2017版高考数学(理)考前三个月考前抢分必做 中档大题规范练2 含解析

中档大题规范练2 立体几何与空间向量

1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．

(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；

(2)求B 点到平面PCD 的距离；

(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为

63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由．

(1)证明 因为P A ＝PD ＝2，O 为AD 的中点，

所以PO ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，

所以PO ⊥平面ABCD .

(2)解 以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．

PB →＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，CP →＝(－1,0,1)，PD →＝(0,1，－

1)．

则⎩⎪⎨⎪⎧

u ·CP →＝－x ＋z ＝0，u ·

PD →＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)， B 点到平面PDC 的距离d ＝|BP →·u ||u |＝33

. (3)解 假设存在，则设PQ →＝λPD → (0<λ<1)，

因为PD →＝(0,1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)，

设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，

则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC →＝0，m ·AQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

a ＋

b ＝0，(λ＋1)b ＋(1－λ)

c ＝0， 所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，

平面CAD 的法向量n ＝(0,0,1)，

因为二面角Q —AC —D 的余弦值为63， 所以|m·n||m||n |＝63

， 所以3λ2－10λ＋3＝0，

所以λ＝13或λ＝3(舍去)，所以PQ QD ＝12

. 2．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .

(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；

(2)求二面角A —DF —C 的大小．

(1)证明 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，

则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)．

∵E 为AB 的中点，

∴E 点坐标为(1,1,0)，

∵D 1F ＝2FE ，

∴D 1F →＝23D 1E →＝23

(1,1，－2) ＝(23，23，－43

)， DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋(23，23，－43

) ＝(23，23，23

)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，

则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0，

取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1,0，－1)．

设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量，

则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，

取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1,1,1)．

∵n·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，

∴平面DFC ⊥平面D 1EC .

(2)解 设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量，

则q ·DF →＝0，q ·DA →＝0.

∴⎩⎪⎨⎪⎧

23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，

取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0,1，－1),

设二面角A —DF —C 的平面角为θ，

由题中条件可知θ∈(π2

，π)， 则cos θ＝－|n·q |n|·|q ||＝－0＋0＋12×2

＝－12， ∴二面角A —DF —C 的大小为120°.

3．如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．

(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；

(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．

解 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，

所以A 1B →＝(2,0，－4)，

C 1

D →＝(1，－1，－4)．

因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|

＝1820×18＝31010， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010

. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，

因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，

所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，

即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，

取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，

所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．

取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，

设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.

由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23

， 得sin θ＝53

.