高考复习-导数的概念及几何意义
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导数的概念及几何意义
知识集结
知识元
导数及其几何意义
知识讲解
1.导数及其几何意义
【知识点的知识】
1、导数的定义
如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导,则称f(x)在(a,b)上可导,则可建立f (x)的导函数,简称导数,记为f′(x);
如果f(x)在(a,b)内可导,且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在,则称f(x)在闭区间[a,b]上可导,f′(x)为区间[a,b]上的导函数,简称导数.
2、导数的几何意义
函数f(x)在x=x0处的导数就是切线的斜率k.例如:函数f(x)在x0处的导数的几何意义:k切线=f′(x0)=.
【典型例题分析】
题型一:根据切线方程求斜率
典例1:已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()
A.3 B.2 C.1 D.
解:设切点的横坐标为(x0,y0)
∵曲线的一条切线的斜率为,
∴y′=﹣=,解得x0=3或x0=﹣2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3
故选A.
题型二:求切线方程
典例2:已知函数其图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1,则它在点(﹣3,f(﹣3))处的切线方程为()
A.y=﹣2x﹣3 B.y=﹣2x+3 C.y=2x﹣3 D.y=2x+3
解:∵图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1
∴f(1)=2+1=3
∵f(﹣3)=f(3﹣2)=f(1)=3
∴(﹣3,f(﹣3))即为(﹣3,3)
∴在点(﹣3,f(﹣3))处的切线过(﹣3,3)
将(﹣3,3)代入选项通过排除法得到点(﹣3,3)只满足A
故选A.
【解题方法点拨】
(1)利用导数求曲线的切线方程.求出y=f(x)在x0处的导数f′(x);利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0=f′(x0)(x﹣x0).
(2)若函数在x=x0处可导,则图象在(x0,f(x0))处一定有切线,但若函数在x=x0处不可导,则图象在(x0,f(x0))处也可能有切线,即若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直.
(3)注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线,前者P点为切点;后者P点不一定为切点,P点可以是切点也可以不是,一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点,(4)显然f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角;f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹
角为钝角;f(x0)=0,切线与x轴平行;f′(x0)不存在,切线与y轴平行.例题精讲
导数及其几何意义
例1.'
已知函数,其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:-3<f(x1)+f(x2)<-2.
'
例2.'
求下列函数的导数
(1)y=2x3-3x2-4;
(2)y=xlnx;
(3).
'
例3.'
已知函数f(x)=ax3-x2(a>0),x∈[0,+∞).
(1)若a=1,求函数f(x)在[0,1]上的最值;
(2)若函数y=f'(x)的递减区间为A,试探究函数y=f(x)在区间A上的单调性.'
导数的计算
知识讲解
1.导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′=0(C为常数)
②(x n)′=nx n﹣1(n∈R)
③(sin x)′=cos x
④(cos x)′=﹣sin x
⑤(e x)′=e x
⑥(a x)′=(a x)*lna(a>0且a≠1)⑦[log a x)]′=*(log a e)=(a>0且
a≠1)⑧[lnx]′=.
2、和差积商的导数
①[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)
②[f(x)﹣g(x)]′=f′(x)﹣g′(x)
③[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
④[]′=.
3、复合函数的导数
设y=u(t),t=v(x),则y′(x)=u′(t)v′(x)=u′[v(x)]v′(x)
【解题方法点拨】
1.由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.
2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,首先要注意化简的等价性,避免不必要的运算失误.
例题精讲
导数的计算
例1.
已知函数f(x)=2lnx+x,则f'(1)的值为___.
例2.
已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=e x f′(1)+3lnx,则f′(1)=___.
例3.
函数f(x)=sin x+e x(e为自然对数的底数),则f′(π)的值为______。
利用导数研究曲线上某点的切线问题
知识讲解
1.利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点,它既可以考查学生求导能力,也考察了学生对导数意义的理解,还考察直线方程的求法,因为包含了几个比较重要的基本点,所以在高考出题时备受青睐.我们在解答这类题的时候关键找好两点,第一找到切线的斜率;第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点,在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来.
【实例解析】
例:已知函数y=xlnx,求这个函数的图象在点x=1处的切线方程.
解:k=y'|x=1=ln1+1=1
又当x=1时,y=0,所以切点为(1,0)
∴切线方程为y﹣0=1×(x﹣1),
即y=x﹣1.
我们通过这个例题发现,第一步确定切点;第二步求斜率,即求曲线上该点的导数;第三步利用点斜式求出直线方程.这种题的原则基本上就这样,希望大家灵活应用,认真总结.
例题精讲
利用导数研究曲线上某点的切线问题
例1.
函数y=x3在点(0,0)处的切线是()
A.x轴B.y轴C.x轴和y轴D.不存在
例2.
