自主招生数学讲义

(1) 求 A 、 B 的各个元素.
(2) 以集合 A ∪ B 的元素作为二次方程 x2 + px + q = 0 的两个根，试在 f (x) = x2 + px + q 的最小值
中求出它的最大值和最小值.
{ } { } 【例 19】如果集合 A =
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6
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2014 年自主招生数学讲义
【例 33】下列有关命题的说法正确的是( )．
A．命题“若 x2 = 1 ，则 x = 1”的否命题为：“若 x2 = 1 ，则 x ≠ 1 ” B．“ x = −1 ”是“ x2 − 5x − 6 = 0 ”的必要不充分条件 C．命题“ ∃x ∈ R ，使得 x2 + x +1 < 0 ”的否定是：“ ∀x ∈ R ，均有 x2 + x +1 < 0 ” D．命题“若 x = y ，则 sin x = sin y ”的逆否命题为真命题
{ } 【例 03】(2012 年西城区第一次模拟考试试题)已知集合 A = x | x = a0 + a1 × 3 + a2 × 32 + a3 × 33 ，其
中 ak ∈{0 ，1， 2}(k = 0 ，1， 2 ， 3) 且 a3 ≠ 0 ，则 A 中所有元素之和等于
.
【例 04】(2011 年北大附中高三适应性训练试题)从 A = {a1 ，a2 ，a3 ，a4} 到 B = {b1 ，b2 ，b3 ，b4} 的
B． (a ∗ (b ∗ a)) ∗ (a ∗ b) = a
C． b ∗ (b ∗ b) = b
D． (a ∗ b) ∗ (b ∗ (a ∗ b)) = b
【例 22】定义一种运算 ⊗ ：当 m, n 都是正奇数或都是正偶数时， m ⊗ n = m + n ；当 m, n 中一个是正
奇数另一个是正偶数时， m ⊗ n = mn ．则集合 M = {(a,b) a ⊗ b = 36, a ∈ N*,b ∈ N*} 中元素的个数是
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三.集合中的创新问题
【例 21】设 S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义了一个二元运算“*”，对于任意的 a, b ∈ S ，都
有 a ∗ (b ∗ a) = b ．则对于任意的 a, b ∈ S ，下列等式中不恒成立的是( )．
A． (a ∗ b) ∗ a = a
，和 A 相等的集合
有( )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．2 个
【例 09】某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参
加数学、物理、化学小组的人数分别为 26，15，13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理
和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有
人．
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{ } 【例 10】设集合 P = {x − y, x + y, xy} ，Q = x2 + y2, x2 − y2,0 ，若 P = Q ，求 x, y 的值及集合 P 、Q ．
{ } { } 【例 11】已知集合 M = x, xy, x − y 、 N = 0, x , y 且 M = N ，求 x, y 的值.
【例 16】(2010 年华约自主招生试题)已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数并且当 x < 0 时 f (x) 单调递增，
f
(−1)
=
0 ．若已知函数ϕ(x)
=
sin 2
x
+ m cos
x − 2m ，集合 M
=
⎧⎨m
∀x ∈[0, π
], ϕ(x)
<
⎫ 0⎬
，
⎩
2
⎭
N
= ⎧⎨m
∀x ∈[0, π ],
域都是 A ，且对于任意 i ∈ A ， f (i) ≠ i .设 a1 、 a2 、 a3 、 a4 是1、 2 、 3 、 4 的任意一个排列，定义数
表
⎛ ⎜
⎝
a1 f (a1)
a2 f (a2 )
a3 f (a3 )
f
a4 (a4
)
⎞ ⎟ ⎠
.若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数
} 为“￡”点.根据上述条件，则“￡”点在平面区域 C = {(x ， y) | x2 + y2 ≤ 108 之内的个数是________个.
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【例 28】(2010 年东城区第二次模拟考试试题)已知集合 A = {1，2 ，3 ，4} ，函数 f (x) 的定义域、值
第一讲——集合与逻辑 集合的概念
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【例 01】已知集合 M={直线}，N={抛物线}，则 M∩N 中元素的个数为( ).
