高中物理生活中的圆周运动解题技巧及经典题型及练习题(含答案)及解析

高中物理生活中的圆周运动解题技巧及经典题型及练习题(含答案)及解析
一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动
1．有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为k的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端系一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为l．设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力．求：
（1）盘的转速ω0多大时，物体A开始滑动？
（2）当转速缓慢增大到2ω0时，A仍随圆盘做匀速圆周运动，弹簧的伸长量△x是多少？
【答案】（1）
g
l
μ
（2）
3
4
mgl
kl mg
μ
μ
-
【解析】
【分析】
（1）物体A随圆盘转动的过程中，若圆盘转速较小，由静摩擦力提供向心力；当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．物体A刚开始滑动时，弹簧的弹力为零，静摩擦力达到最大值，由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求解角速度ω0．
（2）当角速度达到2ω0时，由弹力与摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律和胡克定律求解弹簧的伸长量△x．
【详解】
若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与静摩擦力的合力提供向心力．
（1）当圆盘转速为n0时，A即将开始滑动，此时它所受的最大静摩擦力提供向心力，则有：
μmg＝mlω02，
解得：ω0=
g l μ
即当ω0＝
g
l
μ
A开始滑动．
（2）当圆盘转速达到2ω0时，物体受到的最大静摩擦力已不足以提供向心力，需要弹簧的弹力来补充，即：μmg+k△x＝mrω12，
r=l+△x
解得：
3
4
mgl x
kl mg
μ
μ
-
V＝
【点睛】
当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件．本题关键是分析物体的受力情况．
2．如图，光滑轨道abcd 固定在竖直平面内，ab 水平，bcd 为半圆，在b 处与ab 相切．在直轨道ab 上放着质量分别为m A =2kg 、m B =1kg 的物块A 、B （均可视为质点），用轻质细绳将A 、B 连接在一起，且A 、B 间夹着一根被压缩的轻质弹簧（未被拴接），其弹性势能E p =12J ．轨道左侧的光滑水平地面上停着一质量M =2kg 、长L =0.5m 的小车，小车上表面与ab 等高．现将细绳剪断，之后A 向左滑上小车，B 向右滑动且恰好能冲到圆弧轨道的最高点d 处．已知A 与小车之间的动摩擦因数µ满足0.1≤µ≤0.3，g 取10m /s 2，求
（1）A 、B 离开弹簧瞬间的速率v A 、v B ； （2）圆弧轨道的半径R ；
（3）A 在小车上滑动过程中产生的热量Q （计算结果可含有µ）．
【答案】（1）4m/s （2）0.32m(3) 当满足0.1≤μ<0.2时，Q 1=10μ ；当满足0.2≤μ≤0.3
时，
22111
()22A A m v m M v -+ 【解析】 【分析】
（1）弹簧恢复到自然长度时，根据动量守恒定律和能量守恒定律求解两物体的速度； （2）根据能量守恒定律和牛顿第二定律结合求解圆弧轨道的半径R ；
（3）根据动量守恒定律和能量关系求解恰好能共速的临界摩擦力因数的值，然后讨论求解热量Q. 【详解】
（1）设弹簧恢复到自然长度时A 、B 的速度分别为v A 、v B ， 由动量守恒定律：
0=A A B B m v m v - 由能量关系：22
11=22
P A A B B E m v m v -
解得v A =2m/s ；v B =4m/s
（2）设B 经过d 点时速度为v d ，在d 点：2d
B B v m g m R
=
由机械能守恒定律：22d 11=222
B B B B m v m v m g R +⋅ 解得R=0.32m
（3）设μ=μ1时A 恰好能滑到小车左端，其共同速度为v,由动量守恒定律：
=()A A A m v m M v +由能量关系：()2
211122
A A A A m gL m v m M v μ=
-+ 解得μ1=0.2 讨论：
（ⅰ）当满足0.1≤μ<0.2时，A 和小车不共速，A 将从小车左端滑落，产生的热量为
110A Q m gL μμ== （J ）
（ⅱ）当满足0.2≤μ≤0.3时，A 和小车能共速，产生的热量为
()221111
22
A A Q m v m M v =
-+，解得Q 2=2J
3．如图所示，粗糙水平地面与半径为R =0.4m 的粗糙半圆轨道BCD 相连接，且在同一竖直平面内，O 是BCD 的圆心，BOD 在同一竖直线上．质量为m =1kg 的小物块在水平恒力F =15N 的作用下，从A 点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B 点时撤去F ，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过D 点，已知A 、B 间的距离为3m ，小物块与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g 取10m/s 2．求： （1）小物块运动到B 点时对圆轨道B 点的压力大小． （2）小物块离开D 点后落到地面上的点与D 点之间的距离
【答案】（1）160N （2）2 【解析】 【详解】
（1）小物块在水平面上从A 运动到B 过程中，根据动能定理，有： （F -μmg ）x AB =
1
2
mv B 2-0 在B 点，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得：
2B
v N mg m R
-=
联立解得小物块运动到B 点时轨道对物块的支持力为：N =160N
由牛顿第三定律可得，小物块运动到B 点时对圆轨道B 点的压力大小为：N ′=N =160N （2）因为小物块恰能通过D 点，所以在D 点小物块所受的重力等于向心力，即：
2D
v mg m R
=
可得：v D =2m/s
设小物块落地点距B 点之间的距离为x ，下落时间为t ，根据平抛运动的规律有： x =v D t ，
2R =
12
gt 2
解得：x =0.8m
则小物块离开D 点后落到地面上的点与D 点之间的距离20.82m l x =
=
4．如图所示，BC为半径r 2
2
5
=m竖直放置的细圆管，O为细圆管的圆心，在圆管的末端C连接倾斜角为45°、动摩擦因数μ＝0.6的足够长粗糙斜面，一质量为m＝0.5kg的小球从O点正上方某处A点以v0水平抛出，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球过C点时速度大小不变，小球冲出C点后经过
9
8
s再次回到C点。

