人教版九年级数学上册期末复习提纲知识点(最新、最全、最精)

义务教育基础课程初中教学资料
提高数学成绩的“五条途径”
1、按部就班数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。

所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。

2、强调理解概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。

每新学一个定理，尝试先不看答案，做一次例题，看是否能正确运用新定理；若不行，则对照答案，加深对定理的理解。

3、基本训练学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉高考的题型，训练要做到有的放矢。

4、重视平时考试出现的错误。

定一个错题本，专门搜集自己的错题，这些往往就是自己的薄弱之处。

复习时，这个错题本也就成了宝贵的复习资料。

5、重视课本习题训练。

数学的学习有一个循序渐进的过程，妄想一步登天是不现实的。

熟记书本内容后将书后习题认真写好，有些同学可能认为书后习题太简单不值得做，这种想法是极不可取的，书后习题的作用不仅帮助你将书本内容记牢，还辅助你将书写格式规范化，从而使自己的解题结构紧密而又严整，公式定理能够运用的恰如其分，以减少考试中无谓的失分。

快速提高数学成绩的“五大攻略”
攻略一：概念记清，基础夯实。

数学≠做题，千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，特别是“不定项选择题”就要靠清晰的概念来明辨对错，如果概念不清就会感觉模棱两可，最终造成误选。

因此，要把已经学过的教科书中的概念整理出来，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。

攻略二：适当做题，巧做为王。

有的同学埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高，这就是陷入了做题的误区。

数学需要实践，需要大量做题，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”。

考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且也不容易犯错。

攻略三：前后联系，纵横贯通。

在做题中要注重发现题与题之间的内在联系，绝不能“傻做”。

在做一道与以前相似的题目时，要会通过比较，发现规律，穿透实质，以达到“触类旁通”的境界。

特别是几何题中的辅助线添法很有规律性，在做题中要特别记牢。

攻略四：记录错题，避免再犯。

俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。

因此，建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。

毕竟，考试当中是“分分必争”，一分也失不得。

攻略五：集中兵力，攻下弱点。

每个人都有自己的“软肋”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的最痛。

因此一定要通过短时间的专题学习，集中优势兵力，打一场漂亮的歼灭战，避免变成“瘸腿”。

第21章 一元二次方程考点
1．一元二次方程的判断标准：
（1）方程是整式方程（2）只有一个未知数——（一元）（3）未知数的最高次数是2——（二次）
三个条件同时满足的方程就是一元二次方程
练习：
1、下面关于x 的方程中：①ax 2
+bx+c=0；②3x 2
-2x=1；③x+3=
1x
；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2
-1．一元二次方程的个数是 .
2、若方程kx 2+x=3x 2
+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程0512
2
=+-+-x k x k
是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．
4、若方程（m-1）x |m|+1
-2x=4是一元二次方程，则m=______．
2．一元二次方程一般形式及有关概念
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式20 (0)ax bx c a ++=≠ 2ax 是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，b 为一次项系数，c 为
常数项。

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号
练习：
1、将一元二次方程3(1)5(2)x x x -=+化成一般形式为_____________，其中二次项系数
a =________，一次项系数b=__________，常数项c=__________
3．完全平方式
a2+2ab+b2 a2-2ab+b2
练习：
1、说明代数式2
241x x --总大于2
24x x --
2、已知1
a a
+
=求1a a -的值.
3、若x 2
+mx+9是一个完全平方式，则m= ，
若x 2+6x+m 2
是一个完全平方式，则m 的值是 。

若942++kx x 是完全平方式，则k = 。

4．整体运算
思路：把一个代数式看成一个整体来求值，然后代入去求另一个代数式的值。

练习：
1、已知x 2
+3x+5的值为11，则代数式3x 2
+9x+12的值为
2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________
5．方程的解
练习：
1、已知关于x 的方程x 2
+3x+k 2
=0的一个根是x=-1，则k=_ __． 2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程 。

