：130．
【点评】此题考查的是平行四边形的性质，运用其对角相等求解．
12．（3分）（2008春•平谷区期末）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则EC=2cm．
【分析】根据平行四边形性质求出BC长，AD∥BC，根据角平分线定义推出∠BAE=∠AEB，得到BE=AB，求出BE即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=3cm，
∴EC=BC﹣BE=5cm﹣3cm=2cm，
故答案为：2cm．
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出AB=BE，题目比较典型，难度不大．
13．（3分）（2017春•铜山区期中）把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是（3）（1）（2）（4）（填序号）．
（1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色；
（2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育；
（3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球；
（4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下．
【分析】根据发生的可能性的大小排序即可．
【解答】解：（1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色的可能性为；
（2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育的可能性接近于1
（3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球为；（4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下的可能性为1，
从小到大排序为（3）（1）（2）（4），
故答案为：（3）（1）（2）（4）．
【点评】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是了解必然事件发生的可能性为1，难度不大．
14．（3分）（2017春•泗阳县期末）如下图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE=AC，连接AE，则∠E=22.5度．
【分析】运用正方形的性质：正方形的对角线平分每一组对角．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠CAD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠E
∵CE=AC，
∴∠CAE=∠E
∴∠E=∠CAD=22.5°．
故答案为22.5．
【点评】本题考查了正方形的对角线平分每一组对角的性质．
15．（3分）（2017春•铜山区期中）两个全等菱形如图所示摆放在一起，其中B、C、D和G、C、F分别在同一条直线上，若较短的对角线长为10，点G与点D的距离是24，则此菱形边长为13．
【分析】首先连接AC和BD，根据题意求出BO和OC的长，进而利用勾股定理求出菱形的边长．
【解答】解：连接AC和BD，相交于点O，
∵点G与点D的距离是24，
∴OC=12，
∵较短的对角线长为10，
∴OB=5，
∴在Rt△OBC中，BC==13，
∴菱形边长为为13，
故答案为13．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．
16．（3分）（2017春•铜山区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD 且AC=6，BD=8，点E、F、G分别是边AB、CD、AD的中点，则EF=5．
【分析】先利用三角形中位线性质得到EG=BD=4，EG∥BD，GF=AC=3，GF∥AC，再判断EG⊥GF，然后利用勾股定理计算EF的长．
【解答】解：∵点E、F、G分别是边AB、CD、AD的中点，
∴EG为△ABD的中位线，GF为△DAC的中位线，
∴EG=BD=4，EG∥BD，GF=AC=3，GF∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥GF，
在Rt△GEF中，EF==5．
故答案为5．
【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
17．（3分）（2015秋•高新区期末）一件工作，甲独做a小时完成，乙独做b小
时完成，若甲，乙两人合作完成，需要小时．
【分析】把工作总量看作单位1，根据：工作时间=工作总量÷工作效率，甲的工作效率是，乙的工作效率是，从而求得二人合作完成需要的时间．
【解答】解：设作总量看作单位1，根据：工作时间=工作总量÷工作效率，甲的工作效率是，乙的工作效率是，
则两人合作需要的时间为=．
【点评】工程问题要有“工作效率”，“工作时间”，“工作总量”三个要素，数量关系为：工作效率×工作时间=工作总量．注意公式的灵活变形．
18．（3分）（2017春•铜山区期中）关于x的方程：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，则x+=c+的解是x1=c，x2=3+．【分析】根据方程根的定义得出答案即可．
【解答】解：∵x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣的解是x1=c，x2=﹣，∴x+=c+可化为x﹣3+=c﹣3+，
x+=c+的解是x1=c，x2=3+，
故答案为3+．
【点评】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程的解的定义是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（8分）（2017春•铜山区期中）化简：
（1）÷（a+b）2；
（2）﹣．
【分析】（1）根据分式的除法可以解答本题；
（2）根据分式的减法可以解答本题．
【解答】解：（1）÷（a+b）2
=
=；
（2）﹣
=
=
=
=
=．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合的计算方法．
20．（8分）（2017春•铜山区期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小丽做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计：当实验次数为10000次时，摸到白球的频率将会接近0.6；（精确到0.1）
（2）假如由你摸球一次，你摸到白球的概率P（摸到白球）=0.6；
（3）盒子中有黑球16个．
【分析】（1）观察表格用大量重复试验摸到白球的频率逐渐稳定到的常数表示摸到白球的频率即可；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）白球个数=球的总数×得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数．
【解答】解：（1）∵随着实验次数的增多，摸到白球的频率逐渐靠近常数0.6，∴当实验次数为10000次时，摸到白球的频率将会接近0.6．
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6．
（3）盒子里黑颜色的球有40×（1﹣0.6）=16．
故答案为：0.6，0.6，16．
【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
21．（8分）（2010秋•文成县期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，四边形AECF是平行四边形吗？为什么？
【分析】由于AE、CF都垂直于BD，首先可以确定的是AE∥CF；然后再通过证△ABE≌△CDF，来得出AE=CF即可．
