第8章导行电磁波

Ez
E0
sin
m
a
x sin n
b
ye j(tkz z)
Hx
j kc2
n
a
E0
s
in
m
a
x cos n
b
ye j(tkz z)
Hy
j kc2
m
a
E0
c
os
m
a
x sin n
b
ye j(tkz z )
式中：
k 2ck 2xk 2y
m
a
2
n
b
2
在矩形波导中TM波的传输常数为
kc2 k 2
n D S
n B 0
对于TM波， 其边界条件为
Ez c 0
Ez
I (z)
j
t2
I (z)
j
kc2
由于kc≠0，所以有
0 c
对于TE波，其边界条件为
H z 0 n c
用横向分布函数表示时有 0
n c
对于TEM波，其边界条件为 Et c 0
或者是用横向分布函数表示为
0 n c
8.2 矩形波导
2 kc2 k 2
对于理想导波系统，k 为实数，而kc是由导波系
统横截面的边界条件决定的，也是实数。这样随着工作频率的 不同， γ2可能有下述三种情况：
(1) γ2<0， 即γ=jβ。此时导行波的场为
E E(u1, u2 )e j(tz)
(2) γ2>0，即γ=α。此时导行波的场为
E E(u1, u2 )eaxe jt
g p
0 r r
3. 相速、群速和色散
(1) 相速。
p
2
1
c
v c
r r
对于TEM波(λc→∞)，有
vp v
c
r r
(8 - 11a)
(2) 群速。群速是指一群具有相近的ω和kz的波群在传输过程 中的“共同”速度，或者说是已调波包络的速度。从物理概念
上来看， 这种速度就是能量的传播速度，其一般公式为
1 X
d2X dx2
k
2 x
1 Y
d 2Y dy2
k
2 x
且
kx2
k
2 y
kc2
X c1 cos kx x c2 sin kx x
于是Ez的通解是
Y c3 cos ky y c4 sin ky y
Ez (c1 cos kx x c2 sin kx x)(c3 cos ky y c4 sin ky y)
Ez E0 sin kxa sin k y y 0
欲使上式对所有y值都成立，kx必须满足下面关系：
kx
m
a
(m
1,2,3,...)
这里m不能等于零，否则kx=0，则Ez恒等于零，这不符合TM波的定义
Ez
E0
sin
m
a
x sin ky y
(4) 当y=b时，Ez=0，
Ez
E0
sin
a
x sin kyb
E (u1, u2 , z) Et (u1, u2 , z) Ez (u1, u2 , z) Et Ez
H (u1, u2 , z) H t (u1, u2 , z) H z (u1, u2 , z) Ht H z
t Ht jEz
t H z
ez
H t z
jEt
t Et jH z
Ez
I (z)
j
t2 (u1, u2 )
式中：
I (z) jU (z)dz
t2 j dU ( z) k 2 I (z) dz
上式左边仅是横向坐标(u1, u2)的函数，右边仅是纵向坐标z的函 数，要使等式成立，两边必须等于同一常数-k2c，即
t2 2c 0
dU ( z) dz
2 j
I (z) jZTM I (z)
Et U ( z)t
Ht I ( z)t ez
t2 0
dU (z) dz
jI ( z)
dI (z) dz
jU ( z)
式中：
U ( z)
A1e jz
I(z)
A1 ZTEM
e jz
ZTEM
kz
8.1.5 边界条件 图 8 - 1 导波系统横截面
n E 0 n H J S
ez
dS
1
2Z
S | Et |2 dS
Z 2
|
S
Ht
|2dS
式中Z=ZTE(或ZTM或ZTEM)。
8.1.4 模式电压与模式电流
1. TM
Et t (u1, u2 , z)
(u1, u2, z) U (z) (u1, u2 )
Et U (z)t (u1, u2 )
Ht I (z)t (u1, u2 ) ez
显然这不是传输波，而是沿z轴以指数规律衰减的，称其为 截止状态。
(3) γ=0。这是介于传输与截止之间的一种状态，称其为临
界状态， 它是决定电磁波能否在导波系统中传输的分水岭。这
时由 kc2 所k 2决定的频率(fc)和波长(λc)分别称为截止频率和截止
波长，并且
fc
kc
2
, c
fc
2
kc
其中 v 1/ 为无限介质中电磁波的相速，而kc称
式中 j kc2 k 2 ，ZTM=β/ωε。
dI ( z) j U ( z) j U ( z)
dz
ZTM
d 2U ( z) dz2
2U ( z)
d 2U ( z) dz2
2U ( z)
0
d 2I (z) dz2
2I (z)
d 2I (z) dz2
2I (z)
0
U ( z) A1e jz
4. 波阻抗
ZTE
Eu1 H u2
E
u2
H u1
ZTM
Eu Hv
E
v
Hu
k k
1
c
2
1
c
2
对于TEM波，有
ZTEM 120
r r
5. 传输功率 导波沿无耗规则导行系统+z方向传输的平均功率为
P0
Re
S
1 2
(
E
H
*
)
dS
1 2
Re
S
( Et
H
* t
)
0
欲使上式对所有x值都成立，ky必须满足下面关系：
ky
n
b
(n
1,2,3,...)