6．方程的解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次
练习：
1、直接开方解法方程
2(6)30x -+= 21
(3)22
x -=
2、用配方法解方程
2210x x +-= 2430x x -+=
3、用公式法解方程
03722=+-x x 210x x --=
4、用因式分解法解方程
3(2)24x x x -=- 22(24)(5)x x -=+
5、用十字相乘法解方程
2900x x --= 22100x x +-=
7．一元二次方程根的判别式：2
b 4a
c ∆=-
练习：
1、 关于x 的一元二次方程012)2(2=-+++m x m x . 求证：方程有两个不相等的实数根
2、若关于x 的方程0122
=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

3、关于x 的方程()0212
=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是
8．韦达定理
1212,b c x x x x a a
+=-=(a ≠0, Δ=b 2
-4ac ≥0)
使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）定理成立的条件0∆≥
练习：
1、 已知方程2
5x mx 6=0+-的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值。

2、 已知2
2x 4x 30+-=的两根是x 1 ,x 2 ，利用根于系数的关系求下列各式的值
12
11x x + 22
12
x x + 12(1)(1)x x ++ 212()x x - 3、已知关于x 的一元二次方程x 2
－（m+2）x+
14
m 2
－2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 12
+x 22
=18，求m 的值．
9．一元二次方程与实际问题
1、 病毒传播问题
2、 树干问题
3、 握手问题（单循环问题）
4、 贺卡问题（双循环问题）
5、 围栏问题
6、 几何图形（道路、做水箱）
7、 增长率、折旧、降价率问题
8、 利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样） 9、 数字问题 10、折扣问题
第22章 二次函数考点
1、二次函数的定义
定义： y=ax2＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
练习：
1、y=-x ²，y=2x ²-2/x ，y=100-5 x ²，y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？
考点2、二次函数的图像及性质
表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、
练习：
1、已知二次函数
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。

（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。

（3）x 为何值时，y 随的增大而减少，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）x 为何值时，y<0？x 为何值时，y>0？
2、直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……（ ）
考点3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式y=ax2+bx+c(a ≠0) 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式y=a(x-h)2+k(a ≠0)
3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式y=a(x-x1)(x-x2) (a ≠0)
练习：
1、根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。

2、已知二次函数y=ax2+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。

求a 、b 、c 。

4、a ，b ，c 符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c 的符号问题：
(1)a 的符号：上正下负（2）b 的符号：左同右异（3）C 的符号：上正下负原点零
m
m -22
3212-+=
x x y
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。

(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。

(7)4a+2b+c的符号：因为x=2时,y=4a+2b+c,所以4a+2b+c的符号由x=2时，对应的y值决定。

(8)4a-2b+c的符号：因为x=-2时,y=4a-2b+c,所以4a-2b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。

以此类推.
练习：
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）
A、a<0,b>0,c>0
B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0
D、a<0,b<0,c<0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）
A、a>0,b>0,c=0
B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0
D、a>0,b<0,c=0
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c 、△的符号为（）
A、a>0,b=0,c>0,△>0
B、a<0,b>0,c<0,△=0
C、a>0,b=0,c<0,△>0
D、a<0,b=0,c<0,△<0
要点：熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和二、三、四象限，
判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，
则a、b、c满足的条件是：a 0,b 0,c 0.
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数
图象的顶点必在第象限
要点：先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。

⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物
线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。

考点5、抛物线的平移
左加右减，上加下减；左右平移看自变量，上下平移看常数项。

练习：
⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。

⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。

引申：
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.
y=x2-5x+6
6二次函数与一元二次方程的关系 1、一元二次方程根的情况与b ²-4ac 的关系
我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.
2、二次函数y=ax ²＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax ²＋bx ＋c=0的解。