【解答】答：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDE；
又∵∠AEB=∠CDF=90°，
∴△ABE≌△CDF；
∴AE=CF；
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
22．（8分）（2017春•铜山区期中）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）试作出△ABC以点C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；
（2）试作出△ABC以原点O为对称中心，与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（3）若点P在坐标轴上，△PAB与△CAB的面积相等，请直接写出符合条件的与点C距离最近的点P的坐标（0，﹣1）．
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出△A1B1C即可；
（2）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，点P（0，﹣1）即为所求．
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．23．（8分）（2017春•铜山区期中）解方程：
（1）=；
（2）﹣=8．
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项、系数化为1即可，注意检验；
（2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项、系数化为1即可，注意检验．
【解答】
解：（1）去分母，得9（x﹣1）=8x
去括号，得9x﹣9=8x
移项，得9x﹣8x=9
合并同类项得x=9
检验：当x=9时，x（x﹣1）=72≠0，
∴原方程的解为x=9；
（2）去分母，得x﹣8+1=8（x﹣7）
去括号，得x﹣8+1=8x﹣56
移项，得x﹣8x=﹣56+8﹣1
合并同类项得﹣7x=﹣49
系数化为1得，x=7
检验：当x=7时，x﹣7=0，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤以及注意验根是解题的关键．
24．（8分）（2017春•铜山区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，P、Q、M、
N分别是AD、BC、BD、AC的中点．
（1）求证：PQ、MN互相平分；
（2）当四边形ABCD的边满足条件：AB=CD时，PQ⊥MN．（不必证明）
【分析】（1）连接MP、NP、MQ、NQ，根据三角形中位线定理得到PM=AB，PM∥AB，NQ=AB，NQ∥AB，根据平行四边形的判定定理证明四边形PMQN是平行四边形，根据平行四边形的性质定理证明结论；
（2）根据菱形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：连接MP、NP、MQ、NQ，
∵P、M分别是AD、BD的中点，
∴PM=AB，PM∥AB，
同理NQ=AB，NQ∥AB，
∴PM∥NQ，PM=NQ，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∴PQ、MN互相平分；
（2）AB=CD，
∵PM=AB，PN=CD，
当AB=CD时，PM=PN，
则平行四边形PMQN是菱形，
∴PQ⊥MN．
【点评】本题考查的是中点四边形的证明，掌握三角形中位线定理、平行四边形
的判定定理、菱形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．（8分）（2017春•铜山区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：
（1）BF=DF；
（2）BF⊥FE．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF ≌△DAF，得出对应边相等即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．
【解答】证明：如图所示：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF=DF；
（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，
∴BF=EF，
∵BF=DF，
∴EF=DF，
∴∠FDE=∠FED，
∵△BAF≌△DAF，
∴∠ABF=∠FDE，
∴∠ABF=∠FED，
∵∠FED+∠FEA=180°，
∴∠ABF+∠FEA=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°，
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥FE．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
26．（10分）（2017春•铜山区期中）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6．
（1）C点的坐标为（8，0）；
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB 的交点分别为D，F，E，求折痕DE的长；
（3）若点M在x轴上，以M、D、F、N为顶点的四边形是菱形，请直接
．．写出所
有符合条件的点N的坐标（，3）、（，3）、（，3）．．
【分析】（1）要求点C的坐标，只需运用勾股定理求出OC即可．
（2）易证△AFE≌△CFD，得到EF=DF，要求DE，只需求出DF．先证明△DFC∽△AOC，再根据相似三角形的对应边成比例就可求出DF，进而求出DE．
（3）构成菱形的四个顶点的顺序不定，需分情况讨论．由于D、F是定点，可将线段DF分为两大类：DF为菱形的一边、DF为菱形的对角线．然后分别讨论即可．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°．
∵AC=10，OA=6，
∴OC=8．
∴C点的坐标为（8，0）．
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF=FC=5．
∵∠FCD=∠OCA，∠DFC=∠AOC=90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴==．
∴==．
∴DF=，DC=．
∴OD=OC﹣DC=8﹣=．
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF=∠DCF
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF=DF．
∴DE=2DF=2×=．
∴折痕DE的长为．
（3）过点F作FH⊥DC，垂足为H，如图2，
∵S△DFC=DF•FC=DC•FH，DF=，FC=5，DC=，
∴FH=3．
∵FH⊥DC，DF=，FH=3，
∴DH=．
∴OH=OD+DH=4．
∴F（4，3）．
①若DF为菱形的一边
当DM为菱形的对角线时，如图3．点N与点F关于x轴对称，则点N的坐标为（4，﹣3）．
当DM为菱形的另一边时，如图4．此时FN∥DM，FN=DF=．
∵F（4，3），
∴点N的坐标为（4﹣，3）或（4+，3）即（，3）或（，3）．
②若DF为菱形的对角线，如图5．
∵四边形DNFM为菱形，
∴MN⊥DF，DG=DF．
∵DF⊥AC，
∴∠DGM=∠DFC=90°．
∴MN∥AC．
∴△DGM∽△DFC．
∴==．
∴DM=DC=．
∵四边形DNFM为菱形，
∴NF∥DM，NF=DM=．
∴点N的坐标为（4﹣，3）即（，3）．
综上所述：符合要求的点N的坐标可能为（，3）、（，3）、（，3）．
故答案为：（，3）、（，3）、（，3）．
【点评】本题运用了矩形的性质、菱形的性质、三角形相似（包括全等）的性质及判定、勾股定理等知识，综合性强；另外，还考查了分类讨论的思想，注重对学生知识和能力的考查，是一道好题．。