第6章套利定价理论APT
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投资者为获利必尽可能购入h，使其价格上升，预期收益率下降，
最终到达APT定价线
在均衡时，所有证券都落在套利定价线上
对APT的理解
两个充分分散化的投资组合Ａ和Ｂ，若 A B ，就必定有 E(rA) E(rB )，否则要出现套利机 会
例如，若 A B 1 ，E(rA ) 10%, E(rB ) 8%
四、无套利法则、无套利均衡
一价法则和等值等价法则统称为无套利法则
“一价法则” “等值等价法则”
两种具相同风险的资产不能以不同的期望收益率出售，否则 会出现套利机会
无套利均衡
在一个均衡的资本市场中，所有资产将遵循“无套利法则” 当“无套利法则”被违反时，出现了套利机会，套利机会的
对于所有风险资产则有
1
r1
rf b1
r2 rf b2
,...., rn rf bn
由此可见，APT方程的斜率1实际上是因子1的风险价格。
结论：当所有证券关于特定因素的风险价格 都相等时，则证券之间不存在套利机会
ri
rh
h
1
rl
l
0
bh bl
APT定价线 bi
套利行为将对证券价格产生影响，其预期收益率也将作出调整
五、APT的意义
m
ri 0 bij j j 1
若bij＝0，则资产为无风险资产，则
m
0 rf ri rf bij j j 1
若 bij≠0，则期望回报 ri 随着 bij的增加而增大
在单因子条件下，有ri rf 1bi , i 1,..., n
（二）套利定价模型推导
假设构造一个套利组合：以无风险利率借入1元钱，投资 在两种资产上，构造一个自融资组合。假设无风险利率 为 ，两个资产是i和j，在因素模型的假定下，套利组合 的收益为（忽略残差）：
rp w(ri bi f ) (1 w)(rj bj f ) 1 0 [w(ri rj ) rj 0 ] [w(bi bj ) bj ] f
时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资产 工具套利是利用同一标的资产的现货及各种衍生证券的价
格差异，通过低买高卖来赚取无风险利润的行为
套利是从纠正价格或收益率的异常状况中获利，在一 个高度竞争的、流动性强的市场中，套利行为将导致 差价的消失，最终使市场趋于均衡
套利行为是市场效率的决定因素之一
套利组合的收益为：
E(rp ) 0.116% 0.1 22% 0.2 10% 1.8%
投资学第7章
七、APT的分析思路
首先，识别哪些因素对市场起广泛影响 然后估计出每个证券对每个因素的敏感度 接下来证实是否存在套利机会并求解出一种可能
的套利机会 最后，构建套利组合，以获得高于正常的收益
APT被认为是广义的CAPM模型，是CAPM模型的修正和补 充。CAPM可看作是APT在某些更严格假设下的特例
APT与CAPM的不同
APT模型更具体地表现为寻找套利机会 APT比CAPM容易检验、适用性更强
APT的假定大大少于CAPM APT中不需构建M
2006年@贺莉萍
第六章 套利定价 理论（APT）
第一节 套利的概念及无 套利法则
投资学第7章
一、APT的基本假设
市场是完全竞争的、无摩擦的——套利的可实施性 投资者是追求效用最大化的，当具有套利机会时，会构造套
利组合来增加自己的财富——套利的主观性 投资者都一致认为任一证券的收益率都是影响该证券收益率
情形2的回报 100 120 112
三只证券A、B、C能以表中的价格在当前购买，且从现在起1 年内每只证券只能产生情形1和情形2这两种回报之一。
构造一个包含A和B的投资组合，它将与证券C在 情形1或情形2具有相同的收益。以WA和WB分别 表示其投资比例。则两种情形下的回报如下： 情形1： 50WA+30WB =38 情形2： 100WA+120WB =112 联立两等式可解出： WA=0.4 WB=0.6
六、套利组合是如何构造的
例1：假设某投资者 持有A、B、C三种证 券，每个投资者都认 为这三种证券的预期 收益和贝塔值如下表， 这样的预期回报率与 因素敏感性是否代表 一个均衡状态？
证券 预期收益 贝塔值
A
16%
0.8
B
22%
2.4
C
10%
1.6
投资学第7章
套利组合是如何构造的
根据套利组合的性质，可以表示成：
零投资：不需要追加任何额外投资 无风险 正收益：套利组合的期望收益大于零 ，否则构建组合无
意义
可见，有效的套利组合是有吸引力的,不需要额外 资金、无额外风险、收益为正
用数学表示就是：
n
