不同形状孔的弗朗禾费衍射

−ⅈ
̃0 () ⅆ （2）
∬
0
(0 )
现在假设一个坐标系，如图（1）
把坐标系带入到方程（2），则可以得到
图（1）
∞
2
( 2 + 2)
(
)
2
(, ) =

× ∬ (0 , 0 ) − 0 +0 ⅆ0 ⅆ0
ⅈ
−∞
其中(0 , 0 )为衍射屏后的复振幅，为光波的波长， =
6. 正 N 变形
到此处，我们可以设想任意 N 边形衍射孔形成的衍射强度分布。
思路是这样的：将一个任意正 N 边形孔分割成 N 个分别全等的等腰三角形，然后
使每个等腰三角形所形成的衍射场相干叠加所
形成的衍射场就是这个正 N 边形所形成的衍射
场（如图（15））。
有计算机所绘制的图像和导出公式可以看出：
B(j)=pi*a*y(j)/(lmda*z);
I(i,j)=((sin(A(i)))/(A(i)+eps))^2*((sin(B(j)))/(B(j)+eps))^2;
end
end
>> figure(1)
>> imshow(I*225)
>> figure(2)
>> mesh(I)
8
图（8） 正方形孔的夫琅禾费衍射振动分布
并且用 matlab 和 mathematical 绘制出衍射强度分布的图像。由此，我们可以推
广出任意正 N 边形的夫琅禾费衍射公式。同时，我们假设任意不规则形状的夫琅
禾费衍射的计算思路。
关键字：夫琅禾费衍射，等腰三角形，正 N 变形
1. 引言
我们很容易从菲涅尔-基尔霍夫积分公式推导出夫琅禾费单缝衍射和矩孔衍射的
的三个等腰三角形时，假定一个等腰三角形与上面的推导一致，但是另外两个等
腰三角形做了旋转。因此另外两个等腰三角形产生的衍射场需要做坐标变换。
从线性代数可以得到旋转1200 的坐标变换矩阵
2
3
=[
2
−ⅈ
3
cos
2
1 √3
−
3 ]=
2
2
2
√3 1

−
3
[ 2
2]
ⅈ
三个衍射场的矢量场在一个点的叠加可表示为
( + )
2
=
2
(
sinc (
)
4
2
− −
(−)
(
2
sinc (
− )
))
2
（7）
其中
( + )
sin (
)
( + )
2
sinc (
)=
( + )
2
2
( − )
sin (
)
( − )
for i=1:1:401
for j=1:1:401
%假设衍射孔的大小为 0.00004 这个量级
%假设波长为 500nm
%假设衍射屏与观察屏相距 10 米
X(i)=2*pi*x(i)/(tan(pi/3)*lmda*z);
Y(j)=2*pi*y(j)/(lmda*z);
I1(i,j)=(sin(0.5*H*(Y(j)-X(i))))^2/((Y(j)-X(i))^2+eps);

2



=

=
图（2）
根据夫琅禾费衍射公式（2）可得
( 2 +2 )
̅̅̅̅
(, ) =
2
∬ −2(0 +0 ) ⅆ0 ⅆ0
ⅈ


0
( 2 + 2 ) 2 −2
0 (∫
=
2
∫
−20 ⅆ0 ) ⅆ0
I2(i,j)=(sin(0.5*H*(Y(j)+X(i))))^2/((Y(j)+X(i))^2+eps);
I3(i,j)=2*cos(H*X(i))*(sin(0.5*H*(Y(j)X(i))))*(sin(0.5*H*(Y(j)+X(i))))/(Y(j)*Y(j)-X(i)*X(i)+eps);
sin ( )
= 0 ( ) ⋅ ( )




2
2
sin()
sin()
= 0 (
) ⋅(
)


（10）
其中




=


=
可以发现，衍射强度的表达式与其他方法计算出来的表达式一致。
clear all
a=0.00003;
%假设 a=0.00003 米这个量级
考虑的，缺乏严格的数学推导。
2. 等腰三角形
首先从菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式
1
̃() =

