2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷(理科)(20210110100106)
2020年黑龙江省高考理科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年黑龙江省高考理科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B ⋂=（ ） A. (2,3)B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)2. 若p ：x R ∀∈，c o s 1x ≤，则（ ） A. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x > B. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x > C. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x ≥ D. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x ≥3. 下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B. 命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤” C. 命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D. 已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件4. 设函数2,3,()(1),3x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则()2log 6f 值为（ ） A. 3B. 6C. 8D. 125. 函数21010()x xf x x--=的图像大致为（ ）A. B. C. D.6. 已知向量a ，b 满足1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A. 4B. 3C. 2D. 17. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）正视图 仰视图 俯视图A. B.C.D.8. 一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ） A. 若，则乙有必赢的策略 B. 若，则甲有必赢的策略 C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略9．若函数f （x ）＝a sin x +cos x （a 为常数，x ∈R）的图象关于直线x ＝6π对称，则函数g （x ）＝sin x +a cos x 的图象（ ） A ．关于直线x ＝－3π对称 B ．关于直线x ＝6π对称 C ．关于点（3π，0）对称 D ．关于点（56π，0）对称 10．三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥底面ABC ，若SA ＝AB ＝BC ＝AC ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．18πB ．212πC ．21πD ．42π11．直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最小值为( ) A 0 B. 2 C.12- D. 12+12．抛物线2y 2px =p>0（）的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且120AFB ∠=，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为1M ，则1MM AB的最大值为（ ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三下学期第一次模拟考试理科综合试题及答案
哈尔滨市第六中学2020级高三第一次模拟考试理科综合测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
可能用到的相对质量：H-1 C-12 O-16 Ce-140 Na-40第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.“结构与功能相统一”有利于细胞正常完成各项生命活动。
下列四种细胞各损伤了一种细胞结构，对其结果的叙述正确的是（）选项细胞种类损伤结构结果A 唾液腺细胞线粒体细胞质基质中会产生CO2B 叶肉细胞叶绿体暗反应正常进行C 巨噬细胞溶酶体无法正常消化抗原D 根尖分生区细胞中心体细胞无法形成纺锤体2.新型冠状病毒是一种RNA病毒，目前已发现“阿尔法”“德尔塔”和“奥密克戎”等多种变异毒株。
下列有关变异毒株的叙述错误的是（）A.变异毒株的核糖核苷酸序列不同B.变异毒株的传播能力可能不同C.产生变异毒株的根本原因是染色体变异D.不同变异毒株均能激活正常机体免疫应答3.尼古丁是一种能使人高度成瘾的化合物，主要存在于烟草中，具有刺激性气味，可作用于自主神经系统，如图所示。
下列相关叙述正确的是（）A.尼古丁能改变受体的形状，从而为Na+的跨膜运输提供能量B.与不吸烟的正常人相比，吸烟者体内的肾上腺素含量会下降C.根据图示推测，人在戒烟后很可能会出现体重下降的现象D.与不吸烟的正常人相比，吸烟者脂肪细胞的耗氧量会增加4.下图为利用藻类和细菌处理生活污水的一种生物氧化塘系统示意图。
黑龙江省哈六中高三数学第一次模拟考试 理
黑龙江省哈六中高三数学第一次模拟考试 理【会员独享】数学（理工类）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知{}{}1,0,2,sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则=PQA.∅B. {}0C. {}1,0-D. {}1,0,2-2.设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为 A. 12- B. 2- C. 12D.23.二项式1022x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是A. 第10项B. 第9项C. 第8项D. 第7项 4. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=A. 13B. 10C. 4D. 13 5.已知数列{}{},n n a b 满足*11111,2,n n n nb a b a a n N b ++==-==∈，则数列{}n a b 的前10项和为 A.()101413- B. ()104413- C. ()91413- D. ()94413- 6.下列说法中，正确的是A. 命题“若a b <，则22am bm <”的否命题是假命题.B.设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则""l β⊥是 ""αβ⊥ 成立的充分不必要条件.C.命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-<”. D.已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件. 7.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为32，一个内角为60︒的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为A. 23B. 43C. 8D. 48..曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为 A. 42ln 2- B. 2ln 2- C. 4ln 2- D. 2ln 29.长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中1::2:1:3AB AD AA =，则四棱锥O ABCD -的体积为A.263B. 63C.23D.310.在区间[]0,2上任取两个实数,a b ，则函数3()f x x ax b =+-在区间[]1,1-上有且只有一个零点的概率是A.18 B. 14 C. 34 D.7811.设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线A.2B.3C.5D.1012.定义在R 上的函数(1)y f x =-的图像关于(1,0)对称，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()()()0.30.333,log 3log 3,a f b f ππ=⋅=⋅3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 3．本卷共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知等比数列{}n a 中，364736,18.a a a a +=+=若12n a =，则n = .14.如右图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 15.在ABC ∆中，D 为BC 中点，5,3,,,AB AC AB AD AC ==成等比数列，则ABC ∆的面积为 .16.将4个半径都是R 的球体完全装入底面半径是2R 的圆柱形桶中，则桶的最小高度是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分） 已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，21cos cos sin 32=-C C C ，且3=c （1）求角C ；（2）若向量)sin ,1(A m =与)sin ,2(B n =共线，求a 、b 的值．18．（本题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组)80,75[，第2组)85,80[，第3组)90,85[，第4组)95,90[，第5组]100,95[得到的频率分布直方图如图所示 （1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，①已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；②学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，第4组中有ξ名学生被考官D 面试，求ξ的分布列和数学期望．19．（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的侧面PAD 垂直于底面ABCD ，90=∠=∠BCD ADC ，22====BC AD PD PA ，3=CD ，M 在棱PC 上，N 是AD 的中点，二面角C BN M --为30（1）求MCPM的值；（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的正弦值．20．（本题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，直线)(0)21()21()2(R k k y k x k ∈=+++--所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率23=e （1）求椭圆的标准方程；（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，x PH ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得PQ HP =，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．PN MD CBA21. （本题满分12分） 已知函数[]1()3ln(2)ln(2)2f x x x =+--， （1）求x 为何值时，()f x 在[]3,7上取得最大值；（2）设()ln(1)()F x a x f x =--，若()F x 是单调递增函数，求a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
哈尔滨市第六中学校2020届高三第一次模拟考试理科综合试题含答案
考号 姓名 班级
哈尔滨市第六中学校 2020 届第一次模拟考试试题
C.骨折时造成的细胞死亡属于细胞凋亡 D.衰老细胞色素逐渐积累，会妨碍细胞内物质的交流和传递
理科综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第 33－38 题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上 答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形 码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案 的标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体 工整、笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案 装 无效。 4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对 应的题号涂黑。 订 可能用到的相对原子质量 H 1 C 12 O 16 S 32 Ni 59 Ag 108 U 238
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 线 1.下列关于细胞物质基础和结构基础的叙述,正确的是（ ）
2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷(理科)
[选修4-5：不等式选讲]
已知 ＝ ．
Ⅰ 当 ＝ 时，解关不等式 ；
Ⅱ 若 时，方程 ＝ 有两个不同解，求实数 的取值范围．
参考答案与试题解析
2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
Ⅰ 求证：直线 平面 ；
Ⅱ 求二面角 的余弦值．
在 中，设边 ， ， 所对的角分别为 ， ， ，且 ．
Ⅰ 若 ，求 的值．
Ⅱ 若 的面积为 ，求 的值．
甲、乙二人进行一次象棋比赛，每局胜者得 分，负者得 分（无平局），约定一方得 分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束，设在每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立，已知前 局中，甲得 分，乙得 分．
2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.已知集合 ＝ ， ＝ ，若 ，则实数 的取值集合为（）
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 值为（）
A. B. C. D.
3.若实数 ， 满足不等式组 ，则 ＝ 的最小值为（）
④ ．
A.①②④B.②③C.①②D.①②③
12.过直线 ＝ 上一点 可以作曲线 ＝ 两条切线，则点 横坐标 的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
平面向量 满足 ，则 的值为________．
2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷(理科)
