2019年广东省中考数学试题(含答案,解析版)

2019年广东省初中学业水平考试
数 学
说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为100分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．﹣2的绝对值是
A ．2
B ．﹣2
C ．
2
1 D ．±
2 【答案】A
【解析】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
【考点】绝对值
2．某网店2019年母亲节这天的营业额为221 000元，将数221 000用科学记数法表示为
A．2.21×106B．2.21×105 C．221×103 D．0.221×106
【答案】B
【解析】a×10n形式，其中0≤|a|＜10.
【考点】科学记数法
3．如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是
【答案】A
【解析】从左边看，得出左视图.
【考点】简单组合体的三视图
4．下列计算正确的是
A．b6÷b3=b2B．b3·b3=b9C．a2+a2=2a2D．(a3)3=a6
【答案】C
【解析】合并同类项：字母部分不变，系数相加减.
【考点】同底数幂的乘除，合并同类项，幂的乘方
5．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
【答案】C
【解析】轴对称与中心对称的概念.
【考点】轴对称与中心对称
6．数据3、3、5、8、11的中位数是
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C
【解析】按顺序排列，中间的数或者中间两个数的平均数.
【考点】中位数的概念 7．实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是
A ．a>b
B ．|a| < |b|
C ．a+b>0
D ．b
a <0
【答案】D
【解析】a 是负数，b 是正数，异号两数相乘或相除都得负.
【考点】数与代数式的大小比较，数轴的认识
8．化简24的结果是
A ．﹣4
B ．4
C ．±4
D ．2
【答案】B
【解析】公式a
a2 .
【考点】二次根式
9．已知x1、x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是A．x1≠x2B．x12﹣2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1·x2=2 【答案】D
【解析】因式分解x（x-2）=0，解得两个根分别为0和2，代入选项排除法. 【考点】一元二次方程的解的概念和计算
10．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K．则下列结论：①△ANH≌△GNF；
②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S
△AFN
: S△ADM =1 : 4．其中正确的结论有A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】AH=GF=2，∠ANH=∠GNF，∠AHN=∠GFN，△ANH≌△GNF（AAS），
①正确；由①得AN=GN=1，∵NG⊥FG，NA不垂直于AF，∴FN不是∠
AFG的角平分线，∴∠AFN≠∠HFG，②错误；由△AKH∽△MKF，且AH:MF=1:3，∴KH:KF=1:3，又∵FN=HN，∴K为NH的中点，即FN=2NK，
③正确；S
△AFN =
2
1
AN·FG=1，S△ADM =
2
1
DM·AD=4，∴S△AFN : S△ADM =1 :
4，④正确.
【考点】正方形的性质，平行线的应用，角平分线的性质，全等三角形，相似三
角形，三角形的面积
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案
填写在答题卡相应的位置上．
11．计算20190+(3
1)﹣1=____________． 【答案】4
【解析】1+3=4
【考点】零指数幂和负指数幂的运算
12．如图，已知a ∥b ，∠l=75°，则∠2 =________．
【答案】105°
【解析】180°-75°=105°.
【考点】平行线的性质 13．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是_________．
【答案】8
【解析】（n-2）×180°=1080°，解得n=8.
【考点】n 边形的内角和=（n-2）×180°
14．已知x=2y+3，则代数式4x ﹣8y+9的值是___________．
【解析】由已知条件得x-2y=3，原式=4（x-2y）+9=12+9=21.
【考点】代数式的整体思想
15米，在实验楼的15．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=3
顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是_________________米（结果保留根号）．
【答案】15+153
【解析】AC=CD·tan30°+CD·tan45°=15+153.
【考点】解直角三角形，特殊三角函数值
16．如题16-1图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按题16-2图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（题16-1图）拼出来的图形的总长度是_____________________（结果用含a、b代数式表示）．
【解析】每个接触部分的相扣长度为（a-b ），则下方空余部分的长度为a-2（a-b ）
=2b-a ，3个拼出来的图形有1段空余长度，总长度=2a+（2b-a ）=a+2b ；5个拼出来的图形有2段空余长度，总长度=3a+2（2b-a ）=a+4b ；7个拼出来的图形有3段空余长度，总长度=4a+3（2b-a ）=a+6b ；9个拼出来的图形有4段空余长度，总长度=5a+4（2b-a ）=a+8b.
【考点】规律探究题型
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．解不等式组：
【答案】
解：由①得x ＞3，由②得x ＞1，
∴原不等式组的解集为x ＞3.
【考点】解一元一次不等式组
18．先化简，再求值：4
-x x -x 2-x 1-2-x x 22÷⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，其中x=2． 【答案】
解：原式=2-x 1-x 4
-x x -x 22÷ =2
-x 1-x ×()()()1-x x 2-x 2x + =
x 2x +
当x=2，原式=2
22+=2222+=1+2. 【考点】分式的化简求值，包括通分、约分、因式分解、二次根式计算
19．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC 内，求作∠ADE ．使∠ADE=∠B ，DE 交AC
于E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若DB AD
=2，求EC AE
的值．
【答案】
解：（1）如图所示，∠ADE 为所求.
