(NEW)李子奈《计量经济学》(第3版)课后习题详解

目　录
第1章　绪　论
第2章　经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型
第3章　经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
第4章　经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型
第5章　经典单方程计量经济学模型：专门问题
第6章　联立方程计量经济学模型：
理论与方法
第7章　扩展的单方程计量经济学模型
第8章　时间序列计量经济学模型
第9章　计量经济学应用模型
第1章　绪　论
1什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？
答：（1）计量经济学是经济学的一个分支学科，以揭示经济活动中客观存在的数量关系为主要内容，是由经济理论、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。

（2）计量经济学方法通过建立随机的数学方程来描述经济活动，并通过对模型中参数的估计来揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，是对经济理论赋予经验内容；而一般经济数学方法是以确定性的数学方程来描述经济活动，揭示的是经济活动中各个因素之间的理论关系。

2计量经济学的研究对象和内容是什么？计量经济学模型研究的经济关系有哪两个基本特征？
答：（1）计量经济学的研究对象是经济现象，主要研究的是经济现象中的具体数量规律，即是利用数学方法，依据统计方法所收集和整理到的经济数据，对反映经济现象本质的经济数量关系进行研究。

（2）计量经济学的内容大致包括两个方面：一是方法论，即计量经济学方法或理论计量经济学；二是应用计量经济学。

任何一项计量经济学研究和任何一个计量经济学模型赖以成功的三要素是理论、方法和数据。

（3）计量经济学模型研究的经济关系的两个基本特征是随机关系和因果关系。

3为什么说计量经济学在当代经济学科中占据重要地位？当代计量经济学发展的基本特征与动向是什么？
答：（1）计量经济学自20世纪20年代末30年代初形成以来，无论在技术方法还是在应用方面发展都十分迅速，尤其是经过20世纪50年代的发展阶段和60年代的扩张阶段，使其在经济学科占据重要的地位，主要表现在：
①在西方大多数大学和学院中，计量经济学的讲授已成为经济学课程表
中最具有权威的一部分；
②从1969～2003年诺贝尔经济学奖的53位获奖者中有10位是与研究和应用计量经济学有关；
③计量经济学方法与其他经济数学方法结合应用得到了长足的发展。

（2）从当代计量经济学的发展方向来看，表现出以下基本特征：
①计量经济学方法从主要用于经济预测转向经济理论假设和政策假设的检验；
②计量经济学模型的应用从传统的领域转向新的领域，如货币、工资、就业、福利、国际贸易等；
③计量经济学模型的规模不再是水平高低的衡量标准，能够从总量和趋势上说明经济规律的简单模型应用越来越广泛；
④非经典计量经济学的理论与应用研究日益成为计量经济学研究的重要内容。

4建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些？
答：建立与应用计量经济学模型的主要步骤有：
（1）设计理论模型，包括选择变量、确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；
（2）收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和一致性；
（3）估计模型参数；
（4）检验模型，包括经济意义的检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验。

5计量经济学模型主要有哪些应用领域？各自的原理是什么？
答：计量经济学模型的应用大体可以概括为以下四个方面：
（1）结构分析，即研究一个或几个经济变量发生变化及结构参数的变动对其他变量以至整个经济系统产生何种影响。

其原理是弹性分析、乘数分析与比较静力分析。

（2）经济预测，即用其进行中短期经济的因果预测。

其原理是模拟历史，从已经发生的经济活动中找出变化规律。

（3）政策评价，即利用计量经济模型定量分析政策变量变化对经济系统运行的影响，是对不同政策执行情况的“模拟仿真”。

（4）检验与发展经济理论，即利用实际的统计资料和计量经济学模型实证分析某个理论假说正确与否。

其原理是如果按照某种经济理论建立的计量经济模型能够很好地拟合实际观察数据，则意味着该理论是符合客观事实的，反之则表明该理论不能解释客观事实。

6模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么？
答：计量经济学模型必须通过四级检验，即经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。

（1）经济意义检验，主要检验模型参数估计量在经济意义上的合理性，其主要方法是将模型参数的估计量与预先拟定的理论期望值进行比较，包括参数估计量的符号、大小、相互之间的关系，以判断其合理性；
（2）统计检验，目的在于检验模型的统计学性质，应用最广泛的统计检验准则有拟合优度检验、变量和方程的显著性检验等；
（3）计量经济学检验，目的在于检验模型的计量经济学性质，最主要的检验准则有随机干扰项的序列相关性检验和异方差性检验，解释变量的多重共线性检验等；
（4）模型预测检验，主要检验模型参数估计量的稳定性以及相对样本容量变化时的灵敏度，确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围，即模型的超样本特性。