2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x ∈Z|x 2−x ≤2}，B ＝{1, a}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为（ ） A.{−1, 1, 0, 2} B.{−1, 0, 2} C.{−1, 1, 2} D.{0, 2}2. 已知复数z =51+2i+i 1−i，则|z|值为（ ）A.1B.√13C.3√22D.√1023. 若实数x ，y 满足不等式组{2x −y −4≤04x −5y −1≥0x +y ≥2 ，则z ＝3x −2y 的最小值为（ ）A.−23 B.109C.4D.1994. 设S n 为正项递增等比数列{a n }的前n 项和，且2a 3+2＝a 2+a 4，a 1a 5＝16，则S 6的值为（ ） A.63 B.64 C.127 D.1285. 哈六中开展劳动教育，决定在5月12日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为（ ） A.8 B.10 C.12 D.146. 若0<α<π2,0<β<π2,sin (π3−α2)=√55,cos (β2−π3)=45，则cosα−β2的值为（ ）A.√55 B.11√525C.2√55D.7√5257. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（ ）（注：一丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5∘≈513）A.300立方寸B.305.6立方寸C.310立方寸D.316.6立方寸8. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2, 0)，过F 作双曲线C 一条渐近线的垂线，垂足为点A ，且与另一条渐近线交于点B ，若BA →=AF →，则双曲线方程为（ ） A.x 23−y 2=1B.x 2−y 23=1 C.x 24−y 212=1 D.x 212−y 23=19. 已知函数f(x)=2sin (ωx +2φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为2π，函数f(x)图象关于直线x =π6对称，且满足函数f(x)在区间[−π6,π6]上单调递增，则φ＝（ ） A.π3B.−π3C.−π6D.π610. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，且f(x +2)＝−f(x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)＝2x 2，则函数g(x)=f(x)−log 12|x|的零点个数为（ ）A.3B.4C.5D.611. 如图，三棱锥S −ABC中，平面SAC ⊥平面ABC ，过点B 且与AC 平行的平面α分别与棱SA 、SC 交于E ，F ，若SA =SC =BA =BC =2,AC =2√2，则下列结论正确的序号为（ ）①AC // EF ；②若E ，F 分别为SA ，SC 的中点，则四棱锥B −AEFC 的体积为√22； ③若E ，F 分别为SA ，SC 的中点，则BF 与SA 所成角的余弦值为√33； ④SC ⊥BE ．A.②③B.①②④C.①②③D.①②12. 过直线y ＝x 上一点P 可以作曲线f(x)＝x −ln x 两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（ ） A.t <1B.t <0C.0<t <1D.1e <t <1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．平面向量a →,b →满足|a →|=2,|b →|=1,a →⊥(2a →−b →)，则|a →+b →|的值为________．一批电池（一节）用于无线麦克风的寿命服从均值为34.3小时，标准差为4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30个小时的概率________． （参考数据：P(μ−σ<X ≤μ+σ)＝0.6826，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)＝0.9544）已知数列{a n }满足，a 1＝−1，a n −a n−1＝(−1)n ⋅n 2(n ≥2, n ∈N ∗)，则a 20＝________．已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若点M(−1, 1)，且MA ⊥MB ，则弦AB 的长度为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，AB ＝AA 1＝4，F 为BC 的中点．点E 在棱C 1C 上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)求证：直线B 1F ⊥平面AEF ； (Ⅱ)求二面角B 1−AE −F 的余弦值．在△ABC 中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a 2+b 2−3a cos C =6,sin A =√2sin B ． (Ⅰ)若b =√2，求tan A 的值．(Ⅱ)若△ABC 的面积为b2，求a +b 的值．甲、乙二人进行一次象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分（无平局），约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束，设在每局比赛中，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立，已知前3局中，甲得1分，乙得2分．(Ⅰ)求甲获得这次比赛胜利的概率；(Ⅱ)设X 表示从第4局开始到比赛结束所进行的局数，求X 的分布列及数学期望．已知椭圆C:x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 的倾斜角为锐角，P 为椭圆的上顶点，且PF 1⊥PF 2． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与椭圆C 交异于点P 的两点A ，B ，且直线PA ，PB 与直线x +y −2＝0分别交于不同两点M 、N ，当|MN|最小时，求直线l 的方程．已知函数f(x)=(x −2) e x ．(1)判断方程f(x +1)=ln (x +1)−x 的根个数；(2)若x ≥0时，f(x)≥k(x 2−2x −1)恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的参数方程为{x =cos θy =1+sin θ （θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝4．(Ⅰ)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)若射线θ=π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ=2π3与曲线C 交于O ，P 两点，求△PAB 的面积．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)＝|2x −1|+|x −a|．(Ⅰ)当a ＝3时，解关不等式f(x)≥5；(Ⅱ)若x ≥1时，方程f(x)＝x 2+1有两个不同解，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.【答案】 B【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】先确定集合A ＝{−1, 0, 1, 2}，然后利用B ⊆A ，得到集合B 的元素和A 的关系． 【解答】A ＝{x ∈Z|x 2−x ≤2}＝{x ∈Z|−1≤x ≤2}＝{−1, 0, 1, 2}，因为B ⊆A ， 若B ⊆A ，则 a ＝−1或0或（2） 则实数a 的取值的集合为{−1, 0, 2} 2.【答案】 D【考点】 复数的模 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】∵ z =51+2i +i1−i =5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i(1+i)(1−i)(1+i) ＝1−2i −12+12i =12−32i ，∴ |z|=√(12)2+(−32)2=√102． 3. 【答案】 D【考点】 简单线性规划 【解析】画出满足条件的平面区域，结合图象求出z 的最小值即可． 【解答】画出满足条件{2x −y −4≤04x −5y −1≥0x +y ≥2 的平面区域，如图示：，由{4x −5y −1=0x +y =2 ，解得：{x =119y =79 ， 由z ＝3x −2y 得y =32x −z2，结合图象直线y =32x −z2过(119, 79)时，−z2最大，即z 最小， 故z 的最小值是：z ＝3×119−2×79=199，4.【答案】 A【考点】等比数列的前n 项和 【解析】根据题意，由等比中项的性质求出a 3＝4，进而可得a 2+a 4=4q +4q ＝10，解可得q 的值，由等比数列的通项公式计算可得a 1＝1，进而由等比数列的前n 项和公式计算可得答案． 【解答】根据题意，正项递增等比数列{a n }中，a 1a 5＝16，即a 32＝16，则a 3＝4， 又由2a 3+2＝a 2+a 4，则a 2+a 4=4q+4q ＝10，解可得q ＝2或12，又由数列{a n }为正项递增等比数列，则q ＝2； 又由a 3＝4，则a 1＝1， 则S 6=a 1(1−q 6)1−q=63；5.【答案】 A【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两人去一个植树点，剩下3人去另一个植树点，②小明和小李还有另外1人去一个植树点，剩下2人去另一个植树点，由加法原理计算可得答案．【解答】根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两人去一个植树点，剩下3人去另一个植树点，有C21＝2种分配方案，②小明和小李还有另外1人去一个植树点，剩下2人去另一个植树点，有C31C21＝6种分配方案，则一共有2+6＝8种分配方案；6.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】观察所求角与已知角可以发现β−α2=(β2−π3)+(π3−α2)，利用两角和的余弦公式计算即可求解．【解答】因为0<α<π2，所以π12<π3−α2<π3，又sin(π3−α2)=√55，所以cos(π3−α2)=2√55，因为0<β<π2，所以−π3<β2−π3<−π12，又cos(β2−π3)=45，所以sin(β2−π3)=−35，所以cosα−β2=cosβ−α2=cos[(β2−π3)+(π3−α2)]＝cos(β2−π3)cos(π3−α2)−sin(β2−π3)sin(π3−α2)=45×2√55−(−35)×√55=11√525．7.【答案】D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案．【解答】如图，AB＝10（寸），则AD＝5（寸），CD＝1（寸），设圆O的半径为x（寸），则OD＝(x−1)（寸），在Rt△ADO中，由勾股定理可得：52+(x−1)2＝x2，解得：x＝13（寸）．∴sin∠AOD=ADAO=513，即∠AOD≈22.5∘，则∠AOB＝45∘．则弓形ACB̂的面积S=12×π4×132−12×10×12≈6.3325（平方寸）．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V＝6.3325×50≈316.6（立方寸）．8.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】求得双曲线的渐近线方程，可得A为BF的中点，判断△OBF为等腰三角形，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，以及双曲线的a，b，c的关系，求得a，b，可得所求双曲线的方程．【解答】由题意可得c＝2，即a2+b2＝4，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y＝±bax，设A在渐近线y=bax上，可得|AF|=√a2+b2=b，若BA→=AF→，则A为BF的中点如图，且OA⊥BF，可得△OBF为等腰三角形，则∠BOA＝∠AOF＝60∘，在直角三角形AOF中，可得|AF|＝|OF|sin60∘＝2×√32=√3，即b=√3，a=√c2−b2=1，则双曲线的方程为x2−y23=(1)故选：B．9.【答案】D【考点】正弦函数的单调性【解析】根据题意，由正弦函数的周期计算可得ω＝1，结合正弦函数的图象可得函数f(x)在x=π6时取得最大值，则有π6+2φ＝2kπ+π2，(k∈Z)，变形可得φ＝kπ+π6，结合φ的范围分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=2sin(ωx+2φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为2π，即T=2πω=2π，则ω＝1，则f(x)＝2siin(x+2φ)，函数f(x)图象关于直线x=π6对称，且满足函数f(x)在区间[−π6,π6]上单调递增，则函数f(x)在x=π6时取得最大值，则有π6+2φ＝2kπ+π2，(k∈Z)变形可得：φ＝kπ+π6，又由|φ|<π2，即−π2<φ<π2，则φ=π6，10.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x+2)＝−f(x)，可得周期T＝4，且关于x＝1对称，根据x∈[0, 1]时，f(x)＝2x2，作出f(x)的图象与y=log12|x|之间的交点，可得函数g(x)的零点个数；【解答】∵f(x+2)＝−f(x)∴f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，可得周期T＝4，又∵f(x)是奇函数，可得f(−x)＝−f(x)，∴f(x+2)＝f(−x)，可得函数f(x)关于x＝1对称，当x∈[0, 1]时，f(x)＝2x2，作出f(x)的图象如与y=log12|x|之间的交点，结合函数的图象可知，图象的交点有4个．即函数g(x)=f(x)−log12|x|的零点个数为4个．11.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】①由线面平行的性质定理可判断；②取AC的中点M，连接BM、SM，由面面垂直的性质定理可推出BM⊥平面SAC；由S AEFC＝S△SAC−S△SEF计算出底面AEFC的面积；再根据棱锥的体积公式V B−AEFC=13BM⋅S AEFC即可得解；③连接MF，由FM // SA，可推出∠BFM即为BF与SA所成角；在Rt△BMF中，tan∠BFM=BMFM，再求出cos∠BFM的值即可；④连接EM，由②知，BM⊥平面SAC，故BM⊥SC，再由线面垂直的判定定理可推出SC⊥平面BME，于是有SC⊥EM，这与SC // EM相矛盾．【解答】①∵AC // 平面BEF，平面SAC∩平面BEF＝EF，AC⊂平面SAC，∴AC // EF，即①正确；②取AC的中点M，连接BM、SM，∵BA＝BC，∴BM⊥AM，又平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，∴BM⊥平面SAC，即点B到平面AEFC的距离为BM=√2．∵SA＝SC＝2，AC=2√2，∴△SAC为等腰直角三角形，∴S AEFC＝S△SAC−S△SEF=12SA⋅SC−12SE⋅SF=32．∴V B−AEFC=13BM⋅S AEFC=13×√2×32=√22，即②正确；③连接MF，∵M、F分别为AC、SC的中点，∴FM // SA，FM=12SA＝1，∴∠BFM即为BF与SA所成角．在Rt△BMF中，tan∠BFM=BMFM=√21=√2，∴cos∠BFM=√33，∴BF与SA所成角的余弦值为√33，即③正确；④连接EM，由②知，BM⊥平面SAC，∴BM⊥SC，若SC⊥BE，∵BM∩BE＝B，BM、BE⊂平面BME，∴SC⊥平面BME，又EM⊂平面BME，∴SC⊥EM，这与SC // EM相矛盾，即④错误．∴ 正确的有①②③， 12.【答案】 C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设切点为(m, m −ln m)，m >0，求得f(x)的导数，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，以及构造函数，求得导数和单调性、最值，结合图象可得所求范围． 【解答】设切点为(m, m −ln m)，m >0， 由f(x)＝x −ln x 的导数为f′(x)＝1−1x ， 可得切线的斜率为1−1m ， 又P(t, t)，可得m−ln m−t m−t=1−1m，化为t ＝m −m ln m ，设g(x)＝x −x ln x ，可得g′(x)＝1−(1+ln x)＝−ln x ，当x >1时，g′(x)<0，g(x)递减；当0<x <1时，g′(x)>0，g(x)递增． 可得g(x)在x ＝1处取得最大值1， g(x)的图象如右图，由题意可得当0<t <1时，方程t ＝m −m ln m 有两解，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 【答案】√21【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意利用两个向量垂直的性质求得a →⋅b →的值，再根据求向量的模的方法，求出|a →+b →|的值． 【解答】∵ 平面向量a →,b →满足|a →|=2,|b →|=1,a →⊥(2a →−b →)， ∴ a →⋅(2a →−b →)＝2a →2−a →⋅b →=8−a →⋅b →=0，∴ a →⋅b →=(8)则|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+b →2+2a →⋅b →=√4+1+2×8=√21， 【答案】 0.8413 【考点】正态分布的密度曲线 【解析】结合已知条件可知，电池的寿命X ∼N(34.3, 4.32)，易知问题即为求P(X ≥30)，结合正态分布函数的性质易得结果． 【解答】设电池（一节）用于无线麦克风的寿命为随机变量X ， 由题意知X ∼N(34.3, 4.32)． 所以P(X ≥30)＝1−1−P(μ−σ<X≤μ+σ)2=1−1−0.68262=0.84(13)【答案】 210【考点】 数列递推式 【解析】直接利用数列的递推关系式和叠加法的应用求出结果． 【解答】数列{a n }满足，a 1＝−1，当n ＝2时，a 2−a 1=(−1)2×22=4， 当n ＝3时，a 3−a 2=(−1)3×32=−9， 当n ＝4时，a 4−a 3=(−1)4×42=16， 当n ＝5时，a 5−a 4=(−1)5×52=−25， …，a 20−a 19=(−1)20×202=400，所以a 20＝(a 20−a 19)+(a 19−a 18)+...+(a 2−a 1)+a 1＝(−1+4)+(−9+16)+...