有限元分析基础ppt课件
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性质方程。 (2) 变分法
直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法
直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似 解法。
5
第一章 概述
1.2 有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化 (2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程 (5) 约束处理，求解系统方程 (6) 其它参数计算
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
第二章 结构几何构造分析
a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用 点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。 这些结点都是根据结构本身特点来确定的。
b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置 为一个单元。 变换为作用在结点上的等效结点载荷。
27
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
c. 变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点 处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆 进行计算。
杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。
(a) Liebherr塔式起重机 (b) Liebherr履带式起重机
(c) 钢结构桥梁
(d) 埃菲尔铁塔
图3-1 杆系结构
26
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.1 结构离散化
由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散 化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段( 一根杆又分 为几个单元 )作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点 称为结点。 杆系结构的离散化的要点可参考如下：
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
3.1 结构离散与向量表示 3.2 位移函数及单元的刚度矩阵 3.3 坐标变换及单元刚度矩阵 3.4 整体刚度矩阵 3.5 约束处理及求解 3.6 计算示例 3.7 ANSYS桁架结构计算示例 3.8ANSYS刚架结构计算示例
25
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1 结构离散与向量表示
工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构 支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等 可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用 线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折 线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间 增加结点。
e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构 有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其
(a) 结点载荷处理方式
(b) 等效结点载荷处理方式
图3-2杆系结构离散化示意图
28
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
13
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
单元结点位移条件
当 x0 时
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
单元之间的位移协调性。
由单元结点位移，确定待定系数项
当 x 0时， u ui
当x
所以
l
时，
u
u
j
1 ui
2
uj
ui l
用结点位移表示
其中
u(x)N iui Nju uj
Niu
1
x l
x N ju l
N iu 、N ju分别表示当 ui 1 ，u j 0 时；ui 0，u j 1
(a) 刚架结构示意图
(b) 结点位移和结点力分向量
(b)
图3-4 平面刚架分析示意图
30
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
结点位移列向量为
i ui vi iT
j u j vj
T j
单元e结点位移列向量为
e ij ui
3.1.2 坐标系
为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析， 尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结
构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。
图3-3 坐标系示意图
29
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.3 向量表示
在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相 应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和 力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一 致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标 轴方向的分量。
(a) 变形状态分析
(b) 反对称性状态分析
(c) 反对称性受力分析
(d) 反对称性利用
图2-25对称性利用示意图
22
第二章 结构几何构造分析
2.3 结构几何构造分析的自由度与约束
(1) 自由度
指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何 参数的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参 数的数目。
(2) 约束
② 对称刚架承受反对称载荷作用
(a) 称刚架
(b) 变形状态分析
(c) 反对称性利用
图2-23 反对称性利用示意图
20
第二章 结构几何构造分析
(2) 具有偶数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 对称性利用
图2-24对称性利用示意图
21
第二章 结构几何构造分析
② 反对称载荷作用
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
6
第一章 概述
图1-2 工程问题有限单元法分析流程
7
第一章 概述
1.3 工程实例
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
8
第一章 概述
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂限元分析
图1-4 液压挖掘机
9
第一章 概述
12
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的 应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发 生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构， 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可 变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分 析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
有限元分析基础
2019.8
内容结构
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
概述 结构几何构造分析 杆系结构静力分析的有限单元法 平面结构问题的有限单元法 等参元 空间问题的有限单元法 轴对称旋转单元
2
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念 1.2 有限单元法基本步骤 1.3 工程实例
为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下 列要求:
a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度 数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要 选取多少项，则应视单元的类型而定。
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
3
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而
解决工程技术问题。
Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis
4
第一章 概述
三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2 位移函数及单元的刚度矩阵
3.2.1 轴向拉压杆单元的位移的函数
有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不 同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建 的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构 的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算 精度及解的收敛性。
16
第二章 结构几何构造分析
(3) 按结构自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式
求出，并且解答是唯一的。 b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面
特征（几何尺寸，形状）无关。 c. 静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力
指减少结构自由度的装置，即限制结构结构运动 的装置。
a. 支座链杆的约束 b. 铰的约束:① 单铰； ② 复铰；③ 完全铰与不完 全铰。
23
第二章 结构几何构造分析
2.4 自由度计算公式
(1)桁架自由度计算公式
桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z， 则桁架的自由度W 为
平面桁架 W2jgz 空间桁架 W3jgz
i i
uj
j
T j
结点力向量为
F i eU i V i M ieT F jeU j V j M je T
单元e结点力列向量为
Fe F F ije e U i V i M i U j V j M jeT
31
(2) 平面混合结构的自由度计算公式 一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种 可能： a. W＞0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故 结构必定是几何可变体系。
b. W=0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的 约束数。
c. W＜0 表明结构具有多余约束。
24
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
量
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分 i ， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个
待定系数 1， 2， 3 ， 4 的多项式 v (x )12 x3 x 24 x 3
直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问 题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算 方法。 (3) 加权余量法
直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似 解法。
5
第一章 概述
1.2 有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化 (2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程 (5) 约束处理，求解系统方程 (6) 其它参数计算