这样Ez的表示式为
Ez
E0
sin
m
a
x sin n
b
y
Ex
j
kz kc2
m
a
E0
c
os
m
a
x sin n
b
ye j(tkz z )
Ey
j
kz kc2
n
a
E0
s
in
n
a
x cos n
b
ye j(tkz z )
k
2 x
k
2 y
k2
m
2
n
2
2
a b
当传输常数γ=0所对应的频率为载止频率fc，且截止频率为
fc
kc
2
1
2
m
2
n
2
a b
当工作频率高于截止频率时，即f>fc，γ为纯虚数，γ=jβ=jkz， 电磁波才可能在波导中沿+z方向传输。这种z方向传输常数为
欲使上式对所有x值都成立，则c3应为零。此时c2不能为零， 因为若c2等于零，则Ez在非边界处也恒为零，这与TM波的情 况不符，因此只能取c3等于零。
Ez c2c4 sin kx x sin k y y E0 sin kx x sin k y y
(8 - 38)
(3) 当x=a时，Ez=0，式(8 - 38)变为
j
kc2
1 h2
Ez u2
Eu2
kc2
1 h2
H z u2
j
kc2
1 Ez h1 u1
8.1.2 导行波波型的分类
1. 横电磁波(TEM波)
此传输模式没有电磁场的纵向场量，即Ez=Hz=0，由式(8-6) 可知，要使Et和Ht不为零，必须有kc=0，即
kc2 k 2 j jkz
t Et 0, t2Et 0 t Ht 0, t2Ht 0
弦电磁波，它满足无源区域的麦克斯韦方程：
H jE E jH
H 0 E 0
采用广义坐标系(u1, u2, z)，其中u1和u2为导波装置横截面上 的坐标，z为纵向坐标。场强的纵向分量用Ez(u1, u2, z)和Hz(u1, u2, z)来表示，场强的横向分量用Et(u1, u2, z)和Ht(u1, u2, z)表示，则场 强矢量可表示为
I (z)
A1 ZTM
e jz
2. TE波
TE波型电场的纵向分量Ez=0，代入式(8 - 2a)得▽t×Ht=0。令
H t t (u1, u2 , z)
(u1, u2, z) I (z) (u1, u2 )
Ht I ( z)t (u1, u2 )
Et U (z)t ez
Hz
U (z)
Ht
1
ez
Et ,
2. 横电波(TE波)或磁波(H波)
此波型的特征是Ex=0, Hz≠0，所有的场分量可由纵向磁场分 量Hz求出。
3. 横磁波(TM波)或电波(E波)
此波型的特征是Hz=0，Ez≠0，所有的场分量可由纵向电场 分量Ez求出。
8.1.3
1. 截止波长与传输条件
导行波的场量都有因子e-γz(沿+z轴方向传输)，γ=α+jβ， 为传 播常数。由前面的推导可知
(1) 当x=0时，Ez=0(理想导体表面切向场为零)：
Ez c1(c3 cos ky y c4 sin ky y) 0
欲使上式对所有y值都成立，则c１应等于零。
Ez c2 sin kx x(c3 cos ky y c4 sin ky y)
(2) 当y=0时，Ez=0，
Ez c2c3 sin kx x 0
j
t2
Uz jI (z)dz
t2 kc2 0
dI (z) 2 U (z) j U (z)
dz
j
ZTE
dU (z) dz
jI ( z)
jZTE I ( z)
d 2U ( z) dz2
2U ( z)
d 2U ( z) dz2
2U ( z)
0
d 2I (z) dz2
2I (z)
2. 波导波长
kz
2 g
或
g
2
2
kz