3、二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: (1)– 4ac > 0 (2)– 4ac= 0 (3)没有交点– 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c 与x – 4ac ≥0
练习：
(1)如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线
y=x2-2x+m 与x 轴有＿＿＿＿个交点.
(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿＿＿＿.
(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x 轴的交点坐标是＿＿＿＿.
(4)已知函数y ＝x 2－（2m ＋4）x ＋m 2－10与x 轴的两个交点间的距离为22，则m ＝___________． (5)若函数y ＝kx 2＋2（k ＋1）x ＋k －1与x 轴只有一个交点，求k 的值．
7二次函数的综合运用
例题：已知抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴
41
)25(2--=x y=x
4
1
)25(2-
-=x y ()有两个不相等的实数根方程时当00,0422
≠=++>-a c bx ax ac b ():00,0422有两个相等的实数根方程时当≠=++=-a c bx ax ac b ()没有实数根方程时当00,0422≠=++<-a c bx ax ac b
的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:Θ抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 ∴ a=1或-1
又Θ顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5, ∴ 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.
练习：
1．直线y ＝3 x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（ ）
（A ）k ＜
31 （B ）3
1
＜k ＜1 （C ）k ＞1 （D ）k ＞1或k ＜1 2、若a+b+c=0,a ≠0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线
的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式. 分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线 3、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，2
5），（1，6）三点，直线l 的解析式为y ＝2 x －3．（1）求抛物线G 的函数解析式； （2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；
（3）若与l 平行的直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点P ，求P 点的坐标． 【分析】（1）略；
（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；
（3）直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．
第23章 旋转考点
1．
旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度
练习：
1、如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D ′的形状是 。

2、16:50的时候，时针和分针的夹角是 度
2．旋转的性质：
1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；
2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；
3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；
4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；
练习：
1、如图，9030AOB B ∠=∠=°，°，A OB ''△可以看作是由AOB △绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A '在AB 上。

（1）求旋转角大小；
（2）判断OB 与A B ''的位置关系，并说明理由。

2、将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积是多少？
3、如图，在△ABC 中,
70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△/
/C AB 的位置, 使得AB CC ///
, 求/
BAB ∠ 的度数。

4、如图6，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 、F 分别在边AB 和BC 上，DCM ∆是由ADE ∆ 逆时针旋转得到的图形。

（1）旋转中心是点__________；
（2）旋转角是________度，EDM ∠=_________度；
（2）若45EDF ∠=︒，求证EDF MDF ∆∆≌.并求此时BEF ∆的周长.
A O
B A 'B ' A
C B
B '
C '
图6
5、△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转一定角度后能与△ACQ 重合，AP ＝3.（1）求△APQ 的面积；（2）判断BQ 与CQ 的位置关系，并说明理由。

6、如图，将正方形ABCD 中的△ABD 绕对称中心O 旋转至△GEF 的位置，EF 交AB 于M ，GF 交BD 于N ．请猜想BM 与FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．
7、如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上 两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接 EF ，证明①△AED ≌△AEF ②222BE DC DE +=
8、如图（1），点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． （1）求∠AEB 的大小； （2）如图（2），ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠)，求∠AEB 的大小.
3．旋转对称：
一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。

练习：
1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形
（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到，每一次旋转_______度．
2、如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，问此正六边形绕正六边形的中心O
旋转___ ___度能与自身重合。

3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是__
4．中心对称和中心对称图形
中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

练习：
1、如图，下列4个数字有（）个是中心对称图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.下列图形中不是中心对称图形的是（）
A、①③
B、②④
C、②③
D、①④
5．作图
1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关于原点对称。

结合直角坐标系写
出对称后坐标
2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）
练习：
1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1）
(1)作△A1B1C1，使它与△ABC关于原点O中心对称；
写出A1 ，B1，C1点坐标；
(3)将△ABC绕原点O逆时针旋转90º后得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，
并写出A3，B3，C3的坐标
2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．
（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；
（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整
体图形的对称轴有条；
这个整体图形至少旋转度与自身重合
练习：
如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD ，AE⊥BC 于E ，若线段AE=5，求ABCD S 四边形（提示：将四边形ABCD 割补为正方形）
7．关于对称
1、两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P （x ，y ）关于原点的对称点为P ’（-x ，-y ）
2、两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点为P ’（x ，-y ）
3、两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点为P ’（-x ，y ）
练习：
填空：⑴点A （－2，1）关于x 轴的对称点为A ′（； ⑵点B （1，－3）与点B （1，3）关于 的对称。