具体检验方法为：①利用扩大了的样本重新估计模型参数，将新的估计值与原来的估计值进行比较，并检验二者之间差距的显著性；②将所建立的模型用于样本以外某一时期的实际预测，将该预测值与实际观测值进行比较，并检验二者之间差距的显著
性。

7下列假想模型是否属于揭示因果关系的计量经济学模型？为什么？
（1），其中为第年农村居民储蓄增加额（单位：亿元），为第年城镇居民可支配收入总额（单位：亿元）。

（2），其中为第年底农村居民储蓄余额（单位：亿元），为第年农村居民纯收入总额（单位：亿元）。

答：（1）不属于揭示因果关系的计量经济学模型。

因为表示的是农村居民的储蓄增加额，而表示的是城镇居民的可支配收入总额，农村居民的储蓄增加额与城镇居民的可支配收入之间不存在因果关系，影响农村居民储蓄增加额的应该是农村居民的可支配收入总额。

（2）不属于揭示因果关系的计量经济学模型。

第年的农村居民纯收入对当年及以后年份的农村居民储蓄有影响，但不会影响到年的农村居民储蓄余额，因此该模型中的解释变量对被解释变量之间不存在因果关系，解释变量对被解释变量没有解释能力。

8指出下列假想模型中的错误，并说明理由：
其中，为第年社会消费品零售总额（单位：亿元），为第年居民收入总额（单位：亿元）（城镇居民可支配收入总额与农村居民纯收入总额之和），为第年全社会固定资产投资总额（单位：亿元）。

答：该假想模型有两处错误：
（1）居民收入总额的系数符号与经济理论和实际情况不符，该符号应该取正号；
（2）在解释变量的选取上，全社会固定资产投资总额对社会消费品零售总额没有直接影响，因此，不宜作为的解释变量。

第2章　经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型
1为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机干扰项？
答：计量经济学所研究的变量是具有因果关系的随机变量，变量之间是相关关系，而不是确定的函数关系。

作为被解释的变量除了受解释变量的影响之外，还受到其他各种因素的影响，而在一个回归模型中，不可能反映所有的对被解释变量有影响的变量，因而理论模型就要求有一个变量来代表那些所有无法在模型中列出来且对被解释变量有影响的随机变量，这个变量就是随机干扰项，这样可以保证模型在理论上的科学性。

2下列计量经济学方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
其中带“^”者表示“估计值”。

答：计量经济学模型有总体回归模型和样本回归模型两种类型，且都具有确定形式与随机形式两种表达方式。

在回归分析中，注意区分下列四个式子：
（1）总体回归模型的随机形式：；
（2）总体回归模型的确定形式：；
（3）样本回归模型的随机形式：；
（4）样本回归方程的确定形式：；
其中残差可以表示为。

除了这四个式子外，其他表示均是错误的。

因此（1）（3）（4）（5）（8）错误；（2）（6）（7）正确。

3一元线性回归模型的基本假设主要有哪些？违背基本假设的计量经济学模型是否就不可以估计？
答：（1）线性回归模型的基本假设（实际是针对普通最小二乘法的基本假设）有两大类：一类是关于随机干扰项的，包括零均值、同方差、不存在序列相关、满足正态分布等假设；另一类是关于解释变量的，主要有：解释变量是非随机的，解释变量与随机干扰项之间不相关。

（2）在违背基本假设的情况下，普通最小二乘估计量就不再是最佳线性无偏估计量，因此使用普通最小二乘法进行估计已无多大意义，但模型本身还是可以估计的，尤其是可以通过最大似然法等其他原理进行估计。

4线性回归模型
的零均值假设是否可以表示为？为什么？
答：线性回归模型的零均值假设不可以表示为
，因为表示的随机干扰项的期望，实际上表示的是，即在取特定值的条件下，随机干扰项代表的因素对的平均影响为0。