A.0
B.0、1、2 其中之一
C.正无穷
D.无法确定
【例 02】已知 A={y|y=x2-4x+3，x∈R}，B={y|y=-x2-2x+2，x∈R}，求 A∩B.
( )．
A．21
B．26
C．31
D．41
【例 23】(2010 年复旦大学自主招生试题)设集合 X 是实数集 R 的子集，如果点 x0 ∈ R 满足：对任意
a > 0 ，都存在 x ∈ X ，使得 0 < x − x0 < a ，那么称 x0 为集合 X 的聚点．用 Z 表示整数集，则在下列
集合中：①
⎧ ⎨ ⎩
n
n +
1
n∈Z,n
≥
0} ，②
R
\
{0}
，③
⎧ ⎨ ⎩
1 n
n∈Z,n
≠
0} ，④整数集 Z
，以
0
为聚点的有(
).
A．②③
B．①④
C．①③
D．①②④
【例 24】对于平面上的点集 Ω ，如果连接 Ω 中任意两点的线段必定包含于 Ω ，则称 Ω 为平面上的凸集，
给出平面上 4 个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：
8 ，16} .
(1) 写出 fA (1) 和 fB (1) 的值，并用列举法写出集合 AΔB .
(2) 用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数，求 Card( X ΔA) + Card( X ΔB) 的最小值.
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(3)有多少个集合对(P，Q)满足 P 、 Q ⊆ A ∪ B 且 (PΔA)Δ(QΔB) = AΔB ？
.
【例 06】(2011 年西城区高三第一学期期末考试试题)有限集合 P 中元素的个数记作 card(P) .若
card(M ) = 10 ， A ⊆ M ， B ⊆ M ， A ∩ B = ∅ ，并且 card( A) = 2 、 card(B) = 3 .如果集合 X 满足
A ⊆ X ⊆ M ，则集合 X 的个数是
(1) 求证 M ⊆ N ．
(2)若 f (x) 是一个在 R 上单调递增函数，是否有 M = N ？若有，请证明．
四.命题、量词与逻辑联结词
【例 31】(2010 年福建省高考试题)非空集合 S = {x | m ≤ x ≤ l} 满足：当 x ∈ S 时，有 x2 ∈ S ．给出如
下三个命题：①若 m = 1，则 S = {1} ；②若 m = − 1 ，则 1 ≤ l ≤ 1 ；③若 l = 1 ，则 − 2 ≤ m ≤ 0 ．其中
其中为凸集的是
(写出所有凸集相应图形的序号)．
【例 25】(2007 年清华大学自主招生试题)对于集合 M ⊆ R2 ，称 M 为开集，当且仅当 ∀P0 ∈ M ，∃r > 0 ， 使得{P ∈ R2 PP0 < r} ⊆ M ．判断集合{(x, y) 4x + 2 y − 5 > 0} 与{(x, y) x ≥ 0, y > 0} 是否为开集并证
；若集合Y 满足Y ⊆ M 且 A ⊄ Y 、 B ⊄ Y ，则集合Y 的个
数是
.(用数字作答)
【例
07】(2008
年浙江大学自主招生试题)
A
=
⎧⎨( x,
y)
(x
− 1) 2
+
(y
−
2)2
≤
5
⎫ ⎬
，
B
=
{(x
，
⎩
4⎭
y) x −1 + 2 y − 2 ≤ a} ， A ⊆ B ，求 a 的取值范围．
一一映射中，限定 a1 的象不能是 b1 且 b4 的原象不能是 a4 的映射有
个.
