全等三角形的判定定理SAS

三角形全等的判定定理2SAS
1.掌握“边角边”定理的内容.
2.能初步应用“边角边”判定两个三角形全等.
让学生探索三角形全等的条件,体验操作、归纳得出数学结论的过程.
通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生观察分析图形的能力及运算能力,培养学生乐于探索的良好品质,以及发现问题的能力.
【重点】“边角边”定理的理解和应用.
【难点】指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.
【教师准备】多媒体课件,直尺、圆规和剪刀.
【学生准备】直尺、圆规和剪刀.
导入一:
【提出问题】
(1)怎样的两个三角形是全等三角形?全等三角形的性质是什么?三角形全等的判定方法“SSS”的内容是什么?
(2)如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等吗?此时应该有两种情况,一种是角夹在两条边的中间,形成两边一夹角,一种是角不夹在两边的中间,形成两边一对角,如图所示.
[设计意图]复旧导新,激发学生的学习兴趣,为下面学习做好铺垫,让学生感知“两边一角”的两种情况,建立分类讨论的思想.
导入二:
如图所示,在湖泊的岸边有A,B两点,难以直接量出A,B两点间的距离.你能设计一种量出A,B两点之间
距离的方案吗?说明你的设计理由.
[设计意图]这样设计既交代了本节课要研究和学习的主要问题,将数学问题与实际生活相结合,又能较好地激发学生求知与探索的欲望.同时让学生知道数学知识无处不在,应用数学无时不有.符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求.
导入三:
某同学不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成两块(如图所示),现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃.
如果只准带一块碎片,那么应该带哪一块去?能试着说明理由吗?
利用今天要学的“边角边”知识可知带黑色的那块.因为它完整地保留了两边及其夹角,一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定下来了.
[设计意图]通过现实生活中的实际问题,让学生感受数学知识在生活中的应用,从而产生探索知识的欲望,增强学生学习数学的兴趣,树立爱数学、学数学的良好情感.
一、“边角边”定理的探究
思路一
1.先任意画一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A.(即两边和它们的夹角相等)
点拨:要画三角形,首先要确定三角形的三个顶点.
解:如图所示,(1)画∠DA'E=∠A;
(2)在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC;
(3)连接B'C'.
肯定学生中好的画法,并让学生与教材中的画法进行比较,确定正确的画法.
(进一步学习三角形的画法,从实践中体会两个三角形全等的条件)
2.引导学生剪下三角形,看是不是与原三角形全等.
【得出结论】两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”.也就是说,三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定了.用符号语言表示为:
在ΔABC与ΔA'B'C'中,∵∠∠
∴ΔABC≌ΔA'B'C'(SAS).
[易错提示]“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.
3.问题:如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其邻角分别相等”,即“两边及其中一边的对角相等”,那么这两个三角形还全等吗?
根据学生的讨论,教师应该及时点拨,必要时可以画反例图形.
通过反例说明“已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”不一定成立.
(让学生了解推翻一个结论可以通过举反例说明)
思路二
1.引导学生画一个三角形,使它的两条边分别是1.5 cm,
2.5 cm,并且使长为1.5 cm的这条边所对的角是30°.
(小组交流后比较画出的图形是否全等,小组内选代表发言)
如图所示,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出ΔABC,固定住长木棍,转动短木棍,得到ΔABD.这个试验说明了什么?
教师让学生观察运动过程,并加以分析.指出:两个三角形的两条边和其中一条边的对角相等时,这两个三角形不一定全等.
2.画一个ΔABC,使AB=3 cm,BC=4 cm,∠B=60°.比较小组内成员所画的三角形是否全等.
(让学生动手操作,提高学生的动手能力和小组合作学习的能力,从而使学生发现“边角边”定理)
【提出问题】通过刚才的操作,你能得出什么结论?
学生交流后得出基本事实,即“如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等”.简记为“边角边”或“SAS”.
二、例题讲解
(教材例2)如图所示,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长至D,使CD =CA,连接BC并延长到点E,使CE =CB.连接ED,
那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?