而只是随机干扰项一个样本的平均值，而样本平均值只是总体平均值（期望）的一个估计量，不能简单将两者等同起来。

5假设已经得到关系式的最小二乘估计，试回答：
（1）假设决定把变量的单位扩大10倍，这样对原回归的斜率和截距会有什么样的影响？如果把变量的单位扩大10倍，又会怎样？
（2）假定给的每个观测值都增加2，对原回归的斜率和截距会有什么样的影响？如果给的每个观测值都增加2，又会怎样？
解：（1）设为原变量的单位扩大10倍后的变量，则有，所以：
因此，当解释变量的单位扩大10倍时，回归中的截距项不发生变化，但斜率将变为原回归系数的。

同理，设为原变量单位扩大10倍后的变量，则有，所以
，即。

因此，当被解释变量的单位扩大10倍时，回归中的截距项与斜率项均是原回归系数的10倍。

（2）设，则，因此，当解释变量的每个观测值均增加2时，回归的斜率不会发生变化，但截距项由原来的变为。

同理，可设，则，即。

可见，当被解释变量的每个观测值均增加2时，回归的斜率仍不发生变化，但截距项由变为，也就是回归直线向上平移了2个单位。

6假使在回归模型中，用不为零的常数去乘每一个值，这会不会改变的拟合值及残差？如果对每个都加大一个非零常数，又会怎样？
解：回归模型的样本回归模型记为，则有：
，
的拟合值与残差分别为：
，
（1）记，则有：
，
记新总体模型对应的样本回归模型为：
则有：
于是在新的回归模型下，的拟合值与残差分别为：
因此，对乘非零常数后，不改变的拟合值与模型的残差。

（2）记，则有：，，于是新模型的回归参数分别为：
在新的回归模型下，Y的拟合值与残差分别为：
因此，对都加大一个非零常数后，也不改变的拟合值与模型的残差。

7假设有人做了如下的回归：
其中，，分别为，关于各自均值的离差。

问和将分别取何值？
解：根据题意，知：，。

将模型中的与看作是一般的解释变量与被解释变量，则根据OLS估计可得：
由于
故有：
即离差形式下，回归方程没有截距项，只有斜率项。

8令和分别为对的回归和对的回归中的斜率，证明：
其中为与之间的线性相关系数。

证明：根据题意得：
因此
其中，，分别为离差形式。

9记样本回归模型为，试证明：
（1）估计的的均值等于实测的的均值：
（2）残差和为零，从而残差的均值为零：
，
（3）残差项与不相关：
（4）残差项与估计的不相关：
证明：（1）由于，所以：
（2）由一元回归模型OLS估计正规方程组中的第一个正规方程：
得：，。

（3）由一元回归模型OLS估计正规方程组中的第二个正规方程：
即得：。

（4）由（2）（3）的结论可得：。

10证明：一元线性回归总离差平方和分解式中：
证明：因为，由第9题（1）得到：
由第9题（2）和（4）得到。

11下面数据是依据10对和的观察值得到的：
假定满足所有的经典线性回归模型的假设。

求：
（1），的估计值及其标准差；
（2）可决系数；
（3）对，分别建立95%的置信区间。

利用置信区间法，你可以接受零假设：吗？
解：（1）根据题意得，则：
，
所以，的估计值分别为：
所以，。

又
故随机干扰性方差的估计值为：
所以、的标准差分别为：
（2）由（1）（2）中计算知：，，所以：
故可决系数。

（3）在5%的显著性水平下，自由度为的临界值为，故和的95%的置信区间分别为：
由于不在的置信区间内，故拒绝零假设。

12下表是中国内地2007年各地区税收和国内生产总值GDP的统计资料。

表2-1　单位：亿元
要求通过手工和运用Eviews软件（或其他软件）：
（1）作出散点图，建立税收随国内生产总值GDP变化的一元线性回归方程，并解释斜率的经济意义；
（2）对所建立的回归方程进行检验；
（3）若2008年某地区国内生产总值为8500亿元，求该地区税收的预测
值及预测区间。

解：（1）首先作关于GDP的散点图。

在Eviews软件中，选择Quick／Graph（图2-1），出现Series List对话框（图2-2）。

图2-1
图2-2
在编辑对话框中输入“GDP Y”，点击OK按钮，出现Graph窗口（图2-3）。

图2-3
在Graph窗口的Graph Type栏中选择Scatter Diagram，点击OK按钮，即出现如图2-4所示的散点图。

图2-4
其次，表2-2给出了以手工方式计算参数估计值的相关数据。

表2-2
由此表可得：
在Eviews软件下，为了得到税收随GDP变化的一元线性回归方程，选择Quick／Estimate Equation（图2-5），出现Equation Specification对话框（图2-6）。