【例 05】(2010 年西城区第二次模拟考试试题)设集合 S = {1 ，2 ， ，9} ，集合 A = {a1 ，a2 ，a3} 是
S 的子集且 a1 、 a2 、 a3 满足 a1 < a2 < a3 、 a3 − a2 ≤ 6 ，满足条件的子集 A 的个数为
{ } 【例 08】(2009 年复旦大学自主招生试题)设 Q 是有理数集合，集合 A = x x = a + b 2, a,b ∈ Q, x ≠ 0 ，
{ } 在下列集合中：(1){2 x
x
∈
A}
；(2)
⎧⎪ ⎨
⎪⎩
2 2
x
x∈
A⎫⎪⎬ ⎪⎭
；(3)
⎧1 ⎨⎩ x
x ∈ A⎫⎬ ；(4) ⎭
x2
x∈ A
明你的结论．
【例 26】(2010 年湖南省高考试题)若规定 E = {a1, a2 ,..., a10} 的子集{ai1 , ai2 ,..., ain }为 E 的第 k 个子集， 其中 k = 2i1−1 + 2i2 −1 + + 2in −1 ，则(1){a1, a3} 是 E 的第________个子集；(2) E 的第 211 个子集是________．
【例 12】设 A={X|X=a2+b2，a、b∈Z}，X1、X2∈A，求证 X1×X2∈A.
二.集合的运算
【例 13】若 M={(x，y)||tanπy|+sin2πx=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，则 M∩N 的元素个数是
.
【例 14】对于集合 A、B 的并集 A∪B={a1，a2，a3}，当 A≠B 时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这
,B =
a12
,
a
2 2
,
a32
,
a 42
,
a52
,
a62
，其中 ai (1 ≤ i ≤ 6) ∈ N + ，
并且 a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 .如果 A ∩ B = {a3 , a4 }, a3 + a4 = 13 ，且 A ∪ B 中的所有元素之和为
403.
(1) 求 a3 , a4 .
(2) 求集合 A .
【例
20】(2012
年海淀区第一次模拟考试试题)对于集合
M，定义函数
fM
(x)
=
⎧−1(x ∈ M ⎨⎩1(x ∉ M )
)
.对于两个集
合 M、N，定义集合 M ΔN = {x fM (x) ⋅ fN (x) = −1}.已知 A = {2 ， 4 ， 6 ， 8 ，10} ， B = {1， 2 ， 4 )]
<
⎫ 0⎬
，求
M
∩N．
⎩
2
⎭
【例 17】设[x] 表示不大于 x 的最大整数，集合 A = {x | x2 − 2[x] = 3} ，B = {x | 1 < 2x < 8}，则 A ∩ B = 8
________.
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【 例 18 】 设 A 是 由 方 程 x3 − 7x2 +14x − 8 = 0 的 根 的 全 体 组 成 的 集 合 ， B 是 方 程 x3 + 2x2 − c2 x − 2c2 = 0 的根的集合，其中 c ≥ 0 .
24
2
2
正确命题的个数是( )．
A． 0
B．1
C． 2
D． 3
【例 32】(2009 年浙江大学自主招生试题)现有如下两个命题：
命题 p : 函数 f (x) = x3 + ax2 + ax − a 既有极大值又有极小值； 命题 q :直线 3x + 4 y − 2 = 0 与曲线 x2 − 2ax + y2 + a2 −1 = 0 有公共点． 若命题“ p 或 q ”为真且命题“ p 且 q ”为假，试求实数 a 的取值范围．
【例 27】(2011 年朝阳区高三第一学期期末考试试题)已知集合 A = {(x ，y) | x = n ，y = na + b ，n ∈ Z} ， B = {(x ， y) | x = m ， y = 3m2 +12 ，m ∈ Z } .若存在实数 a 、b 使得 A ∩ B ≠ ∅ 成立，则称点 (a ，b)
样的(A，B)对的个数是
.
A.8
B.9
C.26
D.27
{ } 【例 15】已知集合 A = (x, y) | x2 + mx − y + 2 = 0, x ∈ R ， B = {(x, y) | x − y +1 = 0 ， 0 ≤ x ≤ 2} ，
若 A ∩ B ≠ ∅ ，求实数 m 的取值范围．
表，那么满足条件的不同的数表的张数为
.
【例 29】(2006 年清华大学自主招生试题)求由正整数组成的集合 S ，使 S 中的元素之和等于元素之积．
{ } { } 【例 30】(2010 年浙江大学自主招生试题)设集合 M = x f (x) = x ， N = x f ( f (x)) = x ．