wi 0
i 1
w1r1 w2r2 w3r3 ... wnrn 0
无套利定价分析
的k个因素的线性函数-——即任何证券i的回报率满足k因素 模型
市场上的证券的种类远远大于因子的数目k
随机误差项为非系统风险
E[ei ] 0, cov(ei , Fj ) 0, cov(ei , ej ) 0, (i j)
二、APT的提出
1976年罗斯（Ross）给出了一个以无套利定价为基础 的多因素资产定价模型（APT）(新的资本资产均衡理 论)
（m<n），即
m
ri ri bij f j j 1
其中，i = 1, 2,…, n ；j = 1, 2,…, m，则:
m
ri 0 bij j j 1
0
,
1Leabharlann ,...,
为常数
j
证明：假设在资产 i 上投资 wi，构造零投资且无
风险组合，即 wi 满足：
n
零投资
基本思想：如投资者能找到套利组合机会，则所 有投资者都会投资于它，则该组合的价格将发生 调整，组合的预期收益将为0，市场将处于均衡状 态，这时得到一种与CAPM类似的风险—收益模 型
投资学第7章
例：存在三只证券时如何创造套利机会？
证券 A B C
价格 70 60 80
情形1的回报 50 30 38
八、APT与CAPM的比较
两者的研究对象相同——风险资产的定价，应用的核心都是 寻找价格被误定的证券
APT与CAPM的一致性
存在一种经济环境，此时APT的假设成立，证券的回报率由因素模 型生成，同时，有关CAPM的假设也成立，且收益率通过单一因素 （市场收益率）形成时， APT与CAPM是一致的
罗斯是基于以下两点来推导APT模型的
（1）在一个有效市场中，当市场处于均衡状态时，不存在 无风险套利机会 （2）对一个高度多元化的资产组合来说，只有几个共同因 素需要补偿。证券i的收益率与这些共同因素的关系为：
ri 0 bi11 bi22 ... bik k
套利定价模型可表述为：一种证券的预 期收益率与它的影响因素线性相关，截 距等于无风险收益率
这m+1个向量的线性组合，即存在一组不全为零
的m+1个系数 0 , 1,..., m
使得：
r 01 1b1 2b2 ,..., mbm
示意图：向量空间
C
a
d
0
b
在向量空间中，如果向量a、b正交于c，如果d也正交 与c，则d必须落在由a和b张成的二维空间上，d可以 由a、b线性表示！
大量和持续性出现，意味着市场处于非均衡状态——投资者 套利——最终消除套利机会，市场恢复均衡 无套利均衡分析方法是现代金融学研究的基本方法，是定价 理论中最基本的原则之一
五、APT的基本原理
APT的基本原理：根据无套利均衡原则，在因 素模型下，具有相同因素敏感性的资产（组合） 应提供相同的期望收益率。否则，套利机会便 产 生 ， 投资者必将利用这一机会，而他们的行 动将最终使套利机会消失，均衡价格得以形成 。 —— APT逻辑核心。
2006年@贺莉萍
第二节 单因素和 多因素APT模型
罗斯在提出APT时，首 先考察的是单因素模型。
投资学第7章
一、单因素模型
APT假设证券回报可用预期到的回报和未预期到的 回报两部分来解释，构成了一个特殊的因素模型。
ri ri bi f ei
预期的回报
共同因素对其 期望值的偏离
二、多因素模型
n
wiri wTr 0
i 1
这等价于，只要
w 1, w b j , j 1,..., m
对于任意的W，如果有：w r
根据线性代数知识，w 1, w b j , j 1,..., m
而后又产生了 应满足的一个正交条件 w r ，
由于 已经满足式（6.1）和（6.2），因此 r 为
这种机会将被市场迅速消除？A、B、C的市场价格会发生什 么变化？
证券 A B C 总计
投资 40 60 -100 0
情形1 28.5715 30 -47.5 11.0715
情形2 57.1429 120 -140 37.1429
四、套利定价模型（APT Model）
（一）APT结构形式为一个均衡状态下的因素模型
例：设某证券收益受通胀率、利息率和GDP 增长率等系统风险因素的影响：……
ri ri bi1 f1 bi2 f2 ei
三、 构建套利组合
据APT，投资者会尽力发现构造套利 组合的可能，以便在不增加风险的情 况下提高回报率。
什么是套利组合
套利组合是同时满足下列三个条件的证券组合：
xA xB xC 0 0.8x A 2.4xB 1.6xC 0 0.16x A 0.22xB 0.1xC 0
此种套利方法能获取套利 利润，说明三种证券的定
价未达到均衡水平
