小学五年级奥数思维拓展提升志愿导学教案：2.定义新运算

2.定义新运算
2023.10.29 教学目标：1.会理解特定的运算规则，会通过表达式寻找到运算规则。

2.培养学生自主思考，解题的能力。

感受到数学思维的逻辑性，唯美性。

教学重点：会通过表达式寻找到运算规则。

教学难点：特殊情况的表达式的理解。

教学准备：课件
教学过程：
一、导入
1.揭示课题。

（1）加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则我们都很熟悉。

除了这四种运算之外，我们还可以人为的规定一些其他运算，并给出特定的运算规则。

这样的运算形式我们一般称之为定义新运算。

（2）定义新运算通常运用某种特殊符号来表示一种运算。

其运算规则中运用的计算方法与我们所学的四则运算方法相同。

解题的关键是通过表达式寻找到运算规则。

2.运算律。

新定义的运算中如果有括号，要先算括号里面的，但它在没有转化前是不适合用各种运算定律的。

二、新授
1.例1
如果2※3=2+3+4=9,5※4=5+6+7+8=26。

求：（1）9※5的值是多少？
（2）解方程x※3=15。

（1）信号表示求连续自然数的和信号前面的数表示第一个数（首项）。

星号后面的数表示连续自然数的个数（项数）。

（2）9※5=9+10+11+12+13=55
x※3=x+（x+1）+（x+2）=3x+3
3x+3=15，x=4
2.例2
定义两种运算“©”“¤”，对于任意两个整数a、b。

都有：a©b=a+b-1，a¤b=a×b-1.若x©（x¤4）=33，求x的值。

（1）在有括号时，要先算括号内的，再算括号外的。

同时还要注意有两种运算。

（2）此题的运算方法是：先根据符号©所表示的意义。

将小括号里的式子改写成x×4-1。

再根据符号¤所表示的意义，将x©（x×4-1）改写成x+（x×4-1）-1，即原方程可变为x×5-2=33。

然后再求出未知数。

3.例3
定义一种运算“*”，它的意义是a*b=a+aa+aaa+…+aaa…a(a,b都是非0自然数）。

求：（1）2* 3,3*2;
（2）若1*x=123456789，求x；
（3）求：5678×（5677*2）-5677×（5678*2）
（1）为完整理解信号的意义，可以从简单的情况入手。

6*5=6+66+666+6666+66666
32*3=32+3232+323232
（2）对于问题2，如果你能熟悉1+11+111+1111+11111=12345。

那么问题就很容易解决了。

（3）按照这样的思路，问题3就可以运用乘法分配律来解答了。

4.例4
规定“□”的运算法则如下，对于任何整数a，b，有：
a□b= 2×a+b-1（a+b≥10）
2×a×b（a+b＜10）
求：（1□2）+ （2□3） + （3□4） + （4□5） + （5□6） + （6□7） + （7□8） + （8□9） + （9□10）
（1）这里有两种运算。

要注意分辨清楚。

（2）可以将算式按两种运算进行分类。

（1□2）+ （2□3） + （3□4） + （4□5）和（5□6） + （6□7） + （7□8） + （8□9） + （9□10）
（3）这题实际上定义了两种运算，必须根据两个数的和的大小确定进行哪种运算。

不妨把a□b=2×a+b-1称为运算一。

把a□b=2×a×b称为运算二。

5.例5
下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两个数据，C是输出的结果。

请据此判断，当输入A值是2011，输入B值是9时，运算器输出的C值是多少？
（1）这道题的运算规律好像不太好找。

（2）32÷5=6余2 ，45÷3=15余0，46÷8=5余6 ，56÷5=11余1，看出什么了吗？（3）运算器输入的a是被除数，B是除数，输出的c是余数，按这种想法就好解答了。

6.补充题。

例6.
已知，(10，1)＝101，(20，1)＝401，(20，2)＝402。

请问(9，3)＝？
（1）观察括号里的数发现：后一个数是几答案的个位上就是几。

括号里前一个数的规律。

好像不太好找。

（2）试一试。

100+1=101,400+1=401。

前一个数的平方等于后一个数的百位数
（3）9×9=81,81+3=84。

7. 例7(第六届“祖冲之杯”数学邀请赛)
麦丹来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：
8×8＝8，9×9×9＝5。

9×3＝3，(93＋8)×7＝837。

翻译告诉她，红毛族算术中所用的符号“＋、－、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同。

请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：89×57＝_____。

（1）8×8＝8，从这里可以看出两个一位数相乘，还是等于这个一位数。

1×1=1，0×0=0 （2）9×9×9＝5，三个一位数连乘还是等于一位数。

则2×2×2=8
（3）9×3＝3，和某个一位数相乘，还是这个一位数。

3为0。

8.例8(中环杯试题)
已知A*B＝A×B＋A＋B
则1 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9＝__________。

（1）当你看不出什么规律的时候，我们可以从最简单的入手。

1* 9=1×9+1+9=19，1* 9* 9=19×9+19+9=199，你发现规律了吗？
（2）要注意运算顺序，从左往右依次运算。

9.例9
64=2×2×2×2×2×2表示成f(64)=6；243=3×3×3×3×3表示成g(243)=5。

试求下列的值：f( )+ g(27)=6。

A．5 B．6 C．7 D．8
（1）f(64)=6，观察数字6和前面有什么样的关系？表示6个2连乘。

（2）g(243)=5，这里的5表示什么呢？表示几个几连乘呢？
（3）g(27)=几呢？
10.例10
定义a*b为a与b之间(包含a、b)所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7*14＝(7＋9＋11＋13)÷4＝10，18*10＝(18＋16＋14＋12＋10)÷5＝14。

在算式□
*(19*99)＝80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？
（1）奇数就是我们讲的单数，偶数就是我们说的双数。

奇偶性相同是什么意思呢？（2）先算出19*99=（19+21+23+……+99）÷41=59
（3）算式□*59＝80，平均数×2=80×2=160,160-59=101。

（4）如果是偶数，只能加到60，从100开始，平均数是80。

即100+98+96+94+ (60)
三、全课小结
定义新运算是一种人为的临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，这与四则运算中的符号表示的意义是不同的。

只要我们根据给出的表达式找出其中的规律，然后根据这种规律去解题即可。

四、作业：
完成课后习题。