+(202−192)， ＝3+7+11+ (39)10×(39+3)2=2(10)【答案】 5【考点】 抛物线的性质 【解析】设出直线l 方程，代入抛物线的方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得k 的值，然后求解|AB|． 【解答】∵ 抛物线的方程为y 2＝4x ，∴ F(1, 0)，设焦点弦方程为y ＝k(x −1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， {y =k(x −1)y 2=4x ，整理得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2＝0 由韦达定理：x 1+x 2＝2+4k 2，x 1x 2＝1，则y 1y 2＝−4，y 1+y 2=4k ，∵ M(−1, 1)，MA ⊥MB ，∴ (x 1+1, y 1−1)⋅(x 2+1, y 2−1)＝0， ∴ 4−4k +k 2＝0， ∴ k ＝（2）弦AB 的长度为x 1+x 2+p ＝2+44+2＝（5）三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】（1）取B 1C 1中点D ，连接DF ，设AB ＝4，以F 为坐标原点，FA →,FB →,FD →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，B 1(0,2,0),F(0,0,0),A(2√3,0,0),E(0,−2,1)，∴ B1F →=(0,−2,−4),FA →=(2√3,0,0),FE →=(0,−2,1)， 设平面AEF 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1) ∵ {m →⋅FA →=0m →⋅FE →=0， ∴ {2√3x 1=0−2y 1+z 1=0，∴ m →=(0,1,2)，∵ B 1F →=−2m →， ∴ B 1F →∥m →，∴ 直线B 1F ⊥平面AEF ．(2)AE →=(−2√3,−2,1),B 1E →=(0,4,3)， 设平面B 1AE 的法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)∵ {n →⋅AE →=0n →⋅B 1E →=0 ，∴ {−2√3x 2−2y 2+z 2=04y 2+3z 2=0 ，不妨取y 2＝3√3，则x 2＝−5，z 2＝−4√3． ∴ n →=(−5,3√3,−4√3)， 平面AEF 的法向量为m →=(0,1,2)， 设二面角B 1−AE −F 的平面角为θ， ∴ cos θ=−m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√1510．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)取B 1C 1中点D ，连接DF ，设AB ＝4，以F 为坐标原点，FA →,FB →,FD →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面AEF 的法向量，证明B 1F →∥m →，得到直线B 1F ⊥平面AEF ．(Ⅱ)求出平面B 1AE 的法向量，平面AEF 的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可． 【解答】（1）取B 1C 1中点D ，连接DF ，设AB ＝4，以F 为坐标原点，FA →,FB →,FD →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，B 1(0,2,0),F(0,0,0),A(2√3,0,0),E(0,−2,1)，∴ B 1F →=(0,−2,−4),FA →=(2√3,0,0),FE →=(0,−2,1)， 设平面AEF 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1) ∵ {m →⋅FA →=0m →⋅FE →=0， ∴ {2√3x 1=0−2y 1+z 1=0，∴ m →=(0,1,2)，∵ B 1F →=−2m →， ∴ B 1F →∥m →，∴ 直线B 1F ⊥平面AEF ．(2)AE →=(−2√3,−2,1),B 1E →=(0,4,3)， 设平面B 1AE 的法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)∵ {n →⋅AE →=0n →⋅B 1E →=0 ，∴ {−2√3x 2−2y 2+z 2=04y 2+3z 2=0 ，不妨取y 2＝3√3，则x 2＝−5，z 2＝−4√3． ∴ n →=(−5,3√3,−4√3)， 平面AEF 的法向量为m →=(0,1,2)， 设二面角B 1−AE −F 的平面角为θ， ∴ cos θ=−m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√1510．【答案】（1）∵sin A=√2sin B，∴a=√2b，∵b=√2，∴a＝2，∵a2+b2−3a cos C＝6，∴cos C＝0，∵C∈(0, π)，∴C=π2，∴tan A=ab=√2．（2）∵S△ABC=12ab sin C=b2，∴sin C=1a =√2b，∵a2+b2−3a cos C＝6，且a=√2b，∴cos C=22b，∵sin2C+cos2C＝1，∴12b2+(b2−2)22b2=1，∴b＝1或√5，当b＝1时，a=√2，∴a+b=√2+1，当b=√5时，a=√10，∴a+b=√10+√5．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)由已知利用正弦定理可得a=√2b，利用余弦定理可求cos C＝0，结合C的范围可求C=π2，利用三角函数的定义可求tan A的值．(Ⅱ)由已知利用三角形的面积公式，余弦定理可求cos C=22b ，利用同角三角函数基本关系式可求b的值，进而求得a的值，即可得解．【解答】（1）∵sin A=√2sin B，∴a=√2b，∵b=√2，∴a＝2，∵a2+b2−3a cos C＝6，∴cos C＝0，∵C∈(0, π)，∴C=π2，∴tan A=ab=√2．（2）∵S△ABC=12ab sin C=b2，∴sin C=1a=√2b，∵a2+b2−3a cos C＝6，且a=√2b，∴cos C=2√2b，∵sin2C+cos2C＝1，∴12b2+(b2−2)22b2=1，∴b＝1或√5，当b＝1时，a=√2，∴a+b=√2+1，当b=√5时，a=√10，∴a+b=√10+√5．【答案】（1）设甲获得这次比赛胜利为事件A，P(A)=(23)3+C31(23)313=1627，∴甲获得这次比赛胜利的概率为1627．（2）X的取值可能为2，3，4，P(X=2)=(13)2=19，P(X=3)=(23)3+C2123(13)2=49，P(X=4)=C32(23)213=49，∴X的分布列为：∴ E(X)=103． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)设甲获得这次比赛胜利为事件A ，通过独立重复实验以及互斥事件求解概率即可． (Ⅱ)X 的取值可能为2，3，4，求出概率．得到X 的分布列然后求解期望． 【解答】（1）设甲获得这次比赛胜利为事件A ，P(A)=(23)3+C 31(23)313=1627，∴ 甲获得这次比赛胜利的概率为1627． （2）X 的取值可能为2，3，4， P(X =2)=(13)2=19，P(X =3)=(23)3+C 2123(13)2=49， P(X =4)=C 32(23)213=49，∴ X 的分布列为：∴ E(X)=103．【答案】（1）由题意可知，|PF 1|＝|PF 2|，且点P 的坐标为(0, 1)， ∵ PF 1⊥PF 2，∴ |OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝1， ∴ b ＝c ＝1，∴ a =√2， ∴ 椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（2）设直线l:x ＝my −1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程得，{x 22+y 2=1x =my −1，∴ (m 2+2)y 2−2my −1＝0，∴ △>0恒成立，∴ {y 1+y 2=2mm 2+2y 1y 2=−1m +2 ， ∴ k PA =y 1−1x 1，∴ 直线PA 的方程为y =y 1−1x 1x +1，联立直线x +y −2＝0得y M =x 1+2y 1−2x 1+y 1−1=(m+2)y 1−3(m+1)y 1−2；同理可得y N =x 2+2y 2−2x 2+y 2−1=(m+2)y 2−3(m+1)y 2−2，∴ |MN|=√2|y M −y N |=√2|(m+2)y 1−3(m+1)y 1−2−(m+2)y 2−3(m+1)y 2−2|=√2|(m −1)(y 1−y 2)(m +1)2y 1y 2−2(m +1)(y 1+y 2)+4|=√2|m −1|√(y 1+y 2)−4y 1y 2|(m +1)2y 1y 2−2(m +1)(y 1+y 2)+4|=4|m−1|√m 2+1|m 2+6m−7|=4√m 2+1|m+7|，令t ＝m +7∈(7, +∞)，4√m 2+1|m+7|=4√1−14t+50t 2，令n =1t∈(0,17)=4√50n 2−14n +1， 当n =750时，|MN|最小，此时m =17， ∴ 直线l 的方程为y ＝7x +(7)【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 椭圆的应用【解析】(Ⅰ)利用已知条件推出b ＝c ＝1，求出a ，即可得到椭圆C 的方程．(Ⅱ)设直线l:x ＝my −1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{x 22+y 2=1x =my −1 ，得到(m 2+2)y 2−2my −1＝0，利用韦达定理，求出PA 的方程，求出M ，N 的纵坐标，求出弦长MN 的表达式，利用换元法转化求解最小值时m 的值，然后求解直线方程． 【解答】（1）由题意可知，|PF 1|＝|PF 2|，且点P 的坐标为(0, 1)， ∵ PF 1⊥PF 2，∴ |OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝1， ∴ b ＝c ＝1，∴ a =√2， ∴ 椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（2）设直线l:x ＝my −1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程得，{x 22+y 2=1x =my −1 ，∴ (m 2+2)y 2−2my −1＝0，∴ △>0恒成立，∴ {y 1+y 2=2mm 2+2y 1y 2=−1m 2+2 ， ∴ k PA =y 1−1x 1，∴ 直线PA 的方程为y =y 1−1x 1x +1，联立直线x +y −2＝0得y M =x 1+2y 1−2x 1+y 1−1=(m+2)y 1−3(m+1)y 1−2；同理可得y N =x 2+2y 2−2x 2+y 2−1=(m+2)y 2−3(m+1)y 2−2，∴ |MN|=√2|y M −y N |=√2|(m+2)y 1−3(m+1)y 1−2−(m+2)y 2−3(m+1)y2−2|=√2|(m −1)(y 1−y 2)(m +1)2y 1y 2−2(m +1)(y 1+y 2)+4|=√2|m −1|√(y 1+y 2)−4y 1y 2|(m +1)2y 1y 2−2(m +1)(y 1+y 2)+4|=4|m−1|√m 2+1|m 2+6m−7|=4√m 2+1|m+7|，令t ＝m +7∈(7, +∞)，4√m 2+1|m+7|=4√1−14t+50t 2，令n =1t ∈(0,17)=4√50n 2−14n +1， 当n =750时，|MN|最小，此时m =17，∴ 直线l 的方程为y ＝7x +(7) 【答案】解：(1)设g(x)=f(x +1)−ln (x +1)+x ，x ∈(−1, +∞)， 则g(x)=(x −1) e x+1−ln (x +1)+x ，x ∈(−1, +∞)， ∴ g ′(x)=xe x+1−1x+1+1=x(e x+1+1x+1). ∵ x >−1， ∴ e x+1+1x+1>0.令g ′(x)=0， ∴ x =0，∴ g(x)在(−1, 0)上是减函数，在(0, +∞)上是增函数， ∴ g(x)min =g(0)=−e <0.∵ x →−1时，g(x)→+∞且g(1)=1−ln 2>0， ∴ g(x)在(−1,0)和(0,1)上各有一个零点，∴ 方程f(x +1)=ln (x +1)−x 的根的个数为2.(2)设ℎ(x)=f(x)−k(x 2−2x −1)=(x −2)e x −k(x 2−2x −1)，x ∈[0, +∞)， 则ℎ′(x)=(x −1)( e x −2k). ∵ x ≥0，∴ e x ≥1.①当2k ≤1时，即k ≤12，∴ e x −2k ≥0，令ℎ′(x)=0，即(x −1)( e x −2k)=0， 解得x =1，∴ ℎ(x)在[0, 1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(1)=− e +2k ≥0， ∴ k ≥ e2（舍）；②当2k >1时，即k >12，令ℎ′(x)=0，∴ x =1或x =ln 2k ， (i)当ln 2k =1时，即k = e2，∴ ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(0)=−2+ e 2<0（舍）；(ii)当ln 2k <1时，即12<k < e2，令ℎ′(x)>0，∴ x ∈[0, ln 2k)∪(1, +∞)， 令ℎ′(x)<0， ∴ x ∈(ln 2k,1)，∴ ℎ(x)在[0, ln 2k)上是增函数，在(ln 2k,1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数， ∴ ℎ(0)=−2+k <0，且ℎ(1)=− e +2k <0， ∴ ℎ(x)min <0，∴ 不等式不恒成立（舍）； (iii)当ln 2k >1时，即k > e2，令ℎ′(x)>0，∴ x ∈[0, 1)∪ln (2k,+∞)， 令ℎ′(x)<0，∴ x ∈(1, ln 2k)，∴ ℎ(x)在[0, 1)上是增函数，在(1, ln 2k)上是减函数，在(ln 2k,+∞)上是增函数， ∴ ℎ(0)=−2+k ≥0，即k ≥2，∴ k ≥2，且ℎ(ln (2k))=−k(ln 2k −1)(ln 2k −3)≥0， ∴ e2≤k ≤ e 32∴ k ∈[2, e 32]．综上所述，实数k 的取值范围是[2, e 32]．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：(1)设g(x)=f(x+1)−ln(x+1)+x，x∈(−1, +∞)，则g(x)=(x−1) e x+1−ln(x+1)+x，x∈(−1, +∞)，∴g′(x)=xe x+1−1x+1+1=x(e x+1+1x+1).∵x>−1，∴ e x+1+1x+1>0.令g′(x)=0，∴x=0，∴g(x)在(−1, 0)上是减函数，在(0, +∞)上是增函数，∴g(x)min=g(0)=−e<0.∵x→−1时，g(x)→+∞且g(1)=1−ln2>0，∴g(x)在(−1,0)和(0,1)上各有一个零点，∴方程f(x+1)=ln(x+1)−x的根的个数为2.(2)设ℎ(x)=f(x)−k(x2−2x−1)=(x−2)e x−k(x2−2x−1)，x∈[0, +∞)，则ℎ′(x)=(x−1)( e x−2k).∵x≥0，∴e x≥1.①当2k≤1时，即k≤12，∴ e x−2k≥0，令ℎ′(x)=0，即(x−1)( e x−2k)=0，解得x=1，∴ℎ(x)在[0, 1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数，∴ℎ(x)min=ℎ(1)=− e+2k≥0，∴k≥ e2（舍）；②当2k>1时，即k>12，令ℎ′(x)=0，∴x=1或x=ln2k，(i)当ln2k=1时，即k= e2，∴ℎ′(x)≥0，∴ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，∴ℎ(x)min=ℎ(0)=−2+ e2<0（舍）；(ii)当ln2k<1时，即12<k< e2，令ℎ′(x)>0，∴x∈[0, ln2k)∪(1, +∞)，令ℎ′(x)<0，∴x∈(ln2k,1)，∴ℎ(x)在[0, ln2k)上是增函数，在(ln2k,1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数，∴ℎ(0)=−2+k<0，且ℎ(1)=− e+2k<0，∴ℎ(x)min<0，∴不等式不恒成立（舍）；(iii)当ln2k>1时，即k> e2，令ℎ′(x)>0，∴x∈[0, 1)∪ln(2k,+∞)，令ℎ′(x)<0，∴x∈(1, ln2k)，∴ℎ(x)在[0, 1)上是增函数，在(1, ln2k)上是减函数，在(ln2k,+∞)上是增函数，∴ℎ(0)=−2+k≥0，即k≥2，∴k≥2，且ℎ(ln(2k))=−k(ln2k−1)(ln2k−3)≥0，∴ e2≤k≤ e32∴k∈[2, e32]．综上所述，实数k的取值范围是[2, e32]．