（g＝10m/s2）求：
（1）小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度v0为多大？
（2）小球第一次过C点时轨道对小球的支持力大小为多少？
（3）若将BC段换成光滑细圆管，其他不变，仍将小球从A点以v0水平抛出，且从小球进入圆管开始对小球施加了一竖直向上大小为5N的恒力，试判断小球在BC段的运动是否为匀速圆周运动，若是匀速圆周运动，求出小球对细管作用力大小；若不是匀速圆周运动则说明理由。

【答案】（1）2m/s（2）20.9N（3）2N
【解析】
【详解】
（1）小球从A运动到B为平抛运动，有：r sin45°＝v0t
在B点有：tan45°
gt
v
=
解以上两式得：v0＝2m/s
（2）由牛顿第二定律得：
小球沿斜面向上滑动的加速度：
a1
4545
mgsin mgcos
m
μ
︒+︒
==g sin45°+μg cos45°＝22
小球沿斜面向下滑动的加速度：
a2
4545
mgsin mgcos
m
μ
︒-︒
==g sin45°﹣μg cos45°＝2m/s2
设小球沿斜面向上和向下滑动的时间分别为t1、t2，
由位移关系得：
1
2
a1t12
1
2
=a2t22
又因为：t1+t2
9
8
=s
解得：t1
3
8
=s，t2
3
4
=s
小球从C 点冲出的速度：v C ＝a 1t 1＝32m/s
在C 点由牛顿第二定律得：N ﹣mg ＝m 2C
v r
解得：N ＝20.9N
（3）在B 点由运动的合成与分解有：v B 0
45v sin =
=︒
22m/s 因为恒力为5N 与重力恰好平衡，小球在圆管中做匀速圆周运动。