−ⅈ

̃
∬(cos 0 + cos ) 0 ()
ⅆ （1）
2

(0 )
在光孔和接受范围满足傍轴条件的情况下， ≈ 0 ≈ 0， ≈ 0（场点到光孔中心
的距离），上式可简化为
̃() =
I(i,j)=(4/(3*X(i)*X(i)+eps))*(I1(i,j)+I2(i,j)-I3(i,j));
end
end
m=max(I(:));n=min(I(:));I0=(I-n)/(m-n);
figure(1)
imshow(I0*50)
figure(2)
mesh(I)
5
图（）
图（4）三角形孔的夫琅禾费衍射振动分布
2
−
2
2
其中
4
√3

2
1 2
=

√3
2
=


=
有了上面的表达式，我么可以有相关数学软件模拟
以下为在 matlab 中的编程代码
clear all
a=0.00004;
lmda=500e-9;
z=10;
H=a*sin(pi/3);
x=-1:0.005:1;
y=-1:0.005:1;
−1 + −
+
+
（6）
)
借助相关公式
−1 = − ×
sin()
= sinc()



−1 + = ( − − ) = ⋅ ( − − )
可以化简到
( 2 +2 ) −(+)
光强分布具有对称性；在各边的垂直方向向上
图（15）
光强较强；除中间亮斑外，光强眼径向呈强弱
相间分布，并且随着极径增大其峰值逐渐减小；当边数很多时，光强分布随极角
变化不大，不难推断：当 → ∞时，光强与极角无关，呈强弱相间的圆环分布，
13
这正是圆孔的夫琅禾费衍射图样。
可以断定，观察屏上的衍射图样主要决定于衍射屏边缘的形状。当边缘形状一定
强度公式和分布特点。但是，我们对于其他形状的孔的夫琅禾费衍射又是什么样
子的呢。这些都可以从实验上观察，但是从理论上也是可以推导出来的。在这种
疑问之下，我们可以先来讨论一些简单形状的孔，比如等腰三角形，等边三角形，
正方形孔的夫琅禾费衍射。有一些文献资料上虽然也给出了正多边形孔的夫琅禾
费衍射图样，但都是通过对衍射孔进行傅里叶变换得到的，只是站在软件的角度
2 ] = [ 0 1]

−1 0

2
ⅈ
图（7）
四个衍射场的矢量叠加
4
(, ) = ∑ (, )
=1


sin ( ) sin ( )

= 0
⋅




由此，我们可以得到
= (, ) ⋅ (, )∗
7
（9）
2
2


sin ( )
E(i,j)=E1(i,j)+E2(i,j);
I(i,j)=E(i,j)*E(i,j);
end
end
>> figure(1)
imshow(I)
figure(2)
mesh(I)
11
图（12）正六边形孔的夫琅禾费衍射振动分布
图（13）正六边形孔的夫琅禾费衍射振动在做表面的投影
12
图（14）正六边形孔的夫琅禾费衍射的计算机模拟
2

(3)
，ⅈ为虚数单位。
观察屏后面的光强可表示为
(0 , 0 ) = ∗ (, )(, ) （4）
我们从上面的理论模型出发，先讨论一下等腰三角形控的夫琅禾费衍射
设衍射屏为如图（2）所示的等腰三角型孔。顶角为，底边边长为，为简化起
见，设振幅为 1 的平面光波垂直入射，令
=
不同形状的孔所产生的夫琅禾费衍射图像和光强分布
摘要：当讲光源视为远场的时候，可以将菲涅耳衍射变化为夫琅禾费衍射。很容
易能够考察出圆形孔和矩形孔的夫琅禾费衍射的强度分布。对于其他形状的衍射
图案和光强分布又是怎么样？在这里，我们将从菲涅耳-基尔霍夫公式出发，经
过推到得出等腰三角形，等边三角形，正方形，正六边形孔的夫琅禾费衍射公式。
ⅈ
0
−0
2
(−+)
( 2  2 + 3 (
4
− +
(−+)
ⅈ
−1 +
= 2 3 (
4
− +
(+)
−1 + −
+
+
)
(+)
2
sinc (
)=
( − )
2
2
再提出与，无关的部分设为，
=
(+)
2 2
−