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】（1）∵x＝cosθ，y＝1+sinθ∴sinθ＝y−1，∴x2+(y−1)2＝1，∴x2+y2−2y＝（0）∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ＝2sinθ，又∵直线l的极坐标方程为ρsinθ＝4，∴y＝（4）∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l的直角坐标方程为y＝（4）（2）由题意可知，设点A的极坐标为(ρ1,π3)，点B的极坐标为(ρ2,π3)，点P的极坐标为(ρ3,2π3)∴ρ1=2sinπ3=√3,ρ2=4sinπ3=8√33,ρ3=2sin2π3=√3．∴|AB|=ρ2−ρ1=5√33．点P到直线AB的距离为d=ρ3sinπ3=32，∴S△PAB=12|AB|d=5√34．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把曲线的极坐标方程转换为普通方程． (Ⅱ)利用极径的应用和三角形的面积关系式的应用求出结果． 【解答】（1）∵ x ＝cos θ，y ＝1+sin θ∴ sin θ＝y −1， ∴ x 2+(y −1)2＝1， ∴ x 2+y 2−2y ＝（0） ∵ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴ ρ＝2sin θ，又∵ 直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝4， ∴ y ＝（4）∴ 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ， 直线l 的直角坐标方程为y ＝（4）（2）由题意可知，设点A 的极坐标为(ρ1,π3)，点B 的极坐标为(ρ2,π3)，点P 的极坐标为(ρ3,2π3)∴ ρ1=2sin π3=√3,ρ2=4sin π3=8√33,ρ3=2sin2π3=√3．∴ |AB|=ρ2−ρ1=5√33．点P 到直线AB 的距离为d =ρ3sin π3=32， ∴ S △PAB =12|AB|d =5√34． [选修4-5：不等式选讲]【答案】（1）当a ＝3时，f(x)＝|2x −1|+|x −3|， ∴ |2x −1|+|x −3|≥5，当x ≥3时，2x −1+x −3≥5，∴ x ≥3成立，当12<x <3时，2x −1+3−x ≥5，∴ x ≥3不成立，∴ 不等式无解，当x ≤12时，1−2x +3−x ≥5，∴ x ≤−13成立， ∴ 不等式的解集为(−∞,−13]∪[3,+∞)．（2）∵ 方程f(x)＝x 2+1在[1, +∞)有两个不同的解，∴ |2x −1|+|x −a|＝x 2+1，∴ |x −a|＝x 2−2x +2有两个不相同的实数解， 设g(x)=|x −a|={x −a,x ≥a−x +a,x <a ，ℎ(x)＝x 2−2x +2，(x ≥1)由题意可知，函数g(x)与ℎ(x)在[1, +∞)上有两个不同的交点 由图象可知，a ∈[0,14)．【考点】绝对值不等式的解法与证明 函数的零点与方程根的关系 【解析】(Ⅰ)当a ＝3时，化简不等式为|2x −1|+|x −3|≥5，通过当x ≥3时，当12<x <3时，当x ≤12时，去掉绝对值符号，求解不等式即可．(Ⅱ)方程f(x)＝x 2+1在[1, +∞)有两个不同的解，转化为|x −a|＝x 2−2x +2有两个根，利用数形结合转化求解即可． 【解答】（1）当a ＝3时，f(x)＝|2x −1|+|x −3|， ∴ |2x −1|+|x −3|≥5，当x ≥3时，2x −1+x −3≥5，∴ x ≥3成立，当12<x <3时，2x −1+3−x ≥5，∴ x ≥3不成立，∴ 不等式无解，当x ≤12时，1−2x +3−x ≥5，∴ x ≤−13成立， ∴ 不等式的解集为(−∞,−13]∪[3,+∞)．（2）∵ 方程f(x)＝x 2+1在[1, +∞)有两个不同的解，∴ |2x −1|+|x −a|＝x 2+1，∴ |x −a|＝x 2−2x +2有两个不相同的实数解， 设g(x)=|x −a|={x −a,x ≥a−x +a,x <a ，ℎ(x)＝x 2−2x +2，(x ≥1)由题意可知，函数g(x)与ℎ(x)在[1, +∞)上有两个不同的交点 由图象可知，a ∈[0,14)．。
哈尔滨市第六中学校2020届高三数学第一次模拟考试试题文含解析
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式,以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
6. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒,借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 ，则一开始输入的 的值为( ）
【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模，考查考生的运算求解能力，熟记复数模的计算公式是本题的解题关键,属于基础题。
3。 设函数 ，则 的值为（ )
A. —7B. —1C. 0D。
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分段函数的性质即可得出．
【详解】∵函数 ，
∴
故选D
【点睛】（1)求分段函数 函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值,当出现f（f(a））的形式时,应从内到外依次求值．
【答案】B
【解析】
【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心,判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点,
当 平面 时，三棱锥 体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
点睛:本题主要考查三棱锥 外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式,判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到 ，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
【答案】
【解析】
【分析】
画出图像，找到可行域，画出目标函数的等值线 ，并在可行域中进行平移，可得目标函数取最值的最优解。
2020年黑龙江高三一模数学试卷(理科)
2020年黑龙江高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集，集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数，则的虚部为（ ）．A. B. C. D.3.年某校迎国庆周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是，乙队得分的平均数是，则（ ）．甲乙A. B. C. D.4.的展开式中的系数为（ ）．A. B. C. D.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术："置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长．与高，计算其体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）．A.B.C.D.6.已知公差不为的等差数列的前项的和为，，且，，成等比数列，则（ ）．A.B.C.D.7.下列说法正确的是（ ）．A.命题“，”的否定形式是“，”B.若平面，，，满足，则C.随机变量服从正态分布，若，则D.设是实数，“”是“” 的充分不必要条件8.已知双曲线的右焦点与圆的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.：：9.已知是圆心为坐标原点，半径为的圆上的任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交圆于点，则的最大值为（ ）．A.B. C.D.10.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程 表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（ ）．A.B.C.D.11.已知函数，若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）．A.B.C.D.，，12.已知定义在上的函数满足，且当时，．设在上的最大值，且数列的前项的和为．若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若曲线（其中常数）在点处的切线的斜率为，则．14.若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．则在区间上的最小值为 ．15.如图所示，在边长为的正方形纸片中，与相交于．剪去，将剩余部分沿、折叠，使、重合，则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为 ．16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是 ．xyO三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，为边上一点，，．求．若，，求．（1）（2）18.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了人的分数．以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：分数若分数不低于分，则称该员工的成绩为“优秀”．从这人中任取人，求恰有人成绩“优秀”的概率．根据这人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题．1 2分数频率组距组别分组频数频率估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．若从所有员工中任选人，记表示抽到的员工成绩为”优秀”的人数，求的分布列和数学期望．频率组距（1）（2）19.已知抛物线的焦点为，过上一点作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点．证明：直线的斜率是．若，，成等比数列，求直线的方程．（1）（2）20.如图，在直角中，，通过以直线为轴顺时针旋转得到（）．点为斜边上一点．点为线段上一点，且．证明：平面．当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角的正弦值．【答案】解析:∵，，∴，又∵，∴，故选项正确．解析:∵．（1）（2）21.已知函数，是的导数．当时，令，为的导数．证明：在区间存在唯一的极小值点．已知函数，在上单调递减，求的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点在曲线上，点满足．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐标方程．点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．（1）（2）23.已知关于的不等式有解．求实数的最大值．若，，均为正实数，且满足．证明：．B1.A2.∴的虚部为，故选项正确．解析:∵甲队得分的中位数是，乙队得分的平均数为，则由茎叶图性质知：甲队：、、、、、、，若要使甲队中位数为，则只能令，即，乙队：、、、、、、，则，∴解出：，∴，，∴．故选．解析:展开式中的取法有两种．①中取，中取个，个，即，②中取，中取个，个，即，综上所述：的系数为．故选：．解析:设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长为．所以，所以，所以，D 3.C 4.C 5.所以，所以圆周率近似取为．故选．解析:∵为等差数列，，且，，成等比数列，∴，（舍去），∴，．故选项正确．解析:∵双曲线的右焦点与圆的圆心重合，又∵圆心，∴焦点，∴．双曲线的渐近线方程为，由圆的对称性，不妨取渐近线为，即．∴圆心到直线的距离为：，又∵圆的半径，∴由勾股定理：，即，∴，∴，B 6.D 7.A 8.：：∵，，∴，，∴．故答案为．解析:由题意，设，则，则，因为，所以，故的最大值为．故选．解析:设事件：方程为双曲线，即，或，，．事件：方程为焦点在轴上的双曲线，即，，∵、选取总个数为：，∴，，条件概率：，∴故答案为：．解析:C 9.A 10.B 11.的图象如下图：令，则关于的方程，有六个不相等的实数根，可转化为有两个不相等的实数根，．如图可知：，，令，则有，∴，∴，∴实数的取值范围为．故选．解析:∵，∴，当时，，∴的图象如下图所示，x123456y –11234O ∴由题意可知，，，，∴是以为首项, 为公式的等比数列、，，或C 12.又，∴，令，则，，∴当时，，∴，当时，，∴，∴在时，单调递增，时单调递减，∴的最大值为，∴，∴实数的取值范围为，故选：．13.解析:∵，∴，又∵，∴，．14.解析:∵，∴，则，∵，∴，，∴在区间上的最小值为．15.解析:折叠后的四面体，如图所示，其中，，都是腰长为，以为顶点的等腰直角三角形，是边长为的等边三角形．将四面体放入棱长为的正方体中，如下图所示：则正方体的外接球即该四面体的外接球，所以，故该四面体的外接球的体积．16.解析:由题意可得，∴，∴，，将代入椭圆方程可得，解得，∴，，，记内切圆圆心为，半径为，（1）（2）∴，∴，∴，∴圆的方程为．解析:，∵，∴，∴．∵，∴设，，在中，由正弦定理得，，∴，∴，∵，∴∴．（1）．（2）．17.（1）．1（2）．18.（1）12（2）解析:设从人中任取人恰有人成绩“优秀”为事件，，恰有人“优秀”的概率为．，估计所有员工的平均分数为．分数频率组距组别分组频数频率的可能取值为，，，，随机选取人是“优秀”的概率为 ，∴，∴的分布列为：2的分布列为：数学期望．频率组距（1）（2）∵ ．∴数学期望．解析:在抛物线上，∴，，设，，由题可知，，∴，∴，∴，∴，∴．由问可设：，，，，∵，∴，即：∴，将直线与抛物线联立，可得：，，代入式，可得，∴．（1）证明见解析．（2）．19.（1）证明见解析．（2）．20.（1）（2）解析:在中，由余弦定理得，，∴，∴，由题意可知：∴，，，∴平面，平面，∴，，∴平面．以为坐标原点，以，，的方向为，，轴的方向，建立空间直角坐标系，∵平面，∴在平面上的射影是，∴与平面所成的角是，∴最大时，即，点为中点，，，，，计算可得：平面的法向量，平面的法向量，∴，二面角的正弦值为．（1）证明见解析．21.（1）（2）（1）解析:，设，，当时，单调递增，而，，且在上图象连续不断，所以在上有唯一零点，当时，；当时，；∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小值点；即在区间上存在唯一的极小值点．设，，，∴在单调递增，，即从而，因为函数在上单调递减，∴在上恒成立，令，∵，∴，在上单调递减，，当时，，则在上单调递减，，符合题意；当时，在上单调递减，所以一定存在，当时，，在上单调递增，与题意不符，舍去．综上，的取值范围是．解析:（2）．（1）．（2）．22.（2）（1）（2），∵，∴，∴，由题可知：，．，设，，，∴．解析:∴当时，的最大值为．关于的不等式有解等价于，()当时，上述不等式转化为，解得；()当时，上述不等式转化为，解得．综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为，即．根据（）求解知，所以，又∵，，，，（1）．（2）证明见解析．23.．即，∴，那么，．。
【数学】黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期第一次调研考试(9月)数学(理)