设细管对小球作用力大小为F
由牛顿第二定律得：F ＝m 2B
v r
解得：F ＝52N
由牛顿第三定律知小球对细管作用力大小为52N ，
5．如图所示，一根长为0.1 m 的细线，一端系着一个质量是0.18kg 的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，当小球的转速增加到原转速的3倍时，细线断裂，这时测得线的拉力比原来大40 N ．求： （1）线断裂的瞬间，线的拉力； （2）这时小球运动的线速度；
（3）如果桌面高出地面0.8 m ，线断裂后小球沿垂直于桌子边缘的方向水平飞出去落在离桌面的水平距离．
【答案】（1）线断裂的瞬间，线的拉力为45N ； （2）线断裂时小球运动的线速度为5m/s ； （3）落地点离桌面边缘的水平距离2m ． 【解析】 【分析】 【详解】
(1)小球在光滑桌面上做匀速圆周运动时受三个力作用;重力mg、桌面弹力F N和细线的拉力F,重力mg和弹力F N平衡，线的拉力提供向心力，有：
F N=F=mω2R，
设原来的角速度为ω0,线上的拉力是F0,加快后的角速度为ω,线断时的拉力是F1，则有：F1:F0=ω2: 2
ω=9:1，
又F1=F0+40N，
所以F0=5N,线断时有：F1=45N.
(2)设线断时小球的线速度大小为v,由F1=
2
v
m
R
，
代入数据得：v=5m/s.
(3)由平抛运动规律得小球在空中运动的时间为：t=220.8
10
h
s
g
⨯
==0.4s，
则落地点离桌面的水平距离为：x=vt=5×0.4=2m.
6．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达C点．试求：
（1）弹簧开始时的弹性势能．
（2）物体从B点运动至C点克服阻力做的功．
（3）物体离开C点后落回水平面时的速度大小．
【答案】(1)3mgR (2)0.5mgR (3)5
2 mgR
【解析】
试题分析：（1）物块到达B点瞬间，根据向心力公式有：
解得：
弹簧对物块的弹力做的功等于物块获得的动能，所以有
（2）物块恰能到达C点，重力提供向心力，根据向心力公式有：所以：
物块从B 运动到C ，根据动能定理有：
解得：
（3）从C 点落回水平面，机械能守恒，则：
考点：本题考查向心力，动能定理，机械能守恒定律
点评：本题学生会分析物块在B 点的向心力，能熟练运用动能定理，机械能守恒定律解相关问题．
7．如图甲所示，轻质弹簧原长为2L ，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L ．现将该弹簧水平放置，如图乙所示．一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接．AB 是长度为5L 的水平轨道，B 端与半径为L 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 在竖直方向上．物块P 与AB 间的动摩擦因数0.5μ=，用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度为L 处，然后释放P ，P 开始沿轨道运动，重力加速度为g ．
（1）求当弹簧压缩至长度为L 时的弹性势能p E ；
（2）若P 的质量为m ，求物块离开圆轨道后落至AB 上的位置与B 点之间的距离； （3）为使物块P 滑上圆轨道后又能沿圆轨道滑回，求物块P 的质量取值范围．
【答案】(1)5P E mgL = (2) 22S L = (3)5
53
2
m M m ＃ 【解析】 【详解】
（1）由机械能守恒定律可知：弹簧长度为L 时的弹性势能为
（2）设P 到达B 点时的速度大小为
，由能量守恒定律得：
设P 到达D 点时的速度大小为
，由机械能守恒定律得：
物体从D 点水平射出，设P 落回到轨道AB 所需的时间为
θ θ 22S L =
（3）设P 的质量为M ，为使P 能滑上圆轨道，它到达B 点的速度不能小于零 得54mgL MgL μ> 5
2
M m <
要使P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C ，得
21
2B
Mv MgL '≤ 21
42
p B
E Mv MgL μ=
'+
8．游乐场正在设计一个全新的过山车项目，设计模型如图所示，AB 是一段光滑的半径为R 的四分之一圆弧轨道，后接一个竖直光滑圆轨道，从圆轨道滑下后进入一段长度为L 的粗糙水平直轨道BD ，最后滑上半径为R 圆心角0
60θ=的光滑圆弧轨道DE ．现将质量为m 的滑块从A 点静止释放，通过安装在竖直圆轨道最高点C 点处的传感器测出滑块对轨道压力为mg ，求：
（1）竖直圆轨道的半径r ．
（2）滑块在竖直光滑圆弧轨道最低点B 时对轨道的压力．
（3）若要求滑块能滑上DE 圆弧轨道并最终停在平直轨道上（不再进入竖直圆轨道），平直轨道BD 的动摩擦因数μ需满足的条件． 【答案】（1）3
R （2）7mg （3）2R R
L L μ<≤ 【解析】
(1) 对滑块，从A 到C 的过程，由机械能守恒可得：
2
1(2)2
C mg R r mv -=
22C
v mg m r
=
解得：3
R r =
； (2) 对滑块，从A 到B 的过程，由机械能守恒可得：
212
B mgR mv =
在B 点，有：
2B
v N mg m r
-=
可得：滑块在B 点受到的支持力 N=7mg ；
由牛顿第三定律可得，滑块在B 点对轨道的压力
7N N mg '==，方向竖直向下；
(3) 若滑块恰好停在D 点，从B 到D 的过程，由动能定理可得：
2
112
B mgL mv μ-=-
可得：1R L
μ=
若滑块恰好不会从E 点飞出轨道，从B 到E 的过程，由动能定理可得：
2
21(1cos )2
B mgL mgR mv μθ---=-
可得：
22R L
μ=
若滑块恰好滑回并停在B 点，对于这个过程，由动能定理可得：
2
31·22
B mg L mv μ-=-
综上所述，μ需满足的条件：
2R R L L
μ<<．
9．一个同学设计了一种玩具的模型如图所示，该模型由足够长的倾斜直轨道AB 与水平直轨道BC 平滑连接于B 点，水平直轨道与圆弧形轨道相切于C 点，圆弧形轨道的半径为R 、直径CD 竖直，BC =4R 。

