高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.2集合的表示课件新人教A版必修1

[解析] 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，解得x＝2， 此时集合A＝{2}；
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根， 需要Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4， 所以集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1，即实数k构成的集合为 {0,1}．
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3．{(x，y)|x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为_________. 答案：{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}
4．已知集合A＝x∈N6－8 x∈N
，试用列举法表示集合A.
解：由题意可知6－x是8的正约数，
当6－x＝1时，x＝5；当6－x＝2时，x＝4；当6－x＝4时，x
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解：(1)满足条件的数有3,5,7， 所以所求集合为{3,5,7}． (2)∵a≠0，b≠0， ∴a与b可能同号也可能异号，故 ①当a>0，b>0时，|aa|＋|bb|＝2； ②当a＜0，b＜0时，|aa|＋|bb|＝－2； ③当a>0，b<0或a<0，b>0时，|aa|＋|bb|＝0. 故所有值组成的集合为{－2,0,2}．
[巧归纳] 描述法表示集合的步骤 (1)确定集合中元素的特征． (2)给出其满足的性质． (3)根据描述法的形式，写出其满足的集合．
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[练习2]用适当的方法表示下列集合： (1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}； (2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合； (3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
中所有元素之积为________．
(2)已知集合A＝{x|kx2－8x＋16
(1)[思路点拨]
由此条件可以看出
1 2
是已知方程的根，即满
足关系式122－a·12－52＝0.
[答案] －5
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[解析]
因为12∈xx2－ax－52＝0
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[巧归纳] 较复杂集合表示法应用问题的求解策略 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及 其属性是解题的关键． (2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特 征是解题的关键．
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[练习3]如果集合A＝{x|ax2＋4x＋6＝0}中只有一个元素，则 实数a的值构成的集合是________．
，
所以122－a·12－52＝0，
解得a＝－92.
代入x2－a－129＝0中得x2＋92－129＝0，
由根与系数的关系，得x1x2＝－5.
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(2)[思路点拨] 集合A中的元素是x，即方程的解，集合A中 只有一个元素的含义是对应的方程仅有一个实数解或有两个相 等的实数解．
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[解析] (1)大于1且小于6的整数包括2,3,4,5， ∴A＝{2,3,4,5}． (2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3， ∴B＝{－3,3}． (3)小于8的质数有2,3,5,7， ∴C＝{2,3,5,7}． (4)由yy＝＝x－＋23x，＋6， 得xy＝＝14，， ∴一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)， ∴D＝{(1,4)}．
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[巧归纳] (1)用列举法表示集合，要分清是数集还是点 集．
(2)当集合中元素个数较少或有(无)限但有规律时，用列举 法表示集合比较方便．
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[练习1]用列举法表示下列集合： (1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集 合； (2)式子|aa|＋|bb|(a≠0，b≠0)的所有值组成的集合．
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(4)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝ 2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括 号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(5)可省略的部分：在通常情况下，集合中竖线左侧元素的 所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的 实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1 ＝0}．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直 角三角形}，{自然数}等．
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二、描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为_______． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合 中元素所具有的共同特征． 答案：共同特征 描述法
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[想一想] 1. {0,1}与{(0,1)}是相同的集合吗？ 答案：不是. {0,1}是含有两个元素的数集，而{(0,1)}是含有 一个元素的点集． 2．由数1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}吗？ 答案：不可以.列举法表示集合要符合集合元素的互异性， 由数1,1,2,3组成的集合应为{1,2,3}．
＝2；当 6－x＝8时，x＝－2；
而x∈N，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}．
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教材习题答案 1．1 集 合 1．1.1 集合的含义与表示 [教材习题答案与解析] [练习] 1．(1)∈，∉，∈，∉；(2)A＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴ －1∉A； (3)B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∴ 3∉B； (4)C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， ∴ 8∈C，9.1∉C.