哈六中2019-2020学年度上学期 高三学年第一次调研考试 理科数学 试卷考试时间：150分钟 满分：150分一、选择题（每题5分，共60分） 1．设全集U=R ，集合}{2A=|log 2,{|(3)(1)0}x x B x x x ≤=-+≥，则()U C B A =I（ ）A ．(],1-∞-B ．(](),10,3-∞-⋃C ．(]0,3D ．()0,32．00cos1522-的值为（ ）A B ．12 C ．- D ．12-3. 已知3a e =，33log 5log 2b =-，c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．c b a >>4.已知,2sin cos R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ） A ．43 B ．7- C ．34- D ．175．要得到函数3sin2y x =的图象，可将函数3cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．沿x 轴向左平移8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度 C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度 D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度6. 已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点3π（，0）和56π（，0）是其相邻的两个对称中心，且在区间233ππ（，）内单调递减，则ϕ=（ ）A ．3π B ．6π C ．3π- D ．6π- 7.若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18.已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =（ ） A ．310BCD10. 已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11. ．已知()22ln 3f x x a x =++，若[)()1212,4,,x x x x ∀∈+∞≠，[]()()21122,3,2f x f x a m x x -∃∈<-，则m 的取值范围是（ ）A ．194m ≥-B．m ≥ C．m ≥ D．m ≤12.若函数11()ln()2x x f x ee --=+-与()sin2xg x π=图像的交点为11)x y （，,22)x y （，，…，)m m x y （，，则1mi i x =∑（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分）_________14. 已经函数()()2(2)sin 13f x x x x x =+++-在[]4,2-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______15. 当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．16. 关于函数2()ln f x x x=+,下列说法正确的是______（填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点 ；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立 ；（4）对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17. （10分）已知函数()2|1|||()f x x x a a =+--∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x ≤+的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值．18. （12分）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =ABC ∆的面积．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。
黑龙江省2020年高考数学一模试卷(理科)(I)卷
黑龙江省2020年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·阜新月考) 方程组的解集是（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·池州模拟) 设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z =2（ +i），则z=（）A . ﹣1﹣iB . 1+iC . ﹣1+iD . 1﹣i3. （2分）(2020·化州模拟) 已知数列{an}满足2an=an﹣1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=（）A . 6B . 7C . 8D . 94. （2分）在回归分析中，相关指数R2越接近1，说明（）A . 两个变量的线性相关关系越强B . 两个变量的线性相关关系越弱C . 回归模型的拟合效果越好D . 回归模型的拟合效果越差5. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 如图，在正方体中，点、分别为线段、的中点，用平面截正方体，保留包含点在内的几何体，以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为（）A .B .C .D .6. （2分）设 ,若 ,则（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高三上·桓台期末) 在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点．若=3，则AB的长为（）A .B . 1C . 2D . 38. （2分） (2015高三上·驻马店期末) 执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·四川模拟) 函数f（x）=sinωx（ω＞0），对任意实数x有，且，那么 =（）A . aB .C .D . ﹣a10. （2分） (2019高二上·哈尔滨期末) 如图，在正方体中，若是线段上的动点，则下列结论不正确的是（）A . 三棱锥的正视图面积是定值B . 异面直线所成的角可为C . 三棱锥的体积大小与点在线段的位置有关D . 直线与平面所成的角可为11. （2分） (2019高二上·丽水期末) 已知为椭圆的左顶点,该椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为，若直线垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数，如果关于x的方程f（x）=k只有一个实根，那么实数k的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）若变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x+y的最大值为7，则目标函数取最小值时的最优解为________ ，实数m的值为________14. （1分）(2017·赣州模拟) 若的展开式中存在常数项，则常数项为________．15. （1分） (2016高二上·蕉岭开学考) 已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是________．16. （1分）(2019·河南模拟) 已知四棱柱的侧棱垂直于底面，底面是平行四边形，且各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为16，，则此球的表面积的最小值等于________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2019高二上·黄石月考) 在锐角中角，，的对边分别是，，，且 .（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.18. （10分） (2017高三上·珠海期末) 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩微信超过6 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5 人并从选出的5 人中再随机抽取3 人赠送200 元的护肤品套装，记这3 人中“微信控”的人数为X，试求X 的分布列与数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.500.400.250.050.0250.010k00.4550.708 1.323 3.841 5.024 6.63519. （5分）(2017·朝阳模拟) 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分别为边AC，AB的中点，点F，G分别为线段CD，BE的中点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使∠A1DC=60°．点Q为线段A1B上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：A1F⊥BE；（Ⅱ）线段A1B上是否存在点Q使得FQ∥平面A1DE？若存在，求出A1Q的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，求直线GQ与平面A1DE所成角的大小．20. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 已知椭圆C的方程为 + =1（a＞b＞0），双曲线﹣ =1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为4 ．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1 ， F2分别为椭圆C的左，右焦点，过F2作直线l（与x轴不重合）交于椭圆于A，B两点，线段AB的中点为E，记直线F1E的斜率为k，求k的取值范围．21. （10分） (2017高二下·赣州期末) 已知函数f（x）=alnx﹣（a+2）x+x2 ．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意a∈[4，10]，x1 ，x2∈[1，2]，恒有| |≤ 成立，试求λ的取值范围．22. （10分）(2017·凉山模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以O为极点x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点Q是曲线C上的动点，求点Q到直线l的距离的最大值．23. （5分） (2019高二下·湖州期中) 已知函数，，．（Ⅰ）若，求满足的实数x的取值范围；（Ⅱ）设，若存在，使得成立，试求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。
2020年哈尔滨市六中高三数学(理)一模试题卷答案解析
2020年哈尔滨市六中高三数学（理）一模试题卷答案解析1-6BDCAAB 7-12DBDBCC 13.2114.0.841315.21016.617.（Ⅰ）取11C B 中点D ，连接DF ，设4=AB 以F 为坐标原点，FD FB FA ,,的方向为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系)1,2,0(),0,0,32(),0,0,0(),0,2,0(1-E A F B ∴)1,2,0(),0,0,32(),4,2,0(1-==--=B --------2分设平面AEF 的法向量为),,(111z y x m =∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FE m FA m ∴⎩⎨⎧=+-=02032111z y ∴)2,1,0(=m ------5分∵m F B 21-=∴m F B //1∴直线⊥F B 1平面AEF --------6分（Ⅱ）)3,4,0(),1,2,32(1=--=E B AE ，设平面AE B 1的法向量为),,(222z y x n =∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001E B n AE n ∴⎩⎨⎧=+=+--034023222222z y z y ∴)34,33,5(--=n --------9分设二面角F AE B --1的平面角为θ，∴1015cos ==nm θ-------12分18.（Ⅰ）∵B A sin 2sin =∴b a 2=∵2=b ∴2=a ------2分∵6cos 322=-+C a b a ∴0cos =C ∵),0(π∈C ∴2π=C ------4分∴2tan ==ba A -------6分（Ⅱ）∵2sin 21b C ab S ABC ==∆∴ba C 211sin ==------7分∵6cos 322=-+C ab a 且b a 2=∴bb C 22cos 2-=-------8分∵1cos sin 22=+C C ∴12)2(212222=-+b b b ∴1=b 或5--------10分当1=b 时，2=a ∴12+=+b a -------11分当5=b 时，10=a ∴510+=+b a --------12分19.（Ⅰ）设甲获得这次比赛胜利为事件A ------1分271631)32(32()(3133=+=C A P ------5分∴甲获得这次比赛胜利的概率为2716--------6分（Ⅱ）X 的取值可能为4,3,2-------7分91)31()2(2===X P --------8分94)31(32)32()3(2123=+==C X P --------9分9431)32()4(223===C X P --------10分∴X 的分布列为---------11分X 234P 919494∴3)(=X E --------12分20.（Ⅰ）由题意可知，21PF PF =，且点P 的坐标为)1,0(∵21PF PF ⊥∴121===OP OF OF ∴1==c b ∴2=a ∴椭圆C 的方程为1222=+y x --------4分（Ⅱ）设直线1:-=my x l ，),(),,(2211y x B y x A 联立方程得，⎪⎩⎪⎨⎧-==+11222my x y x ∴012)2(22=--+my y m ∴0>∆恒成立∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2122221221m y y m m y y ----------5分∴111x y k PA -=∴直线PA 的方程为1111+-=x x y y 联立直线02=-+y x 得2)1(3)2(122111111-+-+=-+-+=y m y m y x y x y M 同理可得2)1(3)2(122222222-+-+=-+-+=y m y m y x y x y N ----------------7分114504)71,0(1,501414),7(7,714761144))(1(2)1(4)(124))(1(2)1())(1(22)1(3)2(2)1(3)2(222222221212212121212212211+-=∈=+-=+∞∈+=++=-++-=+++-+-+-=+++-+--=-+-+--+-+=-=∴n n t n t t m t m m m m m m y y m y y m y y y y m y y m y y m y y m y m y m y m y m y y MN N M 令令------------11分当507=n 时，MN 最小，此时71=m ∴直线l 的方程为77+=x y ---------12分21.（Ⅰ）设),1(,)1ln()1()1ln()1()(1+∞-∈++--=++-+=+x x x e x x x x f x g x 11(111)(11'++=++-=++x e x x xe x g x x ---------1分∵1->x ∴0111>+++x e x 令0)('=x g ∴0=x ∴)(x g 在)0,1(-上是减函数，在),0(+∞上是增函数--------2分∴0)0()(min <-==e g x g ∵1-→x 时，+∞→)(x g 且02ln 1)1(>-=g ∴方程x x x f -+=+)1ln()1(的零点个数为2----------4分（Ⅱ）设),0[),12()2()12()()(22+∞∈----=---=x x x k e x x x k x f x h x )2)(1()('k e x x h x --=∵0≥x ∴1≥x e ---------5分当12≤k 时，即21≤k ∴02≥-k e x 令0)('=x h ∴1=x ∴)(x h 在)1,0[上是减函数，在),1(+∞上是增函数∴02)1()(min ≥+-==k e h x h ∴2e k ≥（舍）------6分当12>k 时，即21>k 令0)('=x h ∴1=x 或)2ln(k 当1)2ln(=k 时，即2e k =∴0)('≥x h ∴)(x h 在),0[+∞上是增函数∴022)0()(min <+-==e h x h （舍）--------7分当1)2ln(<k 时，即221e k <<令0)('>x h ∴),1())2ln(,0[+∞∈ k x 令0)('<x h ∴)1),2(ln(k x ∈∴)(x h 在))2ln(,0[k 上是增函数，在)1),2(ln(k 上是减函数，在),1(+∞上是增函数∴02)0(<+-=k h 且02)1(<+-=k e h ∴0)(min <x h ∴不等式不恒成立（舍）-------9分当1)2ln(>k 时，即2e k >令0)('>x h ∴)),2(ln()1,0[+∞∈k x 令0)('<x h ∴))2ln(,1(k x ∈∴)(x h 在)1,0[上是增函数，在))2ln(,1(k 上是减函数，在)),2(ln(+∞k 上是增函数∴02)0(≥+-=k h ∴2≥k ，且0)3)2)(ln(1)2(ln())2(ln(≥---=k k k k h ∴223e k e ≤≤∴]2,2[3e k ∈-------11分综上所述，实数k 的取值范围是]2,2[3e ----------12分22.（Ⅰ）∵θθsin 1,cos +==y x ∴1sin -=y θ∴1)1(22=-+y x ∴0222=-+y y x ∵θρθρsin ,cos ==y x ∴θρsin 2=------3分又∵直线l 的极坐标方程为4sin =θρ∴4=y ∴曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，直线l 的直角坐标方程为4=y -------5分（Ⅱ）由题意可知，设点A 的极坐标为3,(1πρ，点B 的极坐标为)3,(2πρ，点P 的极坐标为)32,(3πρ∴332sin 2,3383sin 4,33sin 2321======πρπρπρ∴33512=-=ρρAB ----7分点P 到直线AB 的距离为233sin3==πρd ------9分∴43521==∆d AB S PAB --------10分23.（Ⅰ）当3=a 时，|3||12|)(-+-=x x x f ∴5|3||12|≥-+-x x 当3≥x 时，5312≥-+-x x ∴3≥x 成立当321<<x 时，5312≥-+-x x ∴3≥x 不成立∴无解当21≤x 时，5321≥-+-x x ∴31-≤x 成立∴不等式的解集为),3[31,(+∞--∞ ---------5分（Ⅱ）∵方程1)(2+=x x f 在),1[+∞有两个不同的解∴1|||12|2+=-+-x a x x ∴22||2+-=-x x a x 设⎩⎨⎧<+-≥-=-=ax a x a x a x a x x g ,,)(，)1(,22)(2≥+-=x x x x h 由题意可知，函数)(x g 与)(x h 在),1[+∞上有两个不同的交点由图像可知，)41,0[∈a --------------10分。
