高考数学复习单元检测(文)：平面向量与复数【含答案】

高考数学复习单元检测（文）：平面向量与复数
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若复数z 满足i z ＝3＋4i ，则|z |等于( ) A ．1B ．2C.5D ．5 答案 D
解析 因为z ＝3＋4i
i ＝－(3＋4i)i ＝4－3i ，
所以|z |＝42
＋(－3)2
＝5.
2．若z 1＝(1＋i)2
，z 2＝1－i ，则z 1z 2
等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 B
解析 ∵z 1＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝1－i ， ∴z 1z 2＝
2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋2i
2
＝－1＋i.
3．设平面向量m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，若m ∥n ，则|m ＋n |等于( ) A.5B.10C.2D ．3 5 答案 A
解析 由m ∥n ，m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，得b ＝－4，
故n ＝(2，－4)，所以m ＋n ＝(1，－2)，故|m ＋n |＝5，故选A.
4.如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－4CB →
，则( )
A ．c ＝12a ＋32b
B ．c ＝32a －12b
C ．c ＝－a ＋2b
D ．c ＝－13a ＋4
3
b
答案 D
解析 c ＝OB →＋BC →＝OB →＋13AB →＝OB →＋13(OB →－OA →
)＝43OB →－13OA →＝43b －13
a .故选D.
5．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－3)，且a ⊥b ，则向量a －3b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π
6 答案 D
解析 因为a ⊥b ，所以x －3＝0，解得x ＝3，所以a ＝(3，1)，a －3b ＝(0，4)，则cos 〈a －3b ，b 〉＝(a －3b )·b
|a －3b |·|b |＝－434×2＝－32，所以向量a －3b 与b 的夹角为5π6，
故选D.
6.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →＝λAC →＋μAE →
，则λ－μ等于( )
A ．1
B ．3
C ．－1
D ．－3
答案 D
解析 E 为DC 的中点，故AE →＝12(AC →＋AD →)，所以AD →＝－AC →＋2AE →
，所以λ＝－1，μ＝2，所
以λ－μ＝－3，故选D.
7．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(x ，4)则“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若a ∥b ，则x 2
＝4，解得x ＝±2，当且仅当x ＝－2时，向量a 与b 反向，所以“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的充要条件，故选C.
8．在△ABC 中，边BC 的垂直平分线交BC 于点Q ，交AC 于点P ，若|A B →|＝1，|AC →
|＝2，则
AP →·BC →
的值为( )
A ．3B.32C.3D.32
答案 B
解析 由题知QP ⊥BC ，所以QP →·BC →＝0，则AP →·BC →＝(AQ →＋QP →)·BC →＝AQ →·BC →＋QP →·BC →＝12(AB
→＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(A C →2－AB →2)＝3
2
，故选B.
9．已知a ＝(2，cos x )，b ＝(sin x ，－1)，当x ＝θ时，函数f (x )＝a ·b 取得最大值，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4等于( )
A.7210
B.210C ．－210D ．－72
10 答案 D
解析 f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝
15
，cos φ＝
25，θ－φ
＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z ，所以sin θ＝cos φ＝2
5，cos θ＝－
sin φ＝－
1
5
，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－45，cos2θ＝1－2sin 2
θ＝－35，所以
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin2θ＋cos2θ)＝－7210，故选D.
10.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BE →·CE →＝2，BF →·CF →
＝－1，则BA →·CA →
等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
答案 C
解析 BE →·CE →＝ED →2－BD →2＝4FD →2－BD →2＝2，BF →·CF →＝FD →2－BD →2＝－1，所以FD →2＝1，BD →2
＝2，因此BA →·CA →＝AD →2－BD →2＝9FD →2－BD →2
＝7，故选C.
11．(2018·西宁检测)定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )
A ．6
B ．－8或8
C ．－8
D ．8
答案 D 解析 cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝－610＝－35，且θ∈[0，π]，则sin θ＝4
5
，则|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝10×4
5
＝8，故选D.
12．在△ABC 中，CM →＝2MB →，过点M 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点P ，Q ，若AP →＝mAB →
，AQ →
＝nAC →
，则mn ＋m 的最小值为( )
A ．63
B ．23
C ．6
D ．2 答案 D
解析 由已知易得，AM →＝23AB →＋13AC →，
∴AM →＝23m AP →＋13n AQ →
.
又M ，P ，Q 三点共线， ∴23m ＋1
3n
＝1， ∴m ＝2n
3n －1
，易知3n －1>0.
mn ＋m ＝m (n ＋1)＝
2n
3n －1
·(n ＋1) ＝29⎣⎢⎡
⎦⎥⎤(3n －1)＋43n －1＋5≥2， 当且仅当m ＝n ＝1时取等号． ∴mn ＋m 的最小值为2.