⑶C （－4，－2）关于y 轴的对称点为C
′（ ，⑷点D （5，0）关于原点的对称点为D ′（ ， ）。

第24章 圆考点
1】和圆有关的概念
练习：
（1）等弦对等圆心角（ ）（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（ ）（3）等弧对等弦( )（4）等弦对等弧（ ）（5）等弧对等圆心角（ ） (6)直径是圆的对称轴（ ）
2】垂径定理及其推论
E
D
C
B
A
B
A
C
E D
O
O
B
A
C D
N M 如果一条直线满足
(1)过圆心 （2）垂直弦 （3） 平分弦 (4)平分弧（优弧和劣弧） （5）平分圆心角 知之其中两个条件可以推出三个 （知二求三）特别：当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。

练习：
(1)平分弦的直径垂直于弦. （ ） (2) 垂直于弦的直径平分弦. （ ）
1、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．
2、如图，⊙O 中，OE ⊥弦AB 于E ，OF ⊥弦CD 于F ，OE=OF ，(1)求证：AB ＝CD (2) 如果AB>CD ，则OE OF
3．如图所示，污水水面宽度为60 cm ，水面至管道顶部距离为10 cm ，问修理人员应准备内径多大的管道?
4、已知△ABC 中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C 为圆心，CA 为半径画圆交AB 于点D ，求AD 的长
3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系：
（举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包括圆心角和圆周角）
练习：
1.如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上． 求证：AM =BN
（连接MO,NO ,利用全等求证∠MOC=∠NOD,等角等弧）
2、如图15，AB 、CD 是⊙O 的直径，DE 、BF 是弦，且DE=BF,求证：∠D=∠B 。

3．如图，⊙O 中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP =PC ，求证：⌒AD =3⌒CB (连接OC 、OD ，外角，圆心角证弧)
4．AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF BF =； （2）若2AD =，⊙O 的半径为3，求BC 的长． 4】：
直径所对的圆周角是90°
练习：
1.已知△ABC 中，AB=AC ，AB 为⊙O 的直径，BC 交⊙O 于D ，求证：点D 为BC 中点 5】
F
O
B
A D
C
圆内接四边形对角互补
练习：
1、如图，AB、AC与⊙O相切
于点B、C，∠A=40º，
点P是圆上异的一动点，则∠BPC的度数是
6】外接圆与内切圆相关概念
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等；
三角形的内心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等
练习：
1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是
2、如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠C=90°，
AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。

3、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E 、F，若∠B=50°, ∠C=60°，
连接OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于
6】与圆有关的位置关系
1、点和圆的位置关系有三种：点在圆_____，点在圆_______，点在圆______；
2、直线和圆的位置关系有三种：相_____、相______、相_______．
3、圆与圆的位置关系：、、、、。

练习：
1、已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，
（1）当d＝2厘米时，有d____r，点在圆______________
（2）当d＝7厘米时，有d____r，点在圆______________
（3）当d＝5厘米时，有d____r，点在圆______________
2、已知圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的距离为d，
（1）当d＝10厘米时，有d____r，直线l与圆____
（2）当d ＝12厘米时，有d ____r ，直线l 与圆____ （3）当d ＝15厘米时，有d ____r ，直线l 与圆____
3、已知⊙O 1的半径为6厘米，⊙O 2的半径为8厘米，圆心距为 d ， 则：R ＋r ＝________， R －r ＝____________； 7】切线的性质
切线性质定理：圆的切线垂直于 过切点 的半径
练习：
4、如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB 。

8】切线的证明（两种方法）
1、已知圆上一点 “连半径，证垂直”
2、没告诉圆与直线有交点 “作垂直，证半径”。

练习：
1、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线。

2、如图，AB=AC ，OB=OC ，AB 切⊙O 于D ，证明⊙O 与AC 相切
9】切线长定理
切线长相等，平分切线所成的夹角。

练习：
1、如图5，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，30BAC ∠=︒， （1）求P ∠的度数；
（2）若2BC cm =，求PB 的长。

O P A B C 图5
2、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是一条弦，连结OC 并延长OC 至P 点，并使PC=BC ， ∠BOC = 60o
(1)求证：PB 是⊙O 的切线。

