第27讲 平面向量基本运算及线性表示(解析版)

第27讲 平面向量基本运算及线性表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．（2021•宣城二模）已知平面向量a ，b ，满足||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为60︒，若
()a b b λ+⊥，则实数λ的值为( ) A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【解答】解：平面向量a ，b ，满足||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为60︒，()a b b λ+⊥，
2()a b b a b b λλ∴+=+ 2||||cos60||a b b λ=︒+ 1
2102
λ=⨯⨯+=，
解得1λ=-． 故选：A ．
2．（2020•新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b =-，则cos a <，(a b +>=
) A ．31
35
-
B ．1935
-
C ．
1735
D ．
1935
【解答】解：向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b =-， 可得22||225127a b a a b b +=++=-=， cos a <，2()25619
575735||||
a a
b a a b a b a a b ++-+>=
===⨯⨯+． 故选：D ．
3．（2021春•台州期末）已知12,e e 是平面上的两个不共线向量，向量122a e e =-，123b me e =+．若//a b ，则实数(m = )
A ．6
B ．6-
C ．3
D ．
3
2
【解答】解：
//a b ，
∴a b λ=．
向量122a e e =-，123b me e =+，
∴12122(3)e e me e λ-=+． ∴12(2)(31)m e e λλ-=+．
12,e e 是平面上的两个不共线向量，
∴20310
m λλ-=⎧⎨+=⎩， ∴136
m λ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩． 故选：B ．
4．（2021春•龙岩期末）设12,e e 是平面内两个不共线的向量，则向量,a b 可作为基底的是( )
A ．1212,a e e b e e =+=--
B ．121211
2,24
a e e
b e e =+=+
C ．1212,a e e b e e =+=-
D ．12122,24a e e b e e =-=-+
【解答】解：对于A ，a b =-，∴,a b 共线，不能作基底，∴不选A ； 对于B ，4a b =，∴,a b 共线，不能作基底，∴不选B ； 对于C ，不存在λ，使得a b λ=，能作基底，∴选C ； 对于D ，1
2
a b =-，∴,a b 共线，不能作基底，∴不选D ．
故选：C ．
5．（2021春•烟台期末）已知a ，b 是两个不共线的平面向量，向量AB a b λ=+，
(,)AC a b R μλμ=-∈，若//AB AC ，则有( )
A ．2λμ+=
B ．1λμ-=
C ．1λμ=-
D ．1λμ=
【解答】解：
//AB AC ，
∴AB k AC =，
AB a b λ=+，(,)AC a b R μλμ=-∈，
()a b k a b λμ∴+=-， ∴1k k λμ
=⎧⎨=-⎩， 1λμ∴=-
故选：C ．
6．（2021秋•宜昌期末）下列命题正确个数为的是( ) ①对于任意向量a 、b 、c ，若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >； ③()()a b c a b c =；
④向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点一定共线．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．0个
【解答】解：①对于任意向量a 、b 、c ，若//a b ，//b c ，则//a c ，不正确，比如b 为零向量，a ，c 可以不共线；
②若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >，不正确，任意两个向量不好比较大小； ③()()a b c a b c =不正确，向量a ，c 可以不共线；
④向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点一定共线，不正确，可能A ，B ，C ，
D 为平行四边形的四点．
故选：D ．
7．（2021秋•雨花区校级月考）若非零向量a ，b ，c 满足//a b ，且0b c =，则
()(a b c += ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
【解答】解：非零向量//a b ，
∴存在实数λ使得a b λ=．
又0b c =，∴()(1)0a b c b c λ+=+=． 故选：D ．
8．（2021•延庆区一模）设D 为ABC ∆所在平面内一点，2BC CD =，则( ) A ．1433
AD AB AC =-+
B ．13
22
AD AB AC =-+
C ．31
22
AD AB AC =
+ D ．31
22
AD AB AC =
- 【解答】解：由题意可知，D 为ABC ∆所在平面内的一点，如图所示， 则有AB BC AC +=①， AC CD AD +=②，
因为2BC CD =，代入①中可得2AB CD AC +=③， 由②③可得，13