【数学】黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期第一次调研考试(9月)数学(理)
哈六中2019-2020学年度上学期 高三学年第一次调研考试 理科数学 试卷考试时间：150分钟 满分：150分一、选择题（每题5分，共60分） 1．设全集U=R ，集合}{2A=|log 2,{|(3)(1)0}x x B x x x ≤=-+≥，则()U C B A =I（ ）A ．(],1-∞-B ．(](),10,3-∞-⋃C ．(]0,3D ．()0,32．00sin19522-的值为（ ）A B ．12 C ． D ．12-3. 已知3a e =，33log 5log 2b =-，c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．c b a >>4.已知,2sin cos R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ） A ．43 B ．7- C ．34- D ．175．要得到函数3sin2y x =的图象，可将函数3cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．沿x 轴向左平移8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度 C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度 D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度6. 已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点3π（，0）和56π（，0）是其相邻的两个对称中心，且在区间233ππ（，）内单调递减，则ϕ=（ ）A ．3π B ．6π C ．3π- D ．6π- 7.若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18.已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =（ ） A ．310BCD10. 已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11. ．已知()22ln 3f x x a x =++，若[)()1212,4,,x x x x ∀∈+∞≠，[]()()21122,3,2f x f x a m x x -∃∈<-，则m 的取值范围是（ ）A ．194m ≥-B．m ≥ C．m ≥ D．m ≤12.若函数11()ln()2x x f x ee --=+-与()sin2xg x π=图像的交点为11)x y （，,22)x y （，，…，)m m x y （，，则1mi i x =∑（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分）_________14. 已经函数()()2(2)sin 13f x x x x x =+++-在[]4,2-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______15. 当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．16. 关于函数2()ln f x x x=+,下列说法正确的是______（填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点 ；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立 ；（4）对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17. （10分）已知函数()2|1|||()f x x x a a =+--∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x ≤+的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值．18. （12分）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =ABC ∆的面积．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r +-=>，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。
【数学】黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期第一次调研考试(9月)数学(理)
哈六中2019-2020学年度上学期 高三学年第一次调研考试 理科数学 试卷考试时间：150分钟 满分：150分一、选择题（每题5分，共60分） 1．设全集U=R ，集合}{2A=|log 2,{|(3)(1)0}x x B x x x ≤=-+≥，则()U C B A =I（ ）A ．(],1-∞-B ．(](),10,3-∞-⋃C ．(]0,3D ．()0,32．00cos1522-的值为（ ）A B ．12 C ．- D ．12-3. 已知3a e =，33log 5log 2b =-，c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．c b a >>4.已知,2sin cos R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ） A ．43 B ．7- C ．34- D ．175．要得到函数3sin2y x =的图象，可将函数3cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．沿x 轴向左平移8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度 C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度 D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度6. 已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点3π（，0）和56π（，0）是其相邻的两个对称中心，且在区间233ππ（，）内单调递减，则ϕ=（ ）A ．3π B ．6π C ．3π- D ．6π- 7.若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18.已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =（ ） A ．310BCD10. 已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11. ．已知()22ln 3f x x a x =++，若[)()1212,4,,x x x x ∀∈+∞≠，[]()()21122,3,2f x f x a m x x -∃∈<-，则m 的取值范围是（ ）A ．194m ≥-B．m ≥ C．m ≥ D．m ≤12.若函数11()ln()2x x f x ee --=+-与()sin2xg x π=图像的交点为11)x y （，,22)x y （，，…，)m m x y （，，则1mi i x =∑（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分）_________14. 已经函数()()2(2)sin 13f x x x x x =+++-在[]4,2-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______15. 当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．16. 关于函数2()ln f x x x=+,下列说法正确的是______（填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点 ；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立 ；（4）对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17. （10分）已知函数()2|1|||()f x x x a a =+--∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x ≤+的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值．18. （12分）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =ABC ∆的面积．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l与曲线C 相切。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三数学第二次模拟考试题 理(无答案)
哈尔滨市第六中学2020届高三第二次模拟考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A ->则= （ ）A ．1(,)2+∞ B ．(1,)+∞ C ．1[0,][1,)2+∞U D ．1(,][1,)2-∞+∞U2．下面是关于复数21z i=-+的四个命题，其中真命题为 （ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 343．设n m l ,,表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若α⊥l ，α⊥m ，则m l //；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，l m ⊥，则n m ⊥；③若α⊂m ，n m //，则α//n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为 （ ） A ．①② B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④ 4．已知数列{}n a 是等比数列，且dx x a a ⎰-=+22201520134，则)2(2016201420122014a a a a ++的值为 （ ） A ．2π B ．π2 C ．π D ．24π5．给出以下几个命题，其中是真命题的个数为 ( ) ① 若)(x f 是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，)2,4(ππθ∈， 则)(cos )(sin θθf f >；② 若锐角α、β满足,sin cos βα> 则2πβα<+;③ 在ABC ∆中，“B A >”是“B A sin sin >”成立的充要条件; ④ 要得到函数sin()24x y π=-的图象，只需将sin 2x y =的图象向右平移4π个单位。
2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷(理科)
2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x ∈Z|x 2−x ≤2}，B ＝{1, a}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为（ ） A.{−1, 1, 0, 2} B.{−1, 0, 2} C.{−1, 1, 2} D.{0, 2}2. 已知复数z =51+2i+i 1−i，则|z|值为（ ）A.1B.√13C.3√22D.√1023. 若实数x ，y 满足不等式组{2x −y −4≤04x −5y −1≥0x +y ≥2 ，则z ＝3x −2y 的最小值为（ ）A.−23 B.109C.4D.1994. 设S n 为正项递增等比数列{a n }的前n 项和，且2a 3+2＝a 2+a 4，a 1a 5＝16，则S 6的值为（ ） A.63 B.64 C.127 D.1285. 哈六中开展劳动教育，决定在5月12日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为（ ） A.8 B.10 C.12 D.146. 若0<α<π2,0<β<π2,sin (π3−α2)=√55,cos (β2−π3)=45，则cosα−β2的值为（ ）A.√55 B.11√525C.2√55D.7√5257. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为（ ）（注：一丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5∘≈513）A.300立方寸B.305.6立方寸C.310立方寸D.316.6立方寸8. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2, 0)，过F 作双曲线C 一条渐近线的垂线，垂足为点A ，且与另一条渐近线交于点B ，若BA →=AF →，则双曲线方程为（ ） A.x 23−y 2=1B.x 2−y 23=1 C.x 24−y 212=1 D.x 212−y 23=19. 已知函数f(x)=2sin (ωx +2φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为2π，函数f(x)图象关于直线x =π6对称，且满足函数f(x)在区间[−π6,π6]上单调递增，则φ＝（ ） A.π3B.−π3C.−π6D.π610. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，且f(x +2)＝−f(x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)＝2x 2，则函数g(x)=f(x)−log 12|x|的零点个数为（ ）A.3B.4C.5D.611. 如图，三棱锥S −ABC中，平面SAC ⊥平面ABC ，过点B 且与AC 平行的平面α分别与棱SA 、SC 交于E ，F ，若SA =SC =BA =BC =2,AC =2√2，则下列结论正确的序号为（ ）①AC // EF ；②若E ，F 分别为SA ，SC 的中点，则四棱锥B −AEFC 的体积为√22； ③若E ，F 分别为SA ，SC 的中点，则BF 与SA 所成角的余弦值为√33； ④SC ⊥BE ．A.②③B.①②④C.①②③D.①②12. 过直线y ＝x 上一点P 可以作曲线f(x)＝x −ln x 两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（ ） A.t <1B.t <0C.0<t <1D.1e <t <1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．平面向量a →,b →满足|a →|=2,|b →|=1,a →⊥(2a →−b →)，则|a →+b →|的值为________．一批电池（一节）用于无线麦克风的寿命服从均值为34.3小时，标准差为4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30个小时的概率________． （参考数据：P(μ−σ<X ≤μ+σ)＝0.6826，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)＝0.9544）已知数列{a n }满足，a 1＝−1，a n −a n−1＝(−1)n ⋅n 2(n ≥2, n ∈N ∗)，则a 20＝________．已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若点M(−1, 1)，且MA ⊥MB ，则弦AB 的长度为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，AB ＝AA 1＝4，F 为BC 的中点．点E 在棱C 1C 上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)求证：直线B 1F ⊥平面AEF ； (Ⅱ)求二面角B 1−AE −F 的余弦值．在△ABC 中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a 2+b 2−3a cos C =6,sin A =√2sin B ． (Ⅰ)若b =√2，求tan A 的值．(Ⅱ)若△ABC 的面积为b2，求a +b 的值．