教师引导学生把实际问题转化为数学问题,观察图形中有没有全等的三角形.
〔解析〕如果能证明ΔABC≌ΔDEC就可以得出AB=DE.由题意可知ΔABC和ΔDEC具备“边角边”的条件.
证明:在ΔABC和ΔDEC中,∵∠∠
∴ΔABC≌ΔDEC(SAS).∴AB=DE(全等三角形的对应边相等).
【小结】从上例可以看出:因为全等三角形的对应边相等、对应角相等,所以证明线段相等或角相等时,可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.
注意:三角形全等的条件中的相等的角必须是夹角,否则这两个三角形不一定全等,即有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
1.如图所示,已知AB∥CD,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有 ()
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
解析:∵AB∥CD,∴∠A=∠D,又∵AB=CD,AE=FD,∴ΔABE≌ΔDCF(SAS),∴BE=CF,∠BEA=∠CFD,∴∠BEF=∠CFE,又∵EF=FE,∴ΔBEF≌ΔCFE(SAS),∴BF=CE,∵AE=DF,∴AE+EF=DF+EF,即AF=DE,∴ΔABF≌Δ
DCE(SSS),∴全等三角形共有三对.故选C.
2.如图所示,在ΔABC和ΔDEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,补充下列哪一个条件后,能应用“SAS”判定ΔABC≌
ΔDEF()
A.BE=CF
B.∠ACB=∠DFE
C.AC=DF
D.∠A=∠D
解析:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS).∠B的两边是AB,BC,∠DEF的两边是DE,EF,而BC=BE+CE,EF=CE+CF,要使BC=EF,则BE=CF.故选A.
3.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,欲证ΔABD≌ΔACE,需补充的条件是()
A.∠B=∠C
B.∠D=∠E
C.∠1=∠2
D.∠CAD=∠DAC
解析:已知AB=AC,AD=AE,∠B=∠C不是已知两边的夹角,∴A不可以;∠D=∠E不是已知两边的夹角,∴B不可以;由∠1=∠2得∠BAD=∠CAE,符合“SAS”,可以为补充的条件;∠CAD=∠DAC不是已知两边的夹角,D不可以.故选C.
4.看图填空.
如图所示,已知BC∥EF,AD=BE,BC=EF.
试说明ΔABC≌ΔDEF.
解:∵AD=BE,
∴=BE+DB,
即=.
∵BC∥EF,
∴∠=∠(两直线平行,同位角相等).
在ΔABC和ΔDEF中,
,
∴ΔABC≌ΔDEF(SAS).
解析:由AD=BE,利用等式性质可得AB=DE,再由BC∥EF,利用平行线性质可得∠ABC=∠DEF,再加上BC=EF,利用“SAS”说明ΔABC≌ΔDEF.
答案:AD+DB AB DE ABC DEF AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF
第2课时
一、“边角边”定理的探究
二、例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第39页练习第1,2题.
【选做题】
教材第43页习题12.2第2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,根据“SAS”,如果AB=AC,,即可判定ΔABD≌ΔACE.
2.如图所示,已知∠1=∠2,要使ΔABC≌ΔADE,还需条件()
A.AB=AD,BC=DE
B.BC=DE,AC=AE
C.∠B=∠D,∠C=∠E
D.AC=AE,AB=AD
3.如图所示,BD,AC交于点O,若OA=OD,用“SAS”说明ΔAOB≌ΔDOC,还需()
A.AB=DC
B.OB=OC
C.∠BAD=∠ADC
D.∠AOB=∠DOC
4.完成下面的证明过程.
如图所示,已知:AD∥BC,AD=CB,AE=CF.
求证:∠D=∠B.
证明:∵AD∥BC,
∴∠A=∠(两直线平行,相等).
∵AE=CF,
∴AF=.
在ΔAFD和ΔCEB中,∠∠
∴ΔAFD≌ΔCEB(SAS),
∴=.
【能力提升】
5.如图所示,在ΔABC和ΔABD中,AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA,求证AC=BD.
【拓展探究】
6.(1)如图所示,方格纸中的ΔABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,称为格点三角形.请在方格纸上按下列要求画图.