图2-5
图2-6
在编辑对话框中输入“Y C GDP”，点击0K按钮，得到如下估计结果（图2-7）。

图2-7
由此可知，税收随GDP变化的一元线性回归方程为：
斜率的经济意义是：2007年，中国内地各省区GDP每增加1亿元时，税收平均增加0．071亿元。

（2）在5%的显著性水平下，自由度为的分布的临界值为
2.045。

因此，从参数的检验值看，斜率项显著不为零，但不拒绝截距项为零的假设。

另外，拟合优度表明，税收的76%的变化可以由GDP的变化来解释，因此拟合情况较好。

（3）根据回归的模型，当2008年中国某省区GDP为8500亿元时，预测的税收为：
（亿元）
为了建立预测的置信区间，需要先求出解释变量GDP的均值与离差平方和。

表2-2给出了GDP的均值与离差平方和：
，
又在图2-7中已知，从而随机干扰项的估计的方差为：
于是预测的的方差为：
在5%的显著性水平下，自由度为的临界值为2.045。

于是在95%的置信度下，预测省区的2008年的税收收入均值的置信区间为：
或。

同样地，易知95%的置信度下预测的2008年某省区税收入个值的置信区间为：
或。

第3章　经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
1多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？
答：（1）多元线性回归模型的基本假设是针对随机干扰项与针对解释变量两大类的假设。

针对随机干扰项的假设有：零均值、同方差、无序列相关且服从正态分布；针对解释变量的假设有：解释变量的非随机性，若是随机的，则不能与随机干扰项相关，各解释变量之间不存在（完全）线性关系（完全多重共线性）。

（2）在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量非随机性或与随机误差项不相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机干扰项同方差与无序列相关假定。

2在多元线性回归分析中，检验与检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用？
答：在多元线性回归模型分析中，检验常被用于检验回归方程各个参数的显著性，是单一检验；而检验则被用作检验整个回归关系的显著性，是对回归参数的联合检验。

在多元线性回归中，若检验拒绝原假设，意味着解释变量与被解释变量之间线性关系是显著的，但具体是哪个解释变量与被解释变量之间关系显著则需要通过检验来进一步验证，但若检验接受原假设，则意味着所有的检验均不显著。

在一元线性回归模型中，由于解释变量只有一个，因此检验的联合假设等同于检验的单一假设，两检验作用是等价的。

3为什么说对模型参数施加约束条件后，其回归的残差平方和一定不比未施加约束的残差平方和小？在什么样的条件下，受约束回归与无约束回归的结果相同？
答：对模型参数施加约束条件后，参数的取值只能在约束条件下达到最优，这就限制了参数的取值范围，寻找到的参数估计值也是在此条件下使残差平方和达到最小；而无约束模型中参数的取值可以在更大的范围内达到最优，因而可以使残差平方和比施加约束后的残差平方和更小。

但当约束条件真实成立时，受约束回归与无约束回归的结果就相同了。

4在一项调查大学生一学期平均成绩与每周在学习、睡觉、娱乐与其他各种活动所用时间的关系的研究中，建立如下回归模型：
如果这些活动所用时间的总和为一周的总小时数168。

问：保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是否有意义？该模型是否有违背基本假设的情况？如何修改此模型以使其更加合理？
答：由于模型中四个解释变量之和为168小时是固定的，因此当一个解释变量发生变化时，至少有一个其他变量也要发生变化才能维持总和不变，因而，保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是毫无意义的。