已知定义在R上的奇函数f(x),当x≤0时,f(x)=x3-2x-m,则曲线y=f(x)在点P(2,f (2))处的切线斜率为()
A.10 B.-10
C.4 D.与m的取值有关
例3.
已知函数f(x)=x3+(a-5)x2+(b+4)x,若函数f(x)是奇函数,且曲线y=f(x)在点(3,f(3))的切线与直线y=x+3垂直,则a+b=()
A.-32 B.-20 C.25 D.42
当堂练习
单选题
练习1.
设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则=()
D.6
A.2 B.1
C.
练习2.
若函数y=f(x)在x=a处的导数为f′(a),则为()A.f′(a)B.2f′(a)
D.0
C.
练习3.
已知物体的运动方程为(t是时间,s是位移),则物体在时刻t=1时的速度大小为()
C.2 D.3
A.1
B.
练习4.
已知函数f(x)=2lnx+8x+1,则的值为()
A.10 B.-10 C.-20 D.20
练习5.
下列函数中,当x>0时,随x的增大,增长速度最快的是()
A.y=x B.y=2x C.y=3x D.
练习6.
若函数f(x)满足,则f'
(2)的值为()
A.3 B.1 C.0 D.-1
练习7.
已知函数的导数为f'(x),则f'(4)=()
A.B.C.D.
练习8.
设f(x)=lnx,若f'(x0)=3,则x0=()
A.e3B.3
D.ln3
C.
练习9.
设f(x)=x cos x,则f′()=()
C.1 D.-1 A.B.-
练习10.
已知f(x)=e x-lnx,则f'(1)=()
A.e B.e-1 C.0
D.
练习11.
已知函数f(x)=x3+ax2-9x+1(a∈R),当x≠1时,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)和点(2-x0,f(2-x0))处的切线总是平行,现过点(-2a,a-2)作曲线y=f(x)的切线,则可作切线的条数为()
A..3 B..2 C.1 D..0
练习12.
设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y=3.已知方程f(x)=A sin(x-1)+1有x1,x2,x3,x4共4个不等实
根,则=()
A.0 B.1 C.2 D.4
练习13.
已知过第二象限内的点P(a,b)能且只能向函数f(x)=x3-tx(t为给定的正常数)的图象作两条切线,则z=a2+(b-1)2的最小值为()
C.1+t2D.
A.B.
练习14.
已知a≠0,函数f(x)=ae x,g(x)=ealnx+b,e为自然对数的底数若存在一条直线与曲线y=f (x)和y=g(x)均相切,则的取值范围为()
A.(-∞,e] B.(0,e]
C.(-∞,1] D.(0,1]
填空题
练习1.
若f'(1)=a,则=____.
练习2.
已知函数f(x)=sin x,则=____
练习3.
设函数f(x)的导数为f′(x),且f(x)=x3+f′()x2-x,则f′(1)=___.
练习4.
已知函数f(x)=(x2-a)lnx,f'(x)是函数f(x)的导函数,若f'(1)=-2,则a的值为
___。
练习5.
已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1),f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(1)=1,则a=___。
练习6.
已知函数f(x)的导函数,满足f(x)=2xf'(1)+x3,则f'(1)等于____.
练习7.
已知函数f(x)=x3+(a-2)x2+ax-1,函数y=f(x)的导函数f'(x)是偶函数,则函数y=f (x)在点(1,f(1))处的切线方程:__________.
练习8.
若f(x)≥kx+b≥g(x),则定义直线y=kx+b为曲线f(x),g(x)的“分界直线”.已知
,则f(x),g(x)的“分界直线”为
_______.
练习9.
已知过点A(a,0)作曲线C:y=x∙e x的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是
________________.
解答题
练习1.'
已知函数f(x)=ax3-x2(a>0),x∈[0,+∞).
(1)若a=1,求函数f(x)在[0,1]上的最值;
(2)若函数y=f'(x)的递减区间为A,试探究函数y=f(x)在区间A上的单调性.'
练习2.'
已知函数,其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:-3<f(x1)+f(x2)<-2.
'
练习3.'
求下列函数的导数
(1)y=2x3-3x2-4;
(2)y=xlnx;
(3).
'
练习4.'
已知函数,g(x)=f(x)-10lnx+ax,其中a∈R。
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围.
'
练习5.'
已知函数f(x)=ax3-bx2+x+1,且f(1)=1,f(-1)=-3.
(1)求a,b的值;
(2)若x∈[-2,2],求函数f(x)的最大值和最小值.
'
练习6.'
已知函数.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对于∀x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a-1)成立,试求a的取值范围;
(Ⅲ)记g(x)=f(x)+x-b(b∈R).当a=1时,函数g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.
'
练习7.'
已知函数f(x)=+nx.
(1)若函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=-3x+2,求m,n的值;
(2)当n=1时,在区间(-∞,1]上至少存在一个x0,使得f(x0)<0成立,求实数m的取值范围.
'
练习8.'
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
'。