在传输状态下，γ=jβ=jkz，
kz
k 2 kc2 k
1
kc2 k2
将kc=2π/λc，k=2π/λ=2π/λ0
代r入r上式得
2
2
kz k
1
c
2
1
c
所以可得 g
1
c
2
0 / r r
1
0 c
2
1
r r
对于TEM波，λc=∞，
Et
1 kc2
(t Ez
jz t H z )
Et
1 kc2
(t H z
jz t Ez )
将广义柱坐标系中的▽t算子代入，可得横向场分量的表达式为
Eu1
kc2
1 Ez h1 u1
j
kc2
1 h2
H z u2
Eu2
kc2
1 h2
Ez u2
j
kc2
1 H z h1 u1
H u1
kc2
1 H z h1 u1
d 2I (z) dz2
2I (z)
0
U ( z) A1e jz
I (z)
A1 ZTE
e jz
3. TEM
横电磁波的纵向电磁场分量都为零，即Ez=0，Hz=0，故E=Et, H=Ht。显然，如果TM波的Ez(或TM波的Hz)等于零，它就变成了 TEM波，但由式(8 -6)可知，此时必有kc=0，γ=jβ=jkz。这样Et 和 Ht仍可由式(8 - 15a)计算，即
为截止波数，并有
kc
2 c
这样导波系统传输TE波和TM波的条件为
f fc或 c
截止条件为
f fc或 c
对 于 TEM 波 ， 由 于 kc=0 ， 即 fc=0 ， λc=∞ ， 因 此 在 任 何 频 率 下 ， TEM都能满足f>fc=0的传输条件，均是传输状态。也就是说TEM 波不存在截止频率。
vg
d d
kz k 2 kc2 2 kc2
2
vg
d d
v
1
c
(8 - 11d)
可见，群速vg<v，并且
vg vp v2
对于TEM波(λc→∞)，有
vg vp v
(3) 色散。由式(8 - 11a)和(8 - 11d)可知，TE波和TM波的相 速和群速都随波长(即频率)而变化，称此现象为“色散”。因 此TE波和TM波(即非TEM波)称为“色散”波，而TEM波的相 速和群速相等， 且与频率无关， 称为“非色散” 。
t
Ez
ez
Et z
jHt
k 2
2 z 2
Et
z
t
Ez
jez t H z
k 2

2 z 2
H t
z
t
Hz
jez t Ez
2Et k 2Et 0, 2Ht k 2Ht 0
2Ez k 2Ez 0, 2H z k 2H z 0
式中 k 为电磁波在无限媒质中的波数。由分离变量法可 知，式(8 - 4b)中的Ez和Hz的解，可表示为f(u1, u２)e-γz的形式， 其 中 kc2 k 2 称为导行电磁波的转输常数。这样横向场分量 与纵向场分量间的关系可表示成
8.2.1 矩形波导中的TM
图 8 - 2 矩形波导
2Ez x 2
2Ez y 2
kc2 Ez
0
Ez ( x, y) X ( x)Y ( y)
Y
d2X dx2
X d 2Y dy2
2Ez
kc2 XY
上式两边除以XY，得
d 2 X d 2Y
dx2 X
dy2 Y
kc2
这里的x和y是互不相关的独立变量。欲使上式对任意x和y值 都成立，只有等式左边的两项分别等于常数。因此，可令
第八章 导行电磁波
8.1 沿均匀导波装置传输电磁波的一般分析 8.2 矩形波导 8.3 波导中的能量传输与损耗 8.4 同轴线 8.5 谐振腔
8.1 沿均匀导波装置传输电磁波的一般分析
8.1.1 在导波装置中电磁场纵向场分量与横向场分量间的关系 在无耗的媒质中电磁波沿+z方向传输，则对于角频率ω的正