方程组有无穷多解，假设 xA 0.1，可解得 xB 0.1
xC 0.2
该模型由一个多因素模型导出 APT认为风险可由几个因子产生，而不象CAPM那样基于一
个风险因子，完全依赖于市场组合 APT用无套利法则定义均衡，其理论基础为一价定律 APT对CAPM中的诸多假设条件作了放松，从而较CAPM具
有更强的现实解释能力
三、什么是套利？
APT是建立在一个很重要的概念--套利(Arbitrage) 之上的
当w(bi bj ) bj 0，即
w
bi
bj bj
时,rp无风险
若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0
rp
bi
bj bj
(ri
rj )
rj
0 =0,
ri
0
bi
r j 0
bj
1
ri 0 1bi
严格证明
命题6.1：假设n种资产其收益率受m个因素决定
套利，即无风险套利。指利用一个或多个市场上存 在的各种价格差，在不冒任何风险或冒较小风险的 情况下赚取大于零的收益的行为
“无风险套利”行为的特点
1、不承担风险。风险因素相抵消或近似无风险。 2、少数投资者发现套利机会，做出巨大的头寸 3、瞬时性。机会与行为的瞬间即逝
套利的基本形式
空间套利：是指在一个市场上低价买进某种商品，而在另 一市场上高价卖出同种商品，从而赚取两个市场间差价的 交易行为。
卖空价值100万元的组合Ｂ，同时将这卖空所得的 100万元投资于Ａ，就能套取2万元的无风险利润
投资学第7章
对于有不同 值的充分分散化的组合，其预期收
益率中风险补偿必须正比于 值，不然也将发生无
风险套利 r
10
7 6
rf 4%
A
风
险
D
补
偿
C
0.5
1.0
与宏观因子有关的 值
投资组合（A+B）的单位成本
0.4×70+0.6×60 = 64
证券C单位成本为80
投资者花64元就获得了与证券C相同的回报
设计套利机会：按0.4和0.6的比例买入A和 B并卖空C
套利结果如下图，其中，卖空的C是价值100万元 情形1和情形2，都在没有风险的情况下获利了
wi wT 1 0
i 1
（6.1）
无风险
n
wibi1 wT b1 0
i1
n i 1
wi bi 2
wT b2
0
n
i1
wibim
wT bm
0
（6.2）
即，1、bj（j=1,2,…,m) 线性无关
如市场有效，则会有套利均衡，则零投资、无风险 的组合必然无收益则：
最终到达APT定价线
在均衡时，所有证券都落在套利定价线上
对APT的理解
两个充分分散化的投资组合Ａ和Ｂ，若 A B ，就必定有 E(rA) E(rB )，否则要出现套利机 会
例如，若 A B 1 ，E(rA ) 10%, E(rB ) 8%
四、无套利法则、无套利均衡
一价法则和等值等价法则统称为无套利法则
“一价法则” “等值等价法则”
两种具相同风险的资产不能以不同的期望收益率出售，否则 会出现套利机会
无套利均衡
在一个均衡的资本市场中，所有资产将遵循“无套利法则” 当“无套利法则”被违反时，出现了套利机会，套利机会的
对于所有风险资产则有
1
r1
rf b1
r2 rf b2
,...., rn rf bn
由此可见，APT方程的斜率1实际上是因子1的风险价格。
结论：当所有证券关于特定因素的风险价格 都相等时，则证券之间不存在套利机会
ri
rh
h
1
rl
l
0
bh bl
APT定价线 bi
套利行为将对证券价格产生影响，其预期收益率也将作出调整
五、APT的意义
m
ri 0 bij j j 1
若bij＝0，则资产为无风险资产，则
m
0 rf ri rf bij j j 1
若 bij≠0，则期望回报 ri 随着 bij的增加而增大
在单因子条件下，有ri rf 1bi , i 1,..., n
（二）套利定价模型推导
假设构造一个套利组合：以无风险利率借入1元钱，投资 在两种资产上，构造一个自融资组合。假设无风险利率 为 ，两个资产是i和j，在因素模型的假定下，套利组合 的收益为（忽略残差）：
rp w(ri bi f ) (1 w)(rj bj f ) 1 0 [w(ri rj ) rj 0 ] [w(bi bj ) bj ] f
时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资产 工具套利是利用同一标的资产的现货及各种衍生证券的价
格差异，通过低买高卖来赚取无风险利润的行为
套利是从纠正价格或收益率的异常状况中获利，在一 个高度竞争的、流动性强的市场中，套利行为将导致 差价的消失，最终使市场趋于均衡