(2)若⊙O 的半径长为1，且AB 、PB 的长是一元二次方程x 2+bx+c=0的两个根，求b 、c 的值。

3、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 相切于点A 、B ，是点C 劣弧AB 上任一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E 若PA=10，求△PDE 的周长
4、如图（1）所示，直线34
3
+-
=x y 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C （m ，n ）是第二象限内任意一点，以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F 。

所示，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r 。

10】正多边形的计算
1.正n 边形的每内角= n n 0180)2(⋅-
2. 正n 边形的中心角=n
360
3.正n 边形的外角=n
0360 4.边心距r 、半径R 、边长a 之间的关系：22
2)2(a r R +=
5.正n 边形的周长C=na
6.正n 边形的面积S=nCr/2
练习：
1、如图，正五边形ABCDE 的顶点都在⊙O 上，P 是CD ⋂
上一点， 则∠BPC=____________
2、如图，小明在操场上从点O 出发，沿直线前进5米后向左转0
45，再沿直线前进5米后，又向左转0
45，……照这样走下去，他第一次回到出发地O 点时，一共走了___ __米。

3、求半径为6的正六边形的中心角度数.周长和面积。

11】圆中的有关计算
(1)弧长的计算公式：因为扇形的弧长＝()
180
(2)扇形的面积：因为扇形的面积S＝()
360
(3)圆锥：∵圆锥的侧面展开图是____________形，展开图的弧长等于___________
∴圆锥的侧面积＝____________________
练习：(答案保留π)
1、若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？
2、①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？
②若扇形的弧长为12πcm，半径为6cm，则这个扇形的面积是多少？
3、圆锥的母线长为5cm，半径为4cm，则圆锥的侧面积是多少？
第25章概率初步考点
1、事件
确定事件（分为必然事件、不可能事件）、不确定事件（称为随机事件或可能事件）、．并能用树状图和列表法；
练习：
1：下列事件中，属于必然事件的是（）
A、明天我市下雨
B、抛一枚硬币，正面朝上
C、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数
D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球
2、下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品.②两直线平行，内错角相等.
③三条线段组成一个三角形.④一只口袋内装有4只红球6只黄球，从中摸出2只黑球.其中属于确定事件的为（）
A、②③
B、②④
C、③④
D、①③
2、概率
定义：一般地，对于随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率。

记为P（A）
1、古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。

我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

2、古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=m/n
3、确定事件和随机事件的概率之间的关系
1、确定事件概率
（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1
（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0
2、确定事件和随机事件的概率之间的关系
概率的值
必然发生
事件发生的可能性越来越大
4、计算概率
1、列表法，适用于“二次试验”的事件
2、树状图，适用于“三次或三次以上试验”的事件
3、实验，用频率估计概率，适用于“不是有限个”可能性的随机事件
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p 就叫做事件A的概率。

练习：
1、装有5个红球和3个白球的袋中任取4个，那么取到的“至少有1个是红球”与“没有红球”的概率分别为________与________
2、有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，事件A为“从这3把钥匙中任选2把，打开甲、乙两把锁”，则P（A）＝________
3、用列表的方法求下列概率：已知2
b．求|
a+的值为7的概率．
|=
|b
a，5
|
|=
|
4、画树状图或列表求下列的概率：袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，任取一个，放回后再任取一个．画树状图或列表求下列事件的概率．（1）都是红色（2）颜色相同（3）没有白色
5、如图，桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏。

（1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；
（2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率。

（第21题
6、甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
第一轮：将各章内容分类划分，细化各章知识点，采取学生先自主复习，作出复习手抄报，让学生总结各章重点及难点，以及本章中的重点例题和练习题，再利用上课时间对学生的总结全面细化，弥补其不足之处，提高复习效率，达到学生看见题目能够自己分析出考查哪章节知识点的目的。

主要将各章内容分成以下几部分：
第一部分：三角函数;
第二部分：二次函数，反比例函数，一元二次方程;
第三部分：频数与频率
第四部分：证明(二)，证明(三)，视图与投影
其中一、二部分为重点，三四部分在习题中同时展开复习，大致需要一个星期时间。

第二轮：通过这次考试的题型有针对性地复习，利用教研活动各校所出模拟试题，整理分类，分为以下专题展开：
一、填空选择专题，全面考察各章细小知识点;。