22
AD AB AC =-+．
故选：B ．
9．（2021•宁城县一模）如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，
点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是( )
A ．2
B ．1
C
D ．2
【解答】解：据题意，分别以AB 、AD 所在直线为x ，y 轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则：
(0,0)A ，B 0)，E 1)，设(,2)F x ；
∴(2,0)(,2)AB AF x ⋅=⋅=
1x ∴=；
(1,2)F ∴，(2,1),(1AE BF ==-；
∴222AE BF ⋅=+=．
故选：C ．
10．（2021•新课标Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1a =，1a b ⋅=-，则(2)(a a b ⋅-= ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
【解答】解：向量a ，b 满足||1a =，1a b ⋅=-，则2(2)2213a a b a a b ⋅-=-⋅=+=， 故选：B ．
11．（2021•江苏模拟）已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|(a b += )
A B C D ．13
【解答】解：根据题意，a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，则1
2
a b ⋅=
，
则22|3|9613a b a a b b +=+⋅+=， 故选：C ．
12．（2021•郎溪县模拟）已知a 、b 是非零向量且满足(3)a b a -⊥，(4)a b b -⊥，则a 与b 的夹角是( ) A ．
56
π
B ．
23
π C ．
3
π D ．
6
π 【解答】解：(3)a b a -⊥，(4)a b b -⊥，
(3)0a b a ∴-=，(4)0a b b -=，
∴22134
a b a b ==，||23||b a =．
3
cos 2
||||a b a b θ∴==．
6
π
θ∴=
．
故选：D ．
13．（2021秋•越秀区校级期末）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点．则(EB = )
A ．
31
44
AB AC - B ．
33
44
AB AC - C ．
31
44
AB AC + D ．
33
44
AB AC + 【解答】解：因为ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， 所以11131
()22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-，
故选：A ．
14．（2021秋•茂名期末）如图所示，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = )
A ．
31
44
AB AC - B ．
13
44
AB AC - C ．
31
44
AB AC + D ．
13
44
AB AC + 【解答】解：如图所示，
在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， 故1111131
()()2222244
EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=⨯++-=-． 故选：A ．
15．（2021春•湖北期末）等边三角形ABC 的边长为1，BC a =，CA b =，AB c =，那么a b b c c a ++等于( )
A ．3
B ．3-
C ．
3
2 D ．32
-
【解答】解：由题意可得，2,,,3
a b a c b c π<>=<>=<>=
∴1311()322
a b b c c a ++=⨯⨯-⨯=-
故选：D ．
16．（2021•衡阳三模）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA =，1BF CF =-，则BE CE 的值是( )
A ．4
B ．8
C ．
7
8
D ．
34
【解答】解：
D 是BC 的中点，
E ，
F 是AD 上的两个三等分点，
∴BF BD DF =+，CF BD DF =-+，3BA BD DF =+，3CA BD DF =-+， ∴2
2
1BF CF DF BD =-=-，
22
94BA CA DF BD =-=，
∴2
58DF =
，2138
BD =， 又2BE BD DF =+，2CE BD DF =-+，
∴2
2
7
48
BE CE DF BD =-=
， 故选：C ．
17．（2021秋•南关区校级期末）已知平面上三点A 、B 、C 满足||3AB =，||4BC =，||5CA =，则AB BC BC CA CA AB ++值等于( ) A ．25-
B ．20-
C ．25
D ．10-
【解答】解：由已知||3AB =，||4BC =，||5CA =，所以
222
||||||AB BC CA +=，所以
AB BC ⊥，并且3
cos 5
A =
，4cos 5
C =
， 所以
43
045()53(55
AB BC BC CA CA AB ++=+⨯⨯-+⨯⨯-
；
故选：A ．
18．（2012•辽宁模拟）如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则(AD BC ⋅= )
A ．
2
3
B ．74