由于四类活动的总和为一周的总小时数168，说明四个解释变量存在完全的线性关系，因此违背了解释变量间不存在多重共线性的假定。

可以考虑去掉其中的一个解释变量，如去掉第四个解释变量X4，用新构成的三变量模型更加合理。

如这时就测度了当其他两变量不变时，每周增加1小时的学习时间所带来的学习成绩的平均变化。

这时，即使睡觉和娱乐的时间保持不变，也可以通过减少其他活动的时间来增加学习的时间，而且这时这三个变量间也不存在明显的共线性问题。

5考虑下列两个模型：
（a）
（b）
（1）证明：
，，
（2）证明：两个模型的最小二乘残差相等，即对任何，有。

（3）在什么条件下，模型（b）的小于模型（a）的？
证明：（1）模型（b）可变形为：，因此，在与模型（a）有相同的样本下进行OLS估计，有：，，。

即：，，。

（2）在（1）成立的条件下，有：
（3）模型（a）的样本可决系数为：；
模型（b）的样本可决系数为：。

由（2）中的结论知，故只有当时，即模型（b）的解释变量的离差平方和小于模型（a）的被解释变量的离差平方和时，才会有模型（b）的小于模型（a）的。

6考虑下列三个试验步聚：
（1）对进行回归；
（2）对进行回归，计算残差；
（3）对进行回归。

试证明，并直观地解释该结果。

证明：由（2）得残差：
代入（3）的回归中得：
或：
该模型形式与步骤（1）中的完全相同，因而必有。

直观来看，测度的是以外的因素对的影响。

因此对（3）中的模型来说，对的影响只能归结到对的影响上来，与无关。

所以（1）中模型的与（3）中模型的都是测度排除了后的对的影响，因此二者的回归结果应是相等的。

7考虑以下过原点回归：
（1）求参数的OLS估计量；
（2）对该模型，是否仍有结论
，，
解：（1）根据最小二乘原理，需求参数估计量，使得残差平方和最小，即：
对其分别求关于、的偏导，并令偏导值为0，即得到正规方程组：
或：
解得：
（2）由（1）中的正规方程组知，对该模型仍有：
但不存在，即过原点的线性方程的残差和不一定为零。

8对下列模型：
（a）
（b）
求出的最小二乘估计值，并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计值作比较：
（c）
你认为哪一个估计值更好？
解：模型（a）即为：，则的最小二乘估计值为：
模型（b）即为：，则的最小二乘估计值为：
对于模型（c），的最小二乘估计值为：
其中，，。

显然，模型（a）和（b）分别是模型（c）在和的约束下的变形式。

因此，如果限制条件正确，从表达形式上看，模型（a）与（b）的回归算法更为简洁；如果限制条件不正确，则模型（a）与（b）回归参数是有偏的，应采用模型（c）来估计。

9下表给出三变量模型的回归结果：
（1）求样本容量，残差平方和RSS，回归平方和ESS及残差平方和RSS的自由度。

（2）求拟合优度及调整的拟合优度。

（3）检验假设：和对均无影响。

应采用什么假设检验？为什么？（4）根据以上信息，你能否确定和各自对的影响？
解：（1）已知总离差自由度为14，解释变量的个数，所以：
样本容量为：；
残差平方和为：RSS=TSS-ESS；
残差平方和RSS的自由度为：；
回归平方和ESS的自由度为：。

（2）反映拟合优度的样本可决系数为：；
调整的样本可决系数为：
（3）由于假设是检验和对均无影响，不是单一参数的检验，而是联合假设检验，即检验，只有这样才能判断和一起是否对有影响。

（4）不能确定和各自对的影响。

根据上述信息，可决系数0.9988比较接近于1，说明模型的拟合优度较好，但由于无法知道回归参数估计量的具体值、标准差或统计量，故无法判断他们各自对是否有显著影响及影响有多大。

10试由教材中的（3.6.16）式推导出（3.6.17）式。

解：对的分子、分母同时除得：
其中，、分别为无约束回归与受约束回归方程的可决系数。

11在一项对某社区家庭对某种消费品的消费需要调查中，得到下表所示的资料。

单位：元
请用手工与软件两种方式对该社区家庭对该商品的消费需求支出作二元线性回归分析，其中手工方式要求以矩阵表达式进行运算。

（1）估计回归方程的参数及随机干扰项的方差，计算及。

（2）对方程进行检验，对参数进行检验，并构造参数95%的置信区间。

（3）如果商品单价变为35元，则某一月收入为20000元的家庭的消费支出估计是多少？构造该估计值的95%的置信区间。

解：手工计算
（1）根据题意，二元样本回归方程的参数估计值为：，其中
，
所以：
于是。

根据随机干扰项方差的估计式得到：
而
所以随机干扰项方差的估计值为：
又
故：。