甲、乙二人进行一次象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分（无平局），约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束，设在每局比赛中，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立，已知前3局中，甲得1分，乙得2分．(Ⅰ)求甲获得这次比赛胜利的概率；(Ⅱ)设X 表示从第4局开始到比赛结束所进行的局数，求X 的分布列及数学期望．已知椭圆C:x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 的倾斜角为锐角，P 为椭圆的上顶点，且PF 1⊥PF 2． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与椭圆C 交异于点P 的两点A ，B ，且直线PA ，PB 与直线x +y −2＝0分别交于不同两点M 、N ，当|MN|最小时，求直线l 的方程．已知函数f(x)=(x −2) e x ．(1)判断方程f(x +1)=ln (x +1)−x 的根个数；(2)若x ≥0时，f(x)≥k(x 2−2x −1)恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的参数方程为{x =cos θy =1+sin θ （θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝4．(Ⅰ)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)若射线θ=π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ=2π3与曲线C 交于O ，P 两点，求△PAB 的面积．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)＝|2x −1|+|x −a|．(Ⅰ)当a ＝3时，解关不等式f(x)≥5；(Ⅱ)若x ≥1时，方程f(x)＝x 2+1有两个不同解，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.【答案】 B【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】先确定集合A ＝{−1, 0, 1, 2}，然后利用B ⊆A ，得到集合B 的元素和A 的关系． 【解答】A ＝{x ∈Z|x 2−x ≤2}＝{x ∈Z|−1≤x ≤2}＝{−1, 0, 1, 2}，因为B ⊆A ， 若B ⊆A ，则 a ＝−1或0或（2） 则实数a 的取值的集合为{−1, 0, 2} 2.【答案】 D【考点】 复数的模 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】∵ z =51+2i +i1−i =5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i(1+i)(1−i)(1+i) ＝1−2i −12+12i =12−32i ，∴ |z|=√(12)2+(−32)2=√102． 3. 【答案】 D【考点】 简单线性规划 【解析】画出满足条件的平面区域，结合图象求出z 的最小值即可． 【解答】画出满足条件{2x −y −4≤04x −5y −1≥0x +y ≥2 的平面区域，如图示：，由{4x −5y −1=0x +y =2 ，解得：{x =119y =79 ， 由z ＝3x −2y 得y =32x −z2，结合图象直线y =32x −z2过(119, 79)时，−z2最大，即z 最小， 故z 的最小值是：z ＝3×119−2×79=199，4.【答案】 A【考点】等比数列的前n 项和 【解析】根据题意，由等比中项的性质求出a 3＝4，进而可得a 2+a 4=4q +4q ＝10，解可得q 的值，由等比数列的通项公式计算可得a 1＝1，进而由等比数列的前n 项和公式计算可得答案． 【解答】根据题意，正项递增等比数列{a n }中，a 1a 5＝16，即a 32＝16，则a 3＝4， 又由2a 3+2＝a 2+a 4，则a 2+a 4=4q+4q ＝10，解可得q ＝2或12，又由数列{a n }为正项递增等比数列，则q ＝2； 又由a 3＝4，则a 1＝1， 则S 6=a 1(1−q 6)1−q=63；5.【答案】 A【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两人去一个植树点，剩下3人去另一个植树点，②小明和小李还有另外1人去一个植树点，剩下2人去另一个植树点，由加法原理计算可得答案．【解答】根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两人去一个植树点，剩下3人去另一个植树点，有C21＝2种分配方案，②小明和小李还有另外1人去一个植树点，剩下2人去另一个植树点，有C31C21＝6种分配方案，则一共有2+6＝8种分配方案；6.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】观察所求角与已知角可以发现β−α2=(β2−π3)+(π3−α2)，利用两角和的余弦公式计算即可求解．【解答】因为0<α<π2，所以π12<π3−α2<π3，又sin(π3−α2)=√55，所以cos(π3−α2)=2√55，因为0<β<π2，所以−π3<β2−π3<−π12，又cos(β2−π3)=45，所以sin(β2−π3)=−35，所以cosα−β2=cosβ−α2=cos[(β2−π3)+(π3−α2)]＝cos(β2−π3)cos(π3−α2)−sin(β2−π3)sin(π3−α2)=45×2√55−(−35)×√55=11√525．7.【答案】D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案．【解答】如图，AB＝10（寸），则AD＝5（寸），CD＝1（寸），设圆O的半径为x（寸），则OD＝(x−1)（寸），在Rt△ADO中，由勾股定理可得：52+(x−1)2＝x2，解得：x＝13（寸）．∴sin∠AOD=ADAO=513，即∠AOD≈22.5∘，则∠AOB＝45∘．则弓形ACB̂的面积S=12×π4×132−12×10×12≈6.3325（平方寸）．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V＝6.3325×50≈316.6（立方寸）．8.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】求得双曲线的渐近线方程，可得A为BF的中点，判断△OBF为等腰三角形，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，以及双曲线的a，b，c的关系，求得a，b，可得所求双曲线的方程．【解答】由题意可得c＝2，即a2+b2＝4，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y＝±bax，设A在渐近线y=bax上，可得|AF|=√a2+b2=b，若BA→=AF→，则A为BF的中点如图，且OA⊥BF，可得△OBF为等腰三角形，则∠BOA＝∠AOF＝60∘，在直角三角形AOF中，可得|AF|＝|OF|sin60∘＝2×√32=√3，即b=√3，a=√c2−b2=1，则双曲线的方程为x2−y23=(1)故选：B．9.【答案】D【考点】正弦函数的单调性【解析】根据题意，由正弦函数的周期计算可得ω＝1，结合正弦函数的图象可得函数f(x)在x=π6时取得最大值，则有π6+2φ＝2kπ+π2，(k∈Z)，变形可得φ＝kπ+π6，结合φ的范围分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=2sin(ωx+2φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为2π，即T=2πω=2π，则ω＝1，则f(x)＝2siin(x+2φ)，函数f(x)图象关于直线x=π6对称，且满足函数f(x)在区间[−π6,π6]上单调递增，则函数f(x)在x=π6时取得最大值，则有π6+2φ＝2kπ+π2，(k∈Z)变形可得：φ＝kπ+π6，又由|φ|<π2，即−π2<φ<π2，则φ=π6，10.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x+2)＝−f(x)，可得周期T＝4，且关于x＝1对称，根据x∈[0, 1]时，f(x)＝2x2，作出f(x)的图象与y=log12|x|之间的交点，可得函数g(x)的零点个数；【解答】∵f(x+2)＝−f(x)∴f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，可得周期T＝4，又∵f(x)是奇函数，可得f(−x)＝−f(x)，∴f(x+2)＝f(−x)，可得函数f(x)关于x＝1对称，当x∈[0, 1]时，f(x)＝2x2，作出f(x)的图象如与y=log12|x|之间的交点，结合函数的图象可知，图象的交点有4个．即函数g(x)=f(x)−log12|x|的零点个数为4个．11.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】①由线面平行的性质定理可判断；②取AC的中点M，连接BM、SM，由面面垂直的性质定理可推出BM⊥平面SAC；由S AEFC＝S△SAC−S△SEF计算出底面AEFC的面积；再根据棱锥的体积公式V B−AEFC=13BM⋅S AEFC即可得解；③连接MF，由FM // SA，可推出∠BFM即为BF与SA所成角；在Rt△BMF中，tan∠BFM=BMFM，再求出cos∠BFM的值即可；④连接EM，由②知，BM⊥平面SAC，故BM⊥SC，再由线面垂直的判定定理可推出SC⊥平面BME，于是有SC⊥EM，这与SC // EM相矛盾．【解答】①∵AC // 平面BEF，平面SAC∩平面BEF＝EF，AC⊂平面SAC，∴AC // EF，即①正确；②取AC的中点M，连接BM、SM，∵BA＝BC，∴BM⊥AM，又平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，∴BM⊥平面SAC，即点B到平面AEFC的距离为BM=√2．∵SA＝SC＝2，AC=2√2，∴△SAC为等腰直角三角形，∴S AEFC＝S△SAC−S△SEF=12SA⋅SC−12SE⋅SF=32．∴V B−AEFC=13BM⋅S AEFC=13×√2×32=√22，即②正确；③连接MF，∵M、F分别为AC、SC的中点，∴FM // SA，FM=12SA＝1，∴∠BFM即为BF与SA所成角．在Rt△BMF中，tan∠BFM=BMFM=√21=√2，∴cos∠BFM=√33，∴BF与SA所成角的余弦值为√33，即③正确；④连接EM，由②知，BM⊥平面SAC，∴BM⊥SC，若SC⊥BE，∵BM∩BE＝B，BM、BE⊂平面BME，∴SC⊥平面BME，又EM⊂平面BME，∴SC⊥EM，这与SC // EM相矛盾，即④错误．∴ 正确的有①②③， 12.【答案】 C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设切点为(m, m −ln m)，m >0，求得f(x)的导数，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，以及构造函数，求得导数和单调性、最值，结合图象可得所求范围． 【解答】设切点为(m, m −ln m)，m >0， 由f(x)＝x −ln x 的导数为f′(x)＝1−1x ， 可得切线的斜率为1−1m ， 又P(t, t)，可得m−ln m−t m−t=1−1m，化为t ＝m −m ln m ，设g(x)＝x −x ln x ，可得g′(x)＝1−(1+ln x)＝−ln x ，当x >1时，g′(x)<0，g(x)递减；当0<x <1时，g′(x)>0，g(x)递增． 可得g(x)在x ＝1处取得最大值1， g(x)的图象如右图，由题意可得当0<t <1时，方程t ＝m −m ln m 有两解，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 【答案】√21【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意利用两个向量垂直的性质求得a →⋅b →的值，再根据求向量的模的方法，求出|a →+b →|的值． 【解答】∵ 平面向量a →,b →满足|a →|=2,|b →|=1,a →⊥(2a →−b →)， ∴ a →⋅(2a →−b →)＝2a →2−a →⋅b →=8−a →⋅b →=0，∴ a →⋅b →=(8)则|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+b →2+2a →⋅b →=√4+1+2×8=√21， 【答案】 0.8413 【考点】正态分布的密度曲线 【解析】结合已知条件可知，电池的寿命X ∼N(34.3, 4.32)，易知问题即为求P(X ≥30)，结合正态分布函数的性质易得结果． 【解答】设电池（一节）用于无线麦克风的寿命为随机变量X ， 由题意知X ∼N(34.3, 4.32)． 所以P(X ≥30)＝1−1−P(μ−σ<X≤μ+σ)2=1−1−0.68262=0.84(13)【答案】 210【考点】 数列递推式 【解析】直接利用数列的递推关系式和叠加法的应用求出结果． 【解答】数列{a n }满足，a 1＝−1，当n ＝2时，a 2−a 1=(−1)2×22=4， 当n ＝3时，a 3−a 2=(−1)3×32=−9， 当n ＝4时，a 4−a 3=(−1)4×42=16， 当n ＝5时，a 5−a 4=(−1)5×52=−25， …，a 20−a 19=(−1)20×202=400，所以a 20＝(a 20−a 19)+(a 19−a 18)+...+(a 2−a 1)+a 1＝(−1+4)+(−9+16)+...+(202−192)， ＝3+7+11+ (39)10×(39+3)2=2(10)【答案】 5【考点】 抛物线的性质 【解析】设出直线l 方程，代入抛物线的方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得k 的值，然后求解|AB|． 【解答】∵ 抛物线的方程为y 2＝4x ，∴ F(1, 0)，设焦点弦方程为y ＝k(x −1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， {y =k(x −1)y 2=4x ，整理得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2＝0 由韦达定理：x 1+x 2＝2+4k 2，x 1x 2＝1，则y 1y 2＝−4，y 1+y 2=4k ，∵ M(−1, 1)，MA ⊥MB ，∴ (x 1+1, y 1−1)⋅(x 2+1, y 2−1)＝0， ∴ 4−4k +k 2＝0， ∴ k ＝（2）弦AB 的长度为x 1+x 2+p ＝2+44+2＝（5）三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】（1）取B 1C 1中点D ，连接DF ，设AB ＝4，以F 为坐标原点，FA →,FB →,FD →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，B 1(0,2,0),F(0,0,0),A(2√3,0,0),E(0,−2,1)，∴ B1F →=(0,−2,−4),FA →=(2√3,0,0),FE →=(0,−2,1)， 设平面AEF 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1) ∵ {m →⋅FA →=0m →⋅FE →=0， ∴ {2√3x 1=0−2y 1+z 1=0，∴ m →=(0,1,2)，∵ B 1F →=−2m →， ∴ B 1F →∥m →，∴ 直线B 1F ⊥平面AEF ．(2)AE →=(−2√3,−2,1),B 1E →=(0,4,3)， 设平面B 1AE 的法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)∵ {n →⋅AE →=0n →⋅B 1E →=0 ，∴ {−2√3x 2−2y 2+z 2=04y 2+3z 2=0 ，不妨取y 2＝3√3，则x 2＝−5，z 2＝−4√3． ∴ n →=(−5,3√3,−4√3)， 平面AEF 的法向量为m →=(0,1,2)， 设二面角B 1−AE −F 的平面角为θ， ∴ cos θ=−m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√1510．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)取B 1C 1中点D ，连接DF ，设AB ＝4，以F 为坐标原点，FA →,FB →,FD →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面AEF 的法向量，证明B 1F →∥m →，得到直线B 1F ⊥平面AEF ．(Ⅱ)求出平面B 1AE 的法向量，平面AEF 的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可． 【解答】（1）取B 1C 1中点D ，连接DF ，设AB ＝4，以F 为坐标原点，FA →,FB →,FD →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，B 1(0,2,0),F(0,0,0),A(2√3,0,0),E(0,−2,1)，∴ B 1F →=(0,−2,−4),FA →=(2√3,0,0),FE →=(0,−2,1)， 设平面AEF 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1) ∵ {m →⋅FA →=0m →⋅FE →=0， ∴ {2√3x 1=0−2y 1+z 1=0，∴ m →=(0,1,2)，∵ B 1F →=−2m →， ∴ B 1F →∥m →，∴ 直线B 1F ⊥平面AEF ．