(
− 1)
−4 2 ( + )
(−)
2 2
−

−
(
− 1)
−4 2 ( − )
3
（5）
（8）
3. 等边三角形
有了上面的公式，我们可以计算一些正多边形孔的夫琅禾费衍
for j=1:1:501
E1(i,j)=2*x(i)*sin(h*x(i))*sin(h*y(j)*tan(pi/6))/((x(i)*x(i)y(j)*y(j)/3)*y(j)+eps);
E2(i,j)=-2*tan(pi/6)*(cos(h*x(i))*cos(h*y(j)*tan(pi/6))cos(2*tan(pi/6)*h*y(j)))/(x(i)*x(i)-y(j)*y(j)/3+eps);
图（5）三角形孔的夫琅禾费衍射振动在坐标面的投影
6
图（6）三角形孔的夫琅禾费衍射光强的计算机模
4. 正方形
我们可以用类似的方法讨论正方形的衍射场，将四个全等的顶角为900 的三角形
按照图（7）放置，这样就可以产生一个正方形的孔。
从线性代数可以得到旋转90的坐标变换矩阵

2
=[

−ⅈ
2
cos

时，观察屏上的光强分布在垂直于边缘方向上较强，看上去像是拖着一条亮尾巴。
因此，对于那些无法计算的各种形状的衍射屏也能概略的做出光强分布的判断。
通过上面的思路，我们可以设想任意图形衍射所形成的衍射场分布和光强分布。
通过将一个这个形状用已经讨论过的形状填充（如图（16）），使之与这个形状无
限近似，然后在叠加衍射场。
(
2
√3
sin(ℎ) sin ( ℎ)
1
3
( 2 − 3 2 )
2√3
− 3
√3
+
(cos(ℎ) cos ( ℎ)
1
3
( 2 − 3 2 )
2√3
− cos (
ℎ))
3
（11）
)
=
2 2
4 2
10
图（11）
ℎ=
√3

由上面的公式，可以计算出光强的表达式
射场。对于一个正三角形，我们可以让认为是由三个顶角为
1200 的等腰三角型，这样就可以将三个等腰三角形孔的衍射
场叠加成一个衍射场（如图（3）。并且这三个等腰三角形全等，
图（3）
所以产生的衍射场的表达式类似。然后计算出衍射强度分布。
由于上面计算所选取的坐标系中，等腰三角形的顶角在原点。计算组成正三角形
lmda=500e-9;
%假设波长为 500nm
z=6;
%假设 z=6 米
k=lmda*lmda*z*z/(4*pi*pi);
h=pi*a*tan(pi/3)/(lmda*z);
x=-1:0.005:1;
y=-1:0.005:1;
for i=1:1:401
for j=1:1:401
A(i)=pi*a*x(i)/(lmda*z);
= (, ) ∗ ∗ (, )
clear all
a=0.00003;
lmda=500e-9;
z=10;
k=lmda*lmda*z*z/(4*pi*pi);
h=pi*a*tan(pi/3)/(lmda*z);
x=-1:0.004:1;
y=-1:0.004:1;
for i=1:1:501
图（9）正方形孔的夫琅禾费衍射在做表面的投影
9
图（10）正方形孔的夫琅禾费衍射的计算机模拟
5. 正六边形
将六个顶角为600 的全等三角形按照如图（11）的形式放置，这样就产生了一个
正六边形的孔，在将每一个三角形叠加。
正六边形衍射孔的衍射强度
6
(, ) = ∑ (, )
=1
= 2
3
(, ) = ∑ (, )
=1
由此，我们可以得到
= (, ) ⋅ (, )∗
=
4 2
1

1

(
sin2 ( ( − )) +
sin2 ( ( + ))
2
2
2
( + )
3 ( − )
2
2
−
2
2


cos()sin( ( − ))sin( ( + )))