高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结

系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线
线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得
2021到/10/1哪0 个结论，就必须满足什么条件等．
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【变式练习1】 如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角 边 AC 和 斜 边 AB 的 中 点 ， 沿 EF 将 △ AEF 折 起 到 △ A1EF 的 位 置 ， 连 结 A1B ， A1C. 求 证 ： (1)EF⊥平面A1EC； (2)AA1⊥平面A1BC.
所 以 A B C 是 等 边 三 角 形 ， B O＝ D O＝ 3，
在
矩
形
D1D
B
B
中
1
，
有
D1D DO
6 3
2，O B ＝ BP
3 ＝ 2， 6
2 所 以 D 1D O ∽ O B P， 所 以 D 1O D ＋ P O B＝ 9 0 ， 所 以 2021/10/10 P O D 1O ， 又 D 1O A C ＝ O ， 所 以 P O 平 面 D 1 A C1.2
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【解析】①中n可能在α内；②n与m可以垂 直；由线面垂直与面面垂直知③④是正确 的. 答案：③④ 选题感悟：本题呈现的是空间中的线线、 线面、面面之间的位置关系，能有效的考 查考生的空间想象能力和推理能力．
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3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝ ∠ ACD ＝ 90° ， ∠ BAC ＝ ∠ CAD ＝ 60° ， PA⊥ 平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2. (1)求四棱锥P－ABCD的体积V； (2)若F为PC的中点， 求证：PC⊥平面AEF； (3)求证：CE∥平面PAB.
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1．在线面垂直的定义中，一定要 弄清楚“任意”与“无数”这两个术 语内涵的差异，后者存在于前者 中．“任意”的理解最终转化为“两 条相交直线”，证明时此条件不可缺 少．
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2． 判 定 线 面 垂 直 的 方 法 ， 主 要 有 五 种 ： ①利用定义； ②利用判定定理； ③ 结 合 线 线 平 行 ： 若 a / /b， a ， 则 b ； ④面面垂直的性质： 若 ， ＝ b， a ， a b， 则 a ； ⑤面面平行的性质： 若 / /，a ，则a .
2A0211B/10⊥/10AM.
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证明线线垂直常构造一个 平面经过一条直线与另一条直 线垂直，从而达到由线面垂直 证明线线垂直的目的．
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【变 式练习2】
如
图
，
直
四
棱
柱
A
B
C
D
－
A1
B1C
1
D
中
1
，
侧
棱
A
A1＝
6，
底 面 A B C D 是 菱 形 ， A B＝ 2， A B C＝ 60， P为 侧 棱
所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA.
而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所
以NO⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为
AC的中点，所以MO⊥CD.
而MO∩NO＝O， 所以CD⊥平面MNO，所 以
2021C/10D/10⊥MN.
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(2)连结NR， 则∠NRM＝∠PDA＝45°. 又O为MR的中点， 且NO⊥MR， 所 以 △ MNR 为 等 腰 三 角 形 且 ∠ NRM ＝ ∠NMR＝45°， 所以∠MNR＝90°，所以MN⊥NR. 又 MN⊥CD ， 且 NR∩CD ＝ R ， 所 以 MN⊥平面PCD.
因 为 D 1O
AC＝
O，
D 1O ，
AC
平
面
A
C
D
，
1
20所21/1以0/10O E 平 面 A C D 1 .
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要证线面垂直可找线线垂 直，这是几何中证明线面垂直 时