勾股定理及应用

勾股定理及应用
1．勾股定理的基本概念
Rt△ABC 中，△A ，△B ，△C 的对边长分别为a ，b ，c 则222c b a =+，222b c a -=，222a c b -=（c 为三角形的斜边）
2．勾股定理的证明 如图，小正方形的面积42
1)(22⨯-
+=ab b a c ，化简即222c b a =+． b a
a c c b
c c
b a
a b
3．勾股定理的逆定理
（1）如果一个三角形的三边满足222c b a =+，222b c a -=，222a c b -=之一，那么这个三角形一定是直角三角形．
（2）满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常用的勾股数组：3、4、5； 6、8、10；5、12、13等；若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k≠0，k 为常数）也是勾股数．
4．勾股定理及逆定理的综合应用
运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决一些实际问题．
例题精讲
知识点一：勾股定理的基本概念
例1．如图，Rt△ABC中，△C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）
A．14B．16C．18 D．20
（2）由线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）
A．a=7，b=24，c=25B．a=，b=4，c=5
C．a=，b=1，c=D．a=，b=，c=
（3）下列说法：
△若a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；
△如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
△如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
△一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＜b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，
其中正确的是（）
A．△△ B．△△C．△△D．△△
训练1．（1）如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=5，S2=6，则AB的长为．
（2）如图，Rt△ABC中，△C=90°，AC=2，BC=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．
（3）已知三组数据：△2，3，4；△3，4，5；△1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）
A．△B．△△C．△△ D．△△
（4）观察以下几组勾股数，并寻找规律：
3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…
请你写出有以上规律的第（n）组勾股数：．
知识点二：勾股定理计算
例2．（1）已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为．
（2）点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是．
（3）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=5，AC=4，则BD=．
（4）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
△这个梯子的顶端距地面有多高？
△如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
训练2．（1）如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则点A到BC的距离为=．
（2）若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为．
（3）如图，△ABC中，△C=90°，AC=BC，AD是△BAC的平分线，DE△AB于E，若AB=12cm，则△DBE的周长等于．
（4）如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．
△求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；
△如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？
知识点三：勾股定理应用
例4．（1）如图，有一圆柱体，它的高为8cm，底面周长为12cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是．
（2）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9，BB′=5，B′C′=6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B′C′中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为．
（3）已知：如图，四边形ABCD中，AB△BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边
形ABCD 的面积．
训练4．（1）如图，在长、宽都是3，高是8的长方体外部，若蚂蚁要从顶点A 爬到顶点B ，那么它爬行的最短距离是多少？
（2）如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，则从A 到B 蚂蚁爬行最短距离为多少？
（3）如图，凸四边形ABCD 的四边AB ．BC 、CD ．和DA 的长分别是
3，4，12，和13，∠ABC=90°，求四边形ABCD 的面积．
例5．（1）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=3，DC=4，△A=60°，A B
A B
△D=150°，试求BC的长度．
（2）如图，一个工人拿一个2．5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0．7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0．4米，梯子的底部向外滑多少米？
*训练5-1．如图，四边形ABCD中，AB△BC，△BCD=150°，△BAD=60°，AB=4，BC=2，求CD的长．
训练5-2．如图，一个梯子AB长2．5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1．5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0．9米，则梯子顶端A下落了
知识点四：勾股定理拓展
例6．（1）如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为cm．
（2）如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB=5，BC=12，求图中阴影部分的面积．
训练6．（1）如图，长方形纸片ABCD，沿折痕AE折叠边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，S△ABF=24，则EC的长为．
（2）如图，长方形纸片ABCD中，BC=，DC=1，将它沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，则图中阴影部分的面积是多少？
（3）如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由．
①若AB=4，BC=8，求AF．
②若对折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．。