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(4)“{ }”本身带有“所有的”或“全体”的意思，因此 在花括号内表示内容时，应该把“所有的”“全部”“全体” 这些词删掉．
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[典例1] 用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B； (3)小于8的质数组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合 D. [思路点拨] 题目中要求用列举法表示集合，需先辨析集合 中元素的特征及满足的性质，再一一列举出满足条件的元素．
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例2 在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范 围．
[解析] A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素． 由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素； 当A中有两个元素时，Δ＝4－4a＞0，即a＜1. ∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为a≤1.
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求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：
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例1 在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范 围．
[解析] A中至多含有一个元素，即A中有一个元素或没有 元素．
当A中只有一个元素时，由本例可知，a＝0或1. 当A中没有元素时，Δ＝4－4a＜0，即a＞1. 故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为a＝0或a≥1.
答案：{0,1} 解析：当a＝0时，易知A只有一个元素，A＝ －32.
若a≠0时，由Δ＝16－24a＝0，即a＝23时，二次方程有两个 等根，A只有一个元素，A＝{－3}，故满足条件的a的取值为0 或23，故实数a的值构成的集合是0，23.
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[当堂达标] 1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式错误的是( ) A．0∈A B．1.5∉A C．－1∉A D．6∈A 答案：D 解析：A＝{0,1,2,3,4,5}，故选D.
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2．用描述法表示集合应注意以下几点 (1)先定性，即弄清集合是数集、点集还是其他类型．一般 地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对来表 示，如{x∈R|x<1}，{(x，y)|y＝x＋1}等． (2)竖线后要说明该集合中元素具有的共同特征，如方程、 不等式、函数或几何图形等． (3)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说 明其含义并指出其取值范围．
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类型2 用描述法表示集合 [要点点击] 1.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将 它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来， 即采用描述法，常用模式是{x|p(x)}，其中x是集合的代表元素， p(x)是集合中元素所具有的公共特征．
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[典例2] 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． [思路点拨] 用描述法表示集合，关键在于找到集合的特征 性质．
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[解析] (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为 正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈ N*}．
[解析] 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0， 此时x＝－12，符合题意； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程， Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意． 故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个 元素．
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[多维探究] 解答上面的例题时，a＝0这种情况极易被忽 视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它 是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在 这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
第一章 集合与函数概念
第一页，共43页。
1．1 集 合
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1．1.1 集合的含义与表示
第三页，共43页。
第2课时 集合的表示
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[填一填] 一、列举法 把集合中的元素________出来，并用花括号“{ }”括起 来表示集合的方法叫做________． 答案：一一列举 列举法
解：(1)列举法：P＝{0,2,4}；
(2)描述法： x，yyy＝＝x02－2x， (2,0)}；
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
或列举法：{(0,0)，
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类型3 集合表示法的综合应用
[典例3] (1)设
1 2
∈
xx2－ax－52＝0
，则集合
xx2－a－129＝0
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3．{x|x>－1}与{t|t>－1}是不是同一集合？ 答案：是．虽然表示代表元素的字母不同，但是这两个集 合都表示的是大于－1的所有实数组成的集合，因而它们表示同 一集合.
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类型1 用列举法表示集合 [要点点击] 当集合为有限集(当集合中的元素的个数有限 时，称为有限集；当集合中元素的个数无限时，称为无限集)， 且元素个数较少时宜采用列举法，它具有直观明了的特点，但 是要注意以下几点： (1)元素之间用“，”隔开； (2)集合中的元素可以是任何对象，如数、点、式子或其他 类型等； (3)元素之间没有顺序，不能重复，也不能遗漏；
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2．解：(1){－3,3}；(2){2,3,5,7}；(3){(1,4)}；(4){x|4x－5<3} ＝{x|x<2}．
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[创新思维] 集合与方程的综合应用 [示例] 集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元 素，求a的取值范围．
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(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整 数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为 {x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为 0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
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例3 在本例条件下，若1∈A，则a为何值？ [解析] ∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
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2．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y ∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 答案：D 解析：当x＝5时，y＝1,2,3,4；当x＝4时，y＝ 1,2,3； 当x＝3时，y＝1,2；当x＝2时，y＝1. 综上，B中含有10个元素．故选D.