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若复数(a ＋i)2
在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是________． 答案 －1
解析 因为复数(a ＋i)2
＝(a 2
－1)＋2a i ，
所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2
－1，2a )． 又因为该点在y 轴负半轴上，
所以有⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
－1＝0，
2a <0，解得a ＝－1.
14．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7.若O 为△ABC 的外接圆的圆心，则AO →·BC →
＝________. 答案 12
解析 取BC 的中点D ，由O 为△ABC 的外接圆的圆心得OD ⊥BC ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →
＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →
)＝12
(AC →2－AB →2)＝12.
15．欧拉在1748年给出了著名公式e i θ
＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e i θ
＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝
r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，
若复数z 1＝2i 3
e π，z 2＝i 2
e π，则复数z ＝z 1z 2
在复平面内对应的点在第________象限． 答案 四
解析 因为z 1＝2i 3
e π
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝1＋3i ，z 2＝i
2
e π
＝cos π2＋isin π
2
＝i ，
所以z ＝z 1z 2＝
1＋3i i ＝(1＋3i )(－i )
i (－i )
＝3－i.
复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限．
16．已知点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →
＝0.设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1，
S 2，则S 1
S 2
＝______.
答案 16
解析 设E 为AB 的中点，连接OE ，延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，因为点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，所以OA →＋OB →＋OD →＝0，则点O 是△ABD 的重心，则E ，O ，C ，D 共线，OD ∶OE ＝2∶1，所以OC ∶OE ＝1∶2，则CE ∶OE ＝3∶2，则S 1＝13S △BCE ＝16S △ABC ，所以S 1S 2＝16.
三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知向量a ＝(－3，1)，b ＝(1，－2)，c ＝(1，1)． (1)求向量a 与b 的夹角的大小； (2)若c ∥(a ＋k b )，求实数k 的值． 解 (1)设向量a 与b 的夹角为α， 则cos α＝
a ·
b |a |·|b |＝－3－210·5
＝－2
2，
又α∈[0，π]，
所以α＝3π4，即向量a 与b 的夹角的大小为3π
4.
(2)a ＋k b ＝(－3＋k ，1－2k )，
因为c ∥(a ＋k b )，所以1－2k ＋3－k ＝0， 解得k ＝43，即实数k 的值为4
3
.
18．(12分)已知a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，O 为坐标原点． (1)若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； (2)设OA →＝a ，OB →
＝b ，求△OAB 的面积． 解 (1)∵a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，
∴m a ＋b ＝(3m ＋2，－2m ＋1)，a －2b ＝(－1，－4)， 令(m a ＋b )·(a －2b )<0， 即－3m －2＋8m －4<0，解得m <6
5，
∵当m ＝－12时，m a ＋b ＝－1
2
a ＋
b ，
a －2
b 与m a ＋b 方向相反，夹角为平角，不合题意．
∴m ≠－1
2
，
∴若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，65. (2)设∠AOB ＝θ，△OAB 面积为S ， 则S ＝1
2
|a |·|b |sin θ，
∵sin 2θ＝1－cos 2
θ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a ·b |a |·|b |2， ∴4S 2
＝|a |2
|b |2
·sin 2
θ ＝|a |2
|b |2
－(a ·b )2
＝65－16＝49. ∴S ＝72
.
19．(13分)如图，在△OAB 中，点P 为线段AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足AP →＝λPB →
.
(1)若λ＝12
，用向量OA →，OB →表示OP →
；
(2)若|OA →|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →
取值范围． 解 (1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →
)，
∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13
OB →
. (2)∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝6，AP →＝λPB →
(λ>0)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →， ∴OP →
＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.
∵AB →＝OB →－OA →，
∴OP →·AB →
＝错误!·(错误!－错误!)
＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫11＋λ－λ1＋λOA →·OB →
＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.
∵λ>0，∴3－13
1＋λ∈(－10，3)．
∴OP →·AB →
的取值范围是(－10，3)．
20．(13分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2
x
4，记f (x )＝m ·n .
(1)若f (x )＝1，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值； (2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．
解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x
4＋cos 2
x
4 ＝
32sin x 2＋12cos x 2＋1
2
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12
.
由f (x )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝1
2
，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12
.
(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，
由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．
因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝1
2
.
又0<B <π2，所以B ＝π3，则A ＋C ＝23π，A ＝2
3π－C .
又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π
3，
所以
32<sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1.
又因为f (2A )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1
2，
故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤
3＋12
，32.。