-
C ．
52 D ．83
-
【解答】解：由2DC BD = 可得，1
3
BD BC =
∴1121()3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=
+ BC AC AB =-
∴222
1211
()()33333
AD BC AB AC AC AB AB AC AB AC ⋅=+
⋅-=-++⋅ 21118
4112()33323
=-⨯+⨯+⨯⨯⨯-=-
故选：D ．
19．（2021春•凉山州期末）若向量a ，b 满足||1a =，(2)a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||(b =
)
A ．2
B
C ．1 D
【解答】解：向量a ，b 满足||1a =，(2)a b a +⊥，(2)a b b +⊥，
∴22
2cos ,02cos ,0
a a
b a b a b a b b ⎧+<>=⎪⎨<>+=⎪⎩，
∴22b a =，||||1b a ∴==．
故选：C ．
20．（2021秋•包头期末）设向量,a b 满足||||1a b ==，1
2
a b =，则|2|(a b += )
A B C D
【解答】解：向量,a b 满足||||1a b ==，1
2
a b =
，
则222|2|(2)44124a b a b a a b b +=+=++=++ 故选：D ．
二．多选题（共2小题）
21．（2021春•齐齐哈尔期中）若平面向量a ，b ，c 两两的夹角相等，且||1a =，||1b =，||3c =，则||(a b c ++= )
A B ．2 C D ．5
【解答】解：2222||()222a b c a b c a b c a b a c b c ++=++=+++⋅+⋅+⋅， 因为平面向量a ，b ，c 两两的夹角相等， 所以夹角有两种情况， 当夹角为0︒时，||5a b c ++=； 当夹角为120︒时，||2a b c ++=． 故选：BD ．
22．（2021春•博山区校级期末）下列说法错误的是( )
A ．若//a b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=
B ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
C ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5(3
-，
)+∞
D ．在ABC ∆中，BC CA CA AB ⋅=⋅，则ABC ∆为等腰三角形
【解答】解：对于A ：若//a b ，则存在唯一实数λ使得(0)a b b λ=≠，故A 错误； 对于B ：两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故B 正确； 对于C ：已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5
(3
-，
0)(0⋃，)+∞，故C 错误；
对于D ：在ABC ∆中，BC CA CA AB ⋅=⋅，整理得()20CA BC BA CA BD ⋅+=⋅⋅=，故BD 垂直平分AC ，所以BAC ∆为等腰三角形，故D 正确． 故选：BD ．
三．填空题（共4小题）
23．（2021•上海二模）设12,e e 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+，122AC be e =-，0a >，0b >．若A ，B ，C 三点共线，则
12
a b
+的最小值是 4 ． 【解答】解：0a >，0b >．若A ，B ，C 三点共线，
∴设AB xAC =，
即1212(1)(2)a e e x be e -+=-，
12,e e 是平面内两个不共线的向量，
∴112a xb x
-=⎧⎨=-⎩，解得12x =-，112a b -=-，
即1
12
a b +=，
则
1212122()()11222242222b a b a a b a b a b a b a b
+=++=++++=+=， 当且仅当
22b a a b =
，即2b a =，即12a =，1
4
b =时，取等号， 故最小值为4， 故答案为：4；
24．（2021•新课标）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b +与向量ka b -垂直，则k = 1 ．
【解答】解：a b ka b +-与垂直，
∴()()0a b ka b +⋅-=，
即220ka ka b a b b +⋅-⋅-=， 化简得(1)(1)0k a b -+⋅=， 若10k -=，符合题意；
若10k -≠，1a b ⋅=-，与a 、b 不共线矛盾； 故1k =； 故答案为：1
25．（2021•德州二模）设向量a ，b 不平行，
向量1
4
a b λ+与a b -+平行．则实数λ= 4- ． 【解答】解：
,a b 不平行；
∴0a b -+≠；
又1
4
a b λ+与a b -+平行；
∴存在实数μ，使1()4
a b a b λμ+=-+；
∴根据平面向量基本定理得，114μλμ-=⎧⎪
⎨=⎪⎩；
4λ∴=-．
故答案为：4-．
26．（2021
•沙坪坝区校级模拟）已知平面向量(1,2)a =-，2(1,0)a b -=-，则||b = 5 ． 【解答】解：设(,)b x y =，
(1,2)a =-，2(1,0)a b -=-，
2(2a b x ∴-=-，4)(1y --=-，0)，
∴
21
40
x
y
-=-
⎧
⎨
--=
⎩
，解得：
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
||9165
b
∴=+，故答案为：5．。