将质量为m 的小球在AB 段某点由静止释放，整个轨道均是光滑的。

要使小球从D 点飞出并落在水平轨道上，重力加速度取g ，求：
(1)释放点至水平轨道高度的范围； (2)小球到达C 点时对轨道最大压力的大小。

【答案】(1) 52
R
≤h≤4R (2) 3mg 【解析】 【详解】
(1)小球恰能通过D 点时，释放点高度最小
mg =m 21D
v R
A 到D ，根据机械能守恒定律：mgh 1=mg 2R +2112
D mv 联立得h 1=
52
R
小球从D 点飞出后恰好落在B 点时，释放点高度最大
2R =
212at 4R =v D2t
A 到D ，根据机械能守恒定律：mgh 2=mg 2R +2212
D mv 联立得h 2=4R
释放点至水平轨道高度的范围为
52R
≤h ≤4R (2)h =4R 时，C 点速度最大，压力最大 A 到C ，根据机械能守恒定律：mgh =
212
C mv 在C 点：N －mg =2C
v m R
联立得N =3mg
根据牛顿第三定律，压力大小为N ′=N =3mg
10．某工地某一传输工件的装置可简化为如图所示的情形，AB 为一段足够长的曲线轨道，BC 为一段足够长的水平轨道，CD 为一段圆弧轨道，圆弧半径r =1m ，三段轨道均光滑。

一长为L=2m、质量为M=1kg的平板小车最初停在BC轨道的最左端，小车上表面刚好与AB轨道相切，且与CD轨道最低点处于同一水平面。

一可视为质点、质量为m=2kg的工件从距AB轨道最低点h高处沿轨道自由滑下，滑上小车后带动小车也向右运动，小车与CD 轨道左端碰撞(碰撞时间极短)后即被粘在C处。

工件只有从CD轨道最高点飞出，才能被站在台面DE上的工人接住。

工件与小车的动摩擦因数为μ=0.5，取g=10m/s2，
(1)若h=2.8m，则工件滑到圆弧底端B点时对轨道的压力为多大？
(2)要使工件能被站在台面DE上的工人接住，求h的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)工件从起点滑到圆弧轨道底端B点,设到B点时的速度为v B，根据动能定理：
工件做圆周运动，在B点，由牛顿第二定律得：
由①②两式可解得：N=40N
由牛顿第三定律知,工件滑到圆弧底端B点时对轨道的压力为N′=N=40N
(2)①由于BC轨道足够长,要使工件能到达CD轨道,工件与小车必须能达共速,设工件刚滑上小车时的速度为v0,工件与小车达共速时的速度为v1，假设工件到达小车最右端才与其共速，规定向右为正方向，则对于工件与小车组成的系统，由动量守恒定律得：
mv0=(m+M)v1
由能量守恒定律得：
对于工件从AB轨道滑下的过程，由机械能守恒定律得：
代入数据解得：h1=3m.
②要使工件能从CD轨道最高点飞出,h1=3m为其从AB轨道滑下的最大高度,设其最小高度为h′,刚滑上小车的速度为v′0,与小车达共速时的速度为v′1,刚滑上CD轨道的速度为
v′2，规定向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv′0=(m+M)v′1…⑥
由能量守恒定律得：
工件恰好滑到CD轨道最高点，由机械能守恒定律得：
工件在AB轨道滑动的过程，由机械能守恒定律得：
联立。

⑥⑦⑧⑨,代入数据解得：h′=m
综上所述,要使工件能到达CD轨道最高点,应使h满足：m<h⩽3m.
【名师点睛】（1）工件在光滑圆弧上下滑的过程，运用机械能守恒定律或动能定理求出工件滑到圆弧底端B点时的速度．在B点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道对工件的支持力，从而得到工件对轨道的压力．
（2）由于BC轨道足够长，要使工件能到达CD轨道，工件与小车必须能达共速，根据动量守恒定律、能量守恒定律求出滑上小车的初速度大小，根据机械能守恒求出下滑的高度
h=3m，要使工件能从CD轨道最高点飞出，h=3m为其从AB轨道滑下的最大高度，结合动量守恒定律和能量守恒定律、机械能守恒定律求出最小高度，从而得出高度的范围．。