（2）∵∠ADE=∠B
∴DE ∥BC ∴EC AE =DB AD
∵
DB AD =2 ∴EC
AE =2 【考点】尺规作图之作一个角等于已知角，平行线分线段成比例
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）
20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行
测试，并将测试成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如题20图表所示，根据图表信息解答下列问题：
（1）x =________，y =_______，扇形图中表示C 的圆心角的度数为_______度；
（2）甲、乙、丙是A 等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两
名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率．
【答案】
解：（1）y=10÷25%=40，x=40-24-10-2=4，C 的圆心角=360°×
40
4=36° （2）画树状图如下：
一共有6种可能结果，每种结果出现的可能性相同，其中同时抽到甲、乙的结果
有2种
∴P （甲乙）=62=3
1 答：同时抽到甲、乙两名学生的概率为3
1. 【考点】数据收集与分析，概率的计算
21．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个
篮球的价格为70元，毎个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球？
【答案】
解：（1）设购买篮球x 个，则足球（60-x ）个.
由题意得70x+80（60-x ）=4600，解得x=20
则60-x=60-20=40.
答：篮球买了20个，足球买了40个.
（2）设购买了篮球y 个.
由题意得 70y ≤80（60-x ），解得y ≤32
答：最多可购买篮球32个.
【考点】一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用
22．在如图所示的网格中，每个正方形的连长为1，每个小正方形的顶点叫格点，
△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A 为圆心的⌒EF 与BC 相切于点D ，分
别交AB 、AC 于点E 、F ．
（1）求△ABC 三边的长；
（2）求图中由线段EB 、BC 、CF 及⌒FE 所围成的阴影部分的面积．
【答案】
解：（1）由题意可知，AB=2262+=102，AC=2262+=102， BC=2284+=54
（2）连接AD
由（1）可知，AB2+AC2=BC2，AB=AC
∴∠BAC=90°，且△ABC 是等腰直角三角形
∵以点A 为圆心的⌒EF 与BC 相切于点D
∴AD ⊥BC
∴AD=2
1BC=52 （或用等面积法AB ·AC=BC ·AD 求出AD 长度） ∵S 阴影=S △ABC －S 扇形EAF
S △ABC =2
1×102×102=20 S 扇形EAF =()
25241π =5π ∴S 阴影=20－5π
【考点】勾股定理及其逆定理，阴影面积的计算包括三角形和扇形的面积公式
五、解答题（三）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）
23．如图，一次函数y=k 1x+b 的图象与反比例函数y=x
k 2的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（﹣1，4），点B 的坐标为（4，n ）．
（1）根据函数图象，直接写出满足k 1x+b>x
k 2的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；
（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP : S △BOP =1 : 2，求点P 的坐标．
【答案】
解：（1）x ＜-1或0＜x ＜4
（2）∵反比例函数y=x
k 2图象过点A （﹣1，4） ∴4=1
-k 2，解得k 2=﹣4 ∴反比例函数表达式为x
4-y = ∵反比例函数x
4-y =图象过点B （4，n ） ∴n=4
4-=﹣1，∴B （4，﹣1） ∵一次函数y=k 1x+b 图象过A （﹣1，4）和B （4，﹣1）
∴⎩⎨⎧+=+=b
k 41-b -k 411，解得⎩⎨⎧==3b 1-k 1 ∴一次函数表达式为y=﹣x+3
（3）∵P 在线段AB 上，设P 点坐标为（a ，﹣a+3）
∴△AOP 和△BOP 的高相同
∵S △AOP : S △BOP =1 : 2
∴AP : BP=1 : 2
过点B 作BC ∥x 轴，过点A 、P 分别作AM ⊥BC ，PN ⊥BC 交于点M 、N
∵AM ⊥BC ，PN ⊥BC ∴BN
MN BP AP = ∵MN=a+1，BN=4-a ∴21a -41a =+，解得a=3
2 ∴-a+3=
37 ∴点P 坐标为（32，3
7） （或用两点之间的距离公式
AP=()()224-3a -1a +++，BP=()()223-a 1-a -4++，由21BP AP =解得a 1=32，a 2=-6舍去）
【考点】一次函数和反比例函数的数形结合，会比较函数之间的大小关系，会求
函数的解析式，同高的三角形的面积比与底边比的关系
24．如题24-1图，在△ABC 中，AB=AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点C 作