套利行为是市场效率的决定因素之一
套利组合的收益为：
E(rp ) 0.116% 0.1 22% 0.2 10% 1.8%
投资学第7章
七、APT的分析思路
首先，识别哪些因素对市场起广泛影响 然后估计出每个证券对每个因素的敏感度 接下来证实是否存在套利机会并求解出一种可能
的套利机会 最后，构建套利组合，以获得高于正常的收益
APT被认为是广义的CAPM模型，是CAPM模型的修正和补 充。CAPM可看作是APT在某些更严格假设下的特例
APT与CAPM的不同
APT模型更具体地表现为寻找套利机会 APT比CAPM容易检验、适用性更强
APT的假定大大少于CAPM APT中不需构建M
2006年@贺莉萍
第六章 套利定价 理论（APT）
第一节 套利的概念及无 套利法则
投资学第7章
一、APT的基本假设
市场是完全竞争的、无摩擦的——套利的可实施性 投资者是追求效用最大化的，当具有套利机会时，会构造套
利组合来增加自己的财富——套利的主观性 投资者都一致认为任一证券的收益率都是影响该证券收益率
情形2的回报 100 120 112
三只证券A、B、C能以表中的价格在当前购买，且从现在起1 年内每只证券只能产生情形1和情形2这两种回报之一。
构造一个包含A和B的投资组合，它将与证券C在 情形1或情形2具有相同的收益。以WA和WB分别 表示其投资比例。则两种情形下的回报如下： 情形1： 50WA+30WB =38 情形2： 100WA+120WB =112 联立两等式可解出： WA=0.4 WB=0.6
六、套利组合是如何构造的
例1：假设某投资者 持有A、B、C三种证 券，每个投资者都认 为这三种证券的预期 收益和贝塔值如下表， 这样的预期回报率与 因素敏感性是否代表 一个均衡状态？
证券 预期收益 贝塔值
A
16%
0.8
B
22%
2.4
C
10%
1.6
投资学第7章
套利组合是如何构造的
根据套利组合的性质，可以表示成：
零投资：不需要追加任何额外投资 无风险 正收益：套利组合的期望收益大于零 ，否则构建组合无
意义
可见，有效的套利组合是有吸引力的,不需要额外 资金、无额外风险、收益为正
用数学表示就是：
n
wi 0
i 1
w1r1 w2r2 w3r3 ... wnrn 0
无套利定价分析
的k个因素的线性函数-——即任何证券i的回报率满足k因素 模型
市场上的证券的种类远远大于因子的数目k
随机误差项为非系统风险
E[ei ] 0, cov(ei , Fj ) 0, cov(ei , ej ) 0, (i j)
二、APT的提出
1976年罗斯（Ross）给出了一个以无套利定价为基础 的多因素资产定价模型（APT）(新的资本资产均衡理 论)
（m<n），即
m
ri ri bij f j j 1
其中，i = 1, 2,…, n ；j = 1, 2,…, m，则:
m
ri 0 bij j j 1
0
,
1Leabharlann ,...,
为常数
j
证明：假设在资产 i 上投资 wi，构造零投资且无
风险组合，即 wi 满足：
n
零投资
基本思想：如投资者能找到套利组合机会，则所 有投资者都会投资于它，则该组合的价格将发生 调整，组合的预期收益将为0，市场将处于均衡状 态，这时得到一种与CAPM类似的风险—收益模 型
投资学第7章
例：存在三只证券时如何创造套利机会？
证券 A B C
价格 70 60 80
情形1的回报 50 30 38
八、APT与CAPM的比较
两者的研究对象相同——风险资产的定价，应用的核心都是 寻找价格被误定的证券
APT与CAPM的一致性
存在一种经济环境，此时APT的假设成立，证券的回报率由因素模 型生成，同时，有关CAPM的假设也成立，且收益率通过单一因素 （市场收益率）形成时， APT与CAPM是一致的
罗斯是基于以下两点来推导APT模型的
（1）在一个有效市场中，当市场处于均衡状态时，不存在 无风险套利机会 （2）对一个高度多元化的资产组合来说，只有几个共同因 素需要补偿。证券i的收益率与这些共同因素的关系为：
ri 0 bi11 bi22 ... bik k
套利定价模型可表述为：一种证券的预 期收益率与它的影响因素线性相关，截 距等于无风险收益率
这m+1个向量的线性组合，即存在一组不全为零
的m+1个系数 0 , 1,..., m
使得：
r 01 1b1 2b2 ,..., mbm
示意图：向量空间
C
a
d
0
b
在向量空间中，如果向量a、b正交于c，如果d也正交 与c，则d必须落在由a和b张成的二维空间上，d可以 由a、b线性表示！