在图(1)中画出与ΔABC全等且有一个公共顶点的格点三角形A'B'C';
在图(2)中画出与ΔABC全等且有一条公共边的格点三角形A″B″C″.
(2)先阅读,然后回答问题.
如图所示,D是ΔABC中BC边上一点,E是AD上一点,AB=AC,EB=EC,∠BAE=∠CAE,试说明ΔAEB≌ΔAEC.解:在ΔABE和ΔACE中,
因为AB=AC,∠BAE=∠CAE,EB=EC, (1)
所以根据“SAS”可知ΔABE≌ΔACE (2)
请问上面解题过程正确吗?若正确,请写出每一步推理的依据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的过程.
【答案与解析】
1.AD=AE(解析:AB=AC,∠A为两三角形公共角,又AD=AE,∴ΔABD≌ΔACE(SAS).答案不唯一.)
2.D(解析:∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,∴∠BAC=∠DAE,A,B不是夹∠BAC和∠DAE的两对对应边,故错误;C.三个角对应相等,不能判定两三角形全等,故本选项错误;D是夹∠BAC和∠DAE的两对对应边,故本选项正确.故选D.)
3.B(解析:还需OB=OC.∵OA=OD,∠AOB=∠DOC,OB=OC,∴ΔAOB≌ΔDOC(SAS).故选B.)
4.C 内错角CE ∠D ∠B
5.证明:在ΔADB和ΔBCA中,∵∠∠
∴ΔADB≌ΔBCA(SAS),∴AC=BD.
6.解:(1)答案不唯一,如下图所示. (2)上面解题过程错误,错在第1步.在ΔAEB和ΔAEC中,∵AB=AC,∠BAE=∠CAE,EA=EA,∴ΔAEB≌ΔAEC(SAS).
这节课是三角形全等判定的第二节课,目的是让学生掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法,经
历探索“已知两边一角时”三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,培养学生合作精神,通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯.比较成功的地方有以下几处: (1)目标明确,
重点突出;(2)方法得当,充分调动了学生学习的积极性;(3)关注每一位学生,知识落实好.
1.学生作图的过程不够规范,有的学生作图不够认真,导致在观察比较的时候发生偏差.
2.学生在探讨两边一对角的两个三角形不一定全等的时候,理解得不够好,教师指导点拨不到位.
在探究“边边角”时,明确要求学生要用圆规和直尺来画,用圆规来确定第三个顶点时,很容易就能使学生
发现有两种不同的情况,从而可以判定满足“边边角”的两个三角形不一定全等.在此可以适当少用些时间,这
样可以给学生多留出一些练习的时间,让学生加深对定理的印象.
练习(教材第39页)
1.解:相等.因为在ΔDAB和ΔCAB中,
公共边
∠∠
所以ΔDAB≌ΔCAB(SAS),所以DB=CB,所以
C,D到B的距离相等.
2.证明:因为BE=CF,所以BE+EF=EF+CF,即BF=CE.在ΔABF和ΔDCE中,∠∠所以ΔABF≌ΔDCE(SAS),所以∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
(2014·吉林中考)如图所示,ΔABC和ΔDAE中,∠BAC=∠DAE,AB=AE,AC=AD,连接BD,CE,求证
ΔABD≌ΔAEC.
〔解析〕根据∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE,再根据全等三角形的条件可得出结论.
证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
即∠BAD=∠CAE.
在ΔABD和ΔAEC中,∠∠
∴ΔABD≌ΔAEC(SAS).
(2014·漳州中考)如图所示,点C,F在线段BE上,BF=EC,∠1=∠2,请你添加一个条件,使ΔABC≌Δ
DEF,并加以证明.(不再添加辅助线和字母)
〔解析〕先得出BC=EF,添加条件答案不唯一.AC=DF,根据“SAS”推出两三角形全等即可.答案不唯一.
解:添加AC=DF.证明如下:
∵BF=EC,∴BF-CF=EC-CF,
∴BC=EF.
在ΔABC和ΔDEF中,∠∠
∴ΔABC≌ΔDEF.。