∠BCD=∠ACB 交⊙O 于点D ，连接AD 交BC 于点E ，延长DC 至点F ，使CF=AC ，连接AF ．
（1）求证：ED=EC ；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如题24-2图，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BG的长．
【答案】
（1）证明：∵AB=AC
∴∠B==∠ACB
∵∠BCD=∠ACB
∴∠B=∠BCD
∵⌒
AC=
⌒
AC
∴∠B=∠D
∴∠BCD=∠D ∴ED=EC （2）证明：
连接AO并延长交⊙O于点G，连接CG 由（1）得∠B=∠BCD
∴AB∥DF
∵AB=AC，CF=AC
∴AB=CF
∴四边形ABCF是平行四边形
∴∠CAF=∠ACB
∵AG为直径
∴∠ACG=90°，即∠G+∠GAC=90°
∵∠G=∠B，∠B=∠ACB
∴∠ACB+∠GAC=90°
∴∠CAF+∠GAC=90°即∠OAF=90°∵点A在⊙O上
∴AF是⊙O的切线
（3）解：
连接AG
∵∠BCD=∠ACB ，∠BCD=∠1
∴∠1=∠ACB
∵∠B=∠B
∴△ABE ∽△CBA ∴BC
AB AB BE ∵BC ·BE=25
∴AB 2=25
∴AB=5
∵点G 是△ACD 的内心
∴∠2=∠3
∵∠BGA=∠3+∠BCA=∠3+∠BCD=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAG
∴BG=AB=5
【考点】圆的综合应用，等弧等弦等角的转换，切线的证明，垂径定理的逆应用，内
心的概念，相似三角形的应用，外角的应用，等量代换的意识
25．如题25-1图，在平面直角坐标系中，抛物线y=8
37 -x 433x 832+与x 轴交于点A 、B(点A 在点B 右侧)，点D 为抛物线的顶点．点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．
（1）求点A 、B 、D 的坐标；
（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；
（3）如题25-2图，过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，
过点P 作PM ⊥ x 轴，点M 为垂足，使得△PAM 与△DD 1A 相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；
②直接回答．．．．
这样的点P 共有几个？
【答案】
（1）解：由y=
837 -x 433x 832+=()32-3x 83+得点D 坐标为（﹣3，32） 令y=0得x 1=﹣7，x 2=1
∴点A 坐标为（﹣7，0），点B 坐标为（1，0）
（2）证明：
过点D 作DG ⊥y 轴交于点G ，设点C 坐标为（0，m ）
∴∠DGC=∠FOC=90°，∠DCG=∠FCO
∴△DGC ∽△FOC ∴CO
CG FO DG = 由题意得CA=CF ，CD=CE ，∠DCA=∠ECF ，OA=1，DG=3，CG=m+32 ∵CO ⊥FA
∴FO=OA=1 ∴
m 32m 13+=，解得m=3 （或先设直线CD 的函数解析式为y=kx+b ，用D 、F 两点坐标求出y=3x+3，再求出点C 的坐标）
∴点C 坐标为（0，3）
∴CD=CE=()223233++
=6 ∵tan ∠CFO=FO CO =3
∴∠CFO=60°
∴△FCA 是等边三角形
∴∠CFO=∠ECF
∴EC ∥BA
∵BF=BO －FO=6
∴CE=BF
∴四边形BFCE 是平行四边形
（3）解：①设点P 坐标为（m ，
837-m 433m 832+），且点P 不与点A 、B 、D 重合．若△PAM 与△DD 1A 相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等．由（1）得AD 1=4，DD 1=32
（A ）当P 在点A 右侧时，m ＞1 （a ）当△PAM ∽△DAD 1，则∠PAM=∠DAD 1，此时P 、A 、D 三点共线，这种情况不存在
（b ）当△PAM ∽△ADD 1，则∠PAM=∠ADD 1，此时
11DD AD AM PM = ∴3
241-m 837-m 433m 832=+，解得m 1=35-（舍去），m 2=1（舍去），这种不存在
（B ）当P 在线段AB 之间时，﹣7＜m ＜1 （a ）当△PAM ∽△DAD 1，则∠PAM=∠DAD 1，此时P 与D 重合，这种情况不存在
第 21 页 （共 21 页） （b ）当△PAM ∽△ADD 1，则∠PAM=∠ADD 1，此时1
1DD AD AM PM = ∴3
241-m 837-m 433m 832=+，解得m 1=35-，m 2=1（舍去） （C ）当P 在点B 左侧时，m ＜﹣7
（a ）当△PAM ∽△DAD 1，则∠PAM=∠DAD 1，此时
11AD DD AM PM = ∴﹣3
241-m 837-m 433m 832=+432，解得m 1=﹣11，m 2=1（舍去） （b ）当△PAM ∽△ADD 1，则∠PAM=∠ADD 1，此时
11DD AD AM PM = ∴﹣3
241-m 837-m 433m 832=+，解得m 1=337-，m 2=1（舍去） 综上所述，点P 的横坐标为35-，﹣11，3
37-，三个任选一个进行求解即可． ②一共存在三个点P ，使得△PAM 与△DD 1A 相似．
【考点】二次函数的综合应用，旋转的性质，相似三角形的的应用，等边三角形
的性质，平行四边形的证明，平面直角坐标的灵活应用，动点问题，分类讨论思想。