大量和持续性出现，意味着市场处于非均衡状态——投资者 套利——最终消除套利机会，市场恢复均衡 无套利均衡分析方法是现代金融学研究的基本方法，是定价 理论中最基本的原则之一
五、APT的基本原理
APT的基本原理：根据无套利均衡原则，在因 素模型下，具有相同因素敏感性的资产（组合） 应提供相同的期望收益率。否则，套利机会便 产 生 ， 投资者必将利用这一机会，而他们的行 动将最终使套利机会消失，均衡价格得以形成 。 —— APT逻辑核心。
2006年@贺莉萍
第二节 单因素和 多因素APT模型
罗斯在提出APT时，首 先考察的是单因素模型。
投资学第7章
一、单因素模型
APT假设证券回报可用预期到的回报和未预期到的 回报两部分来解释，构成了一个特殊的因素模型。
ri ri bi f ei
预期的回报
共同因素对其 期望值的偏离
二、多因素模型
n
wiri wTr 0
i 1
这等价于，只要
w 1, w b j , j 1,..., m
对于任意的W，如果有：w r
根据线性代数知识，w 1, w b j , j 1,..., m
而后又产生了 应满足的一个正交条件 w r ，
由于 已经满足式（6.1）和（6.2），因此 r 为
这种机会将被市场迅速消除？A、B、C的市场价格会发生什 么变化？
证券 A B C 总计
投资 40 60 -100 0
情形1 28.5715 30 -47.5 11.0715
情形2 57.1429 120 -140 37.1429
四、套利定价模型（APT Model）
（一）APT结构形式为一个均衡状态下的因素模型
例：设某证券收益受通胀率、利息率和GDP 增长率等系统风险因素的影响：……
ri ri bi1 f1 bi2 f2 ei
三、 构建套利组合
据APT，投资者会尽力发现构造套利 组合的可能，以便在不增加风险的情 况下提高回报率。
什么是套利组合
套利组合是同时满足下列三个条件的证券组合：
xA xB xC 0 0.8x A 2.4xB 1.6xC 0 0.16x A 0.22xB 0.1xC 0
此种套利方法能获取套利 利润，说明三种证券的定
价未达到均衡水平
方程组有无穷多解，假设 xA 0.1，可解得 xB 0.1
xC 0.2
该模型由一个多因素模型导出 APT认为风险可由几个因子产生，而不象CAPM那样基于一
个风险因子，完全依赖于市场组合 APT用无套利法则定义均衡，其理论基础为一价定律 APT对CAPM中的诸多假设条件作了放松，从而较CAPM具
有更强的现实解释能力
三、什么是套利？
APT是建立在一个很重要的概念--套利(Arbitrage) 之上的
当w(bi bj ) bj 0，即
w
bi
bj bj
时,rp无风险
若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0
rp
bi
bj bj
(ri
rj )
rj
0 =0,
ri
0
bi
r j 0
bj
1
ri 0 1bi
严格证明
命题6.1：假设n种资产其收益率受m个因素决定
套利，即无风险套利。指利用一个或多个市场上存 在的各种价格差，在不冒任何风险或冒较小风险的 情况下赚取大于零的收益的行为
“无风险套利”行为的特点
1、不承担风险。风险因素相抵消或近似无风险。 2、少数投资者发现套利机会，做出巨大的头寸 3、瞬时性。机会与行为的瞬间即逝
套利的基本形式
空间套利：是指在一个市场上低价买进某种商品，而在另 一市场上高价卖出同种商品，从而赚取两个市场间差价的 交易行为。
卖空价值100万元的组合Ｂ，同时将这卖空所得的 100万元投资于Ａ，就能套取2万元的无风险利润
投资学第7章
对于有不同 值的充分分散化的组合，其预期收
益率中风险补偿必须正比于 值，不然也将发生无
风险套利 r
10
7 6
rf 4%
A
风
险
D
补
偿
C
0.5
1.0
与宏观因子有关的 值
投资组合（A+B）的单位成本
0.4×70+0.6×60 = 64
证券C单位成本为80
投资者花64元就获得了与证券C相同的回报
设计套利机会：按0.4和0.6的比例买入A和 B并卖空C
套利结果如下图，其中，卖空的C是价值100万元 情形1和情形2，都在没有风险的情况下获利了
wi wT 1 0
i 1
（6.1）
无风险
n
wibi1 wT b1 0
i1
n i 1
wi bi 2
wT b2
0
n
i1
wibim
wT bm
0
（6.2）
即，1、bj（j=1,2,…,m) 线性无关
如市场有效，则会有套利均衡，则零投资、无风险 的组合必然无收益则：