(2)AE →=(−2√3,−2,1),B 1E →=(0,4,3)， 设平面B 1AE 的法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)∵ {n →⋅AE →=0n →⋅B 1E →=0 ，∴ {−2√3x 2−2y 2+z 2=04y 2+3z 2=0 ，不妨取y 2＝3√3，则x 2＝−5，z 2＝−4√3． ∴ n →=(−5,3√3,−4√3)， 平面AEF 的法向量为m →=(0,1,2)， 设二面角B 1−AE −F 的平面角为θ， ∴ cos θ=−m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√1510．【答案】（1）∵sin A=√2sin B，∴a=√2b，∵b=√2，∴a＝2，∵a2+b2−3a cos C＝6，∴cos C＝0，∵C∈(0, π)，∴C=π2，∴tan A=ab=√2．（2）∵S△ABC=12ab sin C=b2，∴sin C=1a =√2b，∵a2+b2−3a cos C＝6，且a=√2b，∴cos C=22b，∵sin2C+cos2C＝1，∴12b2+(b2−2)22b2=1，∴b＝1或√5，当b＝1时，a=√2，∴a+b=√2+1，当b=√5时，a=√10，∴a+b=√10+√5．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)由已知利用正弦定理可得a=√2b，利用余弦定理可求cos C＝0，结合C的范围可求C=π2，利用三角函数的定义可求tan A的值．(Ⅱ)由已知利用三角形的面积公式，余弦定理可求cos C=22b ，利用同角三角函数基本关系式可求b的值，进而求得a的值，即可得解．【解答】（1）∵sin A=√2sin B，∴a=√2b，∵b=√2，∴a＝2，∵a2+b2−3a cos C＝6，∴cos C＝0，∵C∈(0, π)，∴C=π2，∴tan A=ab=√2．（2）∵S△ABC=12ab sin C=b2，∴sin C=1a=√2b，∵a2+b2−3a cos C＝6，且a=√2b，∴cos C=2√2b，∵sin2C+cos2C＝1，∴12b2+(b2−2)22b2=1，∴b＝1或√5，当b＝1时，a=√2，∴a+b=√2+1，当b=√5时，a=√10，∴a+b=√10+√5．【答案】（1）设甲获得这次比赛胜利为事件A，P(A)=(23)3+C31(23)313=1627，∴甲获得这次比赛胜利的概率为1627．（2）X的取值可能为2，3，4，P(X=2)=(13)2=19，P(X=3)=(23)3+C2123(13)2=49，P(X=4)=C32(23)213=49，∴X的分布列为：∴ E(X)=103． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)设甲获得这次比赛胜利为事件A ，通过独立重复实验以及互斥事件求解概率即可． (Ⅱ)X 的取值可能为2，3，4，求出概率．得到X 的分布列然后求解期望． 【解答】（1）设甲获得这次比赛胜利为事件A ，P(A)=(23)3+C 31(23)313=1627，∴ 甲获得这次比赛胜利的概率为1627． （2）X 的取值可能为2，3，4， P(X =2)=(13)2=19，P(X =3)=(23)3+C 2123(13)2=49， P(X =4)=C 32(23)213=49，∴ X 的分布列为：∴ E(X)=103．【答案】（1）由题意可知，|PF 1|＝|PF 2|，且点P 的坐标为(0, 1)， ∵ PF 1⊥PF 2，∴ |OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝1， ∴ b ＝c ＝1，∴ a =√2， ∴ 椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（2）设直线l:x ＝my −1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程得，{x 22+y 2=1x =my −1，∴ (m 2+2)y 2−2my −1＝0，∴ △>0恒成立，∴ {y 1+y 2=2mm 2+2y 1y 2=−1m +2 ， ∴ k PA =y 1−1x 1，∴ 直线PA 的方程为y =y 1−1x 1x +1，联立直线x +y −2＝0得y M =x 1+2y 1−2x 1+y 1−1=(m+2)y 1−3(m+1)y 1−2；同理可得y N =x 2+2y 2−2x 2+y 2−1=(m+2)y 2−3(m+1)y 2−2，∴ |MN|=√2|y M −y N |=√2|(m+2)y 1−3(m+1)y 1−2−(m+2)y 2−3(m+1)y 2−2|=√2|(m −1)(y 1−y 2)(m +1)2y 1y 2−2(m +1)(y 1+y 2)+4|=√2|m −1|√(y 1+y 2)−4y 1y 2|(m +1)2y 1y 2−2(m +1)(y 1+y 2)+4|=4|m−1|√m 2+1|m 2+6m−7|=4√m 2+1|m+7|，令t ＝m +7∈(7, +∞)，4√m 2+1|m+7|=4√1−14t+50t 2，令n =1t∈(0,17)=4√50n 2−14n +1， 当n =750时，|MN|最小，此时m =17， ∴ 直线l 的方程为y ＝7x +(7)【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 椭圆的应用【解析】(Ⅰ)利用已知条件推出b ＝c ＝1，求出a ，即可得到椭圆C 的方程．(Ⅱ)设直线l:x ＝my −1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{x 22+y 2=1x =my −1 ，得到(m 2+2)y 2−2my −1＝0，利用韦达定理，求出PA 的方程，求出M ，N 的纵坐标，求出弦长MN 的表达式，利用换元法转化求解最小值时m 的值，然后求解直线方程． 【解答】（1）由题意可知，|PF 1|＝|PF 2|，且点P 的坐标为(0, 1)， ∵ PF 1⊥PF 2，∴ |OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝1， ∴ b ＝c ＝1，∴ a =√2， ∴ 椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（2）设直线l:x ＝my −1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程得，{x 22+y 2=1x =my −1 ，∴ (m 2+2)y 2−2my −1＝0，∴ △>0恒成立，∴ {y 1+y 2=2mm 2+2y 1y 2=−1m 2+2 ， ∴ k PA =y 1−1x 1，∴ 直线PA 的方程为y =y 1−1x 1x +1，联立直线x +y −2＝0得y M =x 1+2y 1−2x 1+y 1−1=(m+2)y 1−3(m+1)y 1−2；同理可得y N =x 2+2y 2−2x 2+y 2−1=(m+2)y 2−3(m+1)y 2−2，∴ |MN|=√2|y M −y N |=√2|(m+2)y 1−3(m+1)y 1−2−(m+2)y 2−3(m+1)y2−2|=√2|(m −1)(y 1−y 2)(m +1)2y 1y 2−2(m +1)(y 1+y 2)+4|=√2|m −1|√(y 1+y 2)−4y 1y 2|(m +1)2y 1y 2−2(m +1)(y 1+y 2)+4|=4|m−1|√m 2+1|m 2+6m−7|=4√m 2+1|m+7|，令t ＝m +7∈(7, +∞)，4√m 2+1|m+7|=4√1−14t+50t 2，令n =1t ∈(0,17)=4√50n 2−14n +1， 当n =750时，|MN|最小，此时m =17，∴ 直线l 的方程为y ＝7x +(7) 【答案】解：(1)设g(x)=f(x +1)−ln (x +1)+x ，x ∈(−1, +∞)， 则g(x)=(x −1) e x+1−ln (x +1)+x ，x ∈(−1, +∞)， ∴ g ′(x)=xe x+1−1x+1+1=x(e x+1+1x+1). ∵ x >−1， ∴ e x+1+1x+1>0.令g ′(x)=0， ∴ x =0，∴ g(x)在(−1, 0)上是减函数，在(0, +∞)上是增函数， ∴ g(x)min =g(0)=−e <0.∵ x →−1时，g(x)→+∞且g(1)=1−ln 2>0， ∴ g(x)在(−1,0)和(0,1)上各有一个零点，∴ 方程f(x +1)=ln (x +1)−x 的根的个数为2.(2)设ℎ(x)=f(x)−k(x 2−2x −1)=(x −2)e x −k(x 2−2x −1)，x ∈[0, +∞)， 则ℎ′(x)=(x −1)( e x −2k). ∵ x ≥0，∴ e x ≥1.①当2k ≤1时，即k ≤12，∴ e x −2k ≥0，令ℎ′(x)=0，即(x −1)( e x −2k)=0， 解得x =1，∴ ℎ(x)在[0, 1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(1)=− e +2k ≥0， ∴ k ≥ e2（舍）；②当2k >1时，即k >12，令ℎ′(x)=0，∴ x =1或x =ln 2k ， (i)当ln 2k =1时，即k = e2，∴ ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(0)=−2+ e 2<0（舍）；(ii)当ln 2k <1时，即12<k < e2，令ℎ′(x)>0，∴ x ∈[0, ln 2k)∪(1, +∞)， 令ℎ′(x)<0， ∴ x ∈(ln 2k,1)，∴ ℎ(x)在[0, ln 2k)上是增函数，在(ln 2k,1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数， ∴ ℎ(0)=−2+k <0，且ℎ(1)=− e +2k <0， ∴ ℎ(x)min <0，∴ 不等式不恒成立（舍）； (iii)当ln 2k >1时，即k > e2，令ℎ′(x)>0，∴ x ∈[0, 1)∪ln (2k,+∞)， 令ℎ′(x)<0，∴ x ∈(1, ln 2k)，∴ ℎ(x)在[0, 1)上是增函数，在(1, ln 2k)上是减函数，在(ln 2k,+∞)上是增函数， ∴ ℎ(0)=−2+k ≥0，即k ≥2，∴ k ≥2，且ℎ(ln (2k))=−k(ln 2k −1)(ln 2k −3)≥0， ∴ e2≤k ≤ e 32∴ k ∈[2, e 32]．综上所述，实数k 的取值范围是[2, e 32]．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：(1)设g(x)=f(x+1)−ln(x+1)+x，x∈(−1, +∞)，则g(x)=(x−1) e x+1−ln(x+1)+x，x∈(−1, +∞)，∴g′(x)=xe x+1−1x+1+1=x(e x+1+1x+1).∵x>−1，∴ e x+1+1x+1>0.令g′(x)=0，∴x=0，∴g(x)在(−1, 0)上是减函数，在(0, +∞)上是增函数，∴g(x)min=g(0)=−e<0.∵x→−1时，g(x)→+∞且g(1)=1−ln2>0，∴g(x)在(−1,0)和(0,1)上各有一个零点，∴方程f(x+1)=ln(x+1)−x的根的个数为2.(2)设ℎ(x)=f(x)−k(x2−2x−1)=(x−2)e x−k(x2−2x−1)，x∈[0, +∞)，则ℎ′(x)=(x−1)( e x−2k).∵x≥0，∴e x≥1.①当2k≤1时，即k≤12，∴ e x−2k≥0，令ℎ′(x)=0，即(x−1)( e x−2k)=0，解得x=1，∴ℎ(x)在[0, 1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数，∴ℎ(x)min=ℎ(1)=− e+2k≥0，∴k≥ e2（舍）；②当2k>1时，即k>12，令ℎ′(x)=0，∴x=1或x=ln2k，(i)当ln2k=1时，即k= e2，∴ℎ′(x)≥0，∴ℎ(x)在[0, +∞)上是增函数，∴ℎ(x)min=ℎ(0)=−2+ e2<0（舍）；(ii)当ln2k<1时，即12<k< e2，令ℎ′(x)>0，∴x∈[0, ln2k)∪(1, +∞)，令ℎ′(x)<0，∴x∈(ln2k,1)，∴ℎ(x)在[0, ln2k)上是增函数，在(ln2k,1)上是减函数，在(1, +∞)上是增函数，∴ℎ(0)=−2+k<0，且ℎ(1)=− e+2k<0，∴ℎ(x)min<0，∴不等式不恒成立（舍）；(iii)当ln2k>1时，即k> e2，令ℎ′(x)>0，∴x∈[0, 1)∪ln(2k,+∞)，令ℎ′(x)<0，∴x∈(1, ln2k)，∴ℎ(x)在[0, 1)上是增函数，在(1, ln2k)上是减函数，在(ln2k,+∞)上是增函数，∴ℎ(0)=−2+k≥0，即k≥2，∴k≥2，且ℎ(ln(2k))=−k(ln2k−1)(ln2k−3)≥0，∴ e2≤k≤ e32∴k∈[2, e32]．综上所述，实数k的取值范围是[2, e32]．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】（1）∵x＝cosθ，y＝1+sinθ∴sinθ＝y−1，∴x2+(y−1)2＝1，∴x2+y2−2y＝（0）∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ＝2sinθ，又∵直线l的极坐标方程为ρsinθ＝4，∴y＝（4）∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l的直角坐标方程为y＝（4）（2）由题意可知，设点A的极坐标为(ρ1,π3)，点B的极坐标为(ρ2,π3)，点P的极坐标为(ρ3,2π3)∴ρ1=2sinπ3=√3,ρ2=4sinπ3=8√33,ρ3=2sin2π3=√3．∴|AB|=ρ2−ρ1=5√33．点P到直线AB的距离为d=ρ3sinπ3=32，∴S△PAB=12|AB|d=5√34．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把曲线的极坐标方程转换为普通方程． (Ⅱ)利用极径的应用和三角形的面积关系式的应用求出结果． 【解答】（1）∵ x ＝cos θ，y ＝1+sin θ∴ sin θ＝y −1， ∴ x 2+(y −1)2＝1， ∴ x 2+y 2−2y ＝（0） ∵ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴ ρ＝2sin θ，又∵ 直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝4， ∴ y ＝（4）∴ 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ， 直线l 的直角坐标方程为y ＝（4）（2）由题意可知，设点A 的极坐标为(ρ1,π3)，点B 的极坐标为(ρ2,π3)，点P 的极坐标为(ρ3,2π3)∴ ρ1=2sin π3=√3,ρ2=4sin π3=8√33,ρ3=2sin2π3=√3．∴ |AB|=ρ2−ρ1=5√33．点P 到直线AB 的距离为d =ρ3sin π3=32， ∴ S △PAB =12|AB|d =5√34． [选修4-5：不等式选讲]【答案】（1）当a ＝3时，f(x)＝|2x −1|+|x −3|， ∴ |2x −1|+|x −3|≥5，当x ≥3时，2x −1+x −3≥5，∴ x ≥3成立，当12<x <3时，2x −1+3−x ≥5，∴ x ≥3不成立，∴ 不等式无解，当x ≤12时，1−2x +3−x ≥5，∴ x ≤−13成立， ∴ 不等式的解集为(−∞,−13]∪[3,+∞)．（2）∵ 方程f(x)＝x 2+1在[1, +∞)有两个不同的解，∴ |2x −1|+|x −a|＝x 2+1，∴ |x −a|＝x 2−2x +2有两个不相同的实数解， 设g(x)=|x −a|={x −a,x ≥a−x +a,x <a ，ℎ(x)＝x 2−2x +2，(x ≥1)由题意可知，函数g(x)与ℎ(x)在[1, +∞)上有两个不同的交点 由图象可知，a ∈[0,14)．【考点】绝对值不等式的解法与证明 函数的零点与方程根的关系 【解析】(Ⅰ)当a ＝3时，化简不等式为|2x −1|+|x −3|≥5，通过当x ≥3时，当12<x <3时，当x ≤12时，去掉绝对值符号，求解不等式即可．(Ⅱ)方程f(x)＝x 2+1在[1, +∞)有两个不同的解，转化为|x −a|＝x 2−2x +2有两个根，利用数形结合转化求解即可． 【解答】（1）当a ＝3时，f(x)＝|2x −1|+|x −3|， ∴ |2x −1|+|x −3|≥5，当x ≥3时，2x −1+x −3≥5，∴ x ≥3成立，当12<x <3时，2x −1+3−x ≥5，∴ x ≥3不成立，∴ 不等式无解，当x ≤12时，1−2x +3−x ≥5，∴ x ≤−13成立， ∴ 不等式的解集为(−∞,−13]∪[3,+∞)．（2）∵ 方程f(x)＝x 2+1在[1, +∞)有两个不同的解，∴ |2x −1|+|x −a|＝x 2+1，∴ |x −a|＝x 2−2x +2有两个不相同的实数解， 设g(x)=|x −a|={x −a,x ≥a−x +a,x <a ，ℎ(x)＝x 2−2x +2，(x ≥1)由题意可知，函数g(x)与ℎ(x)在[1, +∞)上有两个不同的交点 由图象可知，a ∈[0,14)．。