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
第二章 结构几何构造分析
a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用 点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。 这些结点都是根据结构本身特点来确定的。
b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置 为一个单元。 变换为作用在结点上的等效结点载荷。
27
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
c. 变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点 处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆 进行计算。
杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。
(a) Liebherr塔式起重机 (b) Liebherr履带式起重机
(c) 钢结构桥梁
(d) 埃菲尔铁塔
图3-1 杆系结构
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.1 结构离散化
由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散 化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段( 一根杆又分 为几个单元 )作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点 称为结点。 杆系结构的离散化的要点可参考如下：
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
3.1 结构离散与向量表示 3.2 位移函数及单元的刚度矩阵 3.3 坐标变换及单元刚度矩阵 3.4 整体刚度矩阵 3.5 约束处理及求解 3.6 计算示例 3.7 ANSYS桁架结构计算示例 3.8ANSYS刚架结构计算示例
25
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1 结构离散与向量表示
工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构 支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等 可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用 线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
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第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折 线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间 增加结点。
e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构 有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其
(a) 结点载荷处理方式
(b) 等效结点载荷处理方式
图3-2杆系结构离散化示意图
28
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
13
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
单元结点位移条件
当 x0 时
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
单元之间的位移协调性。
由单元结点位移，确定待定系数项
当 x 0时， u ui
当x
所以
l
时，
u
u
j
1 ui
2
uj
ui l
用结点位移表示
其中
u(x)N iui Nju uj
Niu
1
x l
x N ju l
N iu 、N ju分别表示当 ui 1 ，u j 0 时；ui 0，u j 1
(a) 刚架结构示意图
(b) 结点位移和结点力分向量
(b)
图3-4 平面刚架分析示意图
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
结点位移列向量为
i ui vi iT
j u j vj
T j
单元e结点位移列向量为
e ij ui
3.1.2 坐标系
为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析， 尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结
构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。
图3-3 坐标系示意图
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.1.3 向量表示
在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相 应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和 力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一 致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标 轴方向的分量。
(a) 变形状态分析
(b) 反对称性状态分析
(c) 反对称性受力分析
(d) 反对称性利用
图2-25对称性利用示意图
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第二章 结构几何构造分析
2.3 结构几何构造分析的自由度与约束
(1) 自由度
指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何 参数的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参 数的数目。
(2) 约束
② 对称刚架承受反对称载荷作用
(a) 称刚架
(b) 变形状态分析
(c) 反对称性利用
图2-23 反对称性利用示意图
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第二章 结构几何构造分析
(2) 具有偶数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 对称性利用
图2-24对称性利用示意图
21
第二章 结构几何构造分析
② 反对称载荷作用
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
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第一章 概述
图1-2 工程问题有限单元法分析流程
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第一章 概述
1.3 工程实例
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
8
第一章 概述
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂限元分析
图1-4 液压挖掘机
9
第一章 概述
12
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的 应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发 生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构， 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可 变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分 析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
有限元分析基础
2019.8
内容结构
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
概述 结构几何构造分析 杆系结构静力分析的有限单元法 平面结构问题的有限单元法 等参元 空间问题的有限单元法 轴对称旋转单元
2
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念 1.2 有限单元法基本步骤 1.3 工程实例
为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下 列要求:
a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度 数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要 选取多少项，则应视单元的类型而定。
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
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第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而
解决工程技术问题。
Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis
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第一章 概述
三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2 位移函数及单元的刚度矩阵
3.2.1 轴向拉压杆单元的位移的函数
有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不 同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建 的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构 的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算 精度及解的收敛性。
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第二章 结构几何构造分析
(3) 按结构自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式
求出，并且解答是唯一的。 b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面
特征（几何尺寸，形状）无关。 c. 静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力
指减少结构自由度的装置，即限制结构结构运动 的装置。
a. 支座链杆的约束 b. 铰的约束:① 单铰； ② 复铰；③ 完全铰与不完 全铰。
23
第二章 结构几何构造分析
2.4 自由度计算公式
(1)桁架自由度计算公式
桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z， 则桁架的自由度W 为
平面桁架 W2jgz 空间桁架 W3jgz
i i
uj
j
T j
结点力向量为
F i eU i V i M ieT F jeU j V j M je T
单元e结点力列向量为
Fe F F ije e U i V i M i U j V j M jeT
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(2) 平面混合结构的自由度计算公式 一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种 可能： a. W＞0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故 结构必定是几何可变体系。
b. W=0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的 约束数。
c. W＜0 表明结构具有多余约束。
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
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第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。
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第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
量
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分 i ， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个
待定系数 1， 2， 3 ， 4 的多项式 v (x )12 x3 x 24 x 3