专题01 最短路径问题1 (原卷版)-初中数学几何专题之冲刺2022年满分突破大全

【模型1】
蚂蚁沿立方体的表面爬行，从A点到B点的最短路径？【路径演示】
（1）AB=
bc
2
)
(
a2
2
2
2
2+
+
+
=
+
+c
b
a
c
b；
（2）AB=
b
2
)
(
c2
2
2
2
2a
c
b
a
a
b+
+
+
=
+
+；
（3）AB=
c
2
)
(
b2
2
2
2
2a
c
b
a
a
c+
+
+
=
+
+。

模型讲解
1
由此可见，ab 、bc 、ac 谁小，则路径就最小。

【结论】 最短路径=22)(次长边最短边最长边++
【模型2】 蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A 点到C 点的最短路径？
【路径演示】
由图可知蚂蚁爬行的最短路径AC=22h )(+r π
方法点拨
一、解决方法：
①确定水平方向移动路程②确定竖直方向移动路程
③利用勾股定理求解
二、方法解析：
如图：点从点A出发到C点，可以看成
先从A到D（水平移动），再由D到C
（竖直移动）两个步骤完成
例题演练
1．如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A 到点C'所经过的最短路线长为（）
A ．
B ．
C ．D．以上都不对
【解答】解：如图所示，
路径一：AC ′＝＝；路径二：AC ′＝＝；
路径三：AC ′＝＝；
∵61＜73＜85，
∴为最短路径．
故选：C．
2．如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为9cm，点M离盒底的距离为3cm，底面半径为cm，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点M爬行到点N，则该蚂蚁爬行的最短路程为（）cm．
A．6B．10C．D．
【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点M，N的最短距离为线段
MN的长，
∵AM＝9﹣3＝6（cm），AN为底面半圆弧长，AN＝•π＝8（cm），
在Rt△AMN中，
MN＝＝＝10（cm）．
故选：B．
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则
这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）
A．18B．15C．12D．8
【解答】解：将台阶展开，如图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2+BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：B．
强化训练
1．如图，长方体的高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（）
A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm
2．如图，有一长方体容器，AB＝3，BC＝2，AA'＝4，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点C 爬到点A'的最短爬行距离是（）
A ．
B ．C．7D ．
3．如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是cm．
4．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的棱的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（）
A．cm B．cm C．cm D．cm
5．如图，长方体的长EF为3cm，宽AE为2cm，高CE为4cm，B是GF的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D爬到点B，那么它需要爬行的
最短距离是（）
A．5cm B．cm C．（2+3）cm D．（2+）cm
6．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（）
A．B．C．10 D．
7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体
盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）
A．20cm B．2cm C．（12+2）cm D．18cm
8．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S，则移动的最短距离为（）
A．10B．12C．14D．20
9．如图，有一圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，则梯子最短需m（油罐底面圆的周长为15m，高AB＝8m）．
10．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）
A．10B．50C．120D．130
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55dm、10dm和6dm，A和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则这只蚂蚁从A点出发沿着台阶爬到B点的最短距离是dm．
12．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
13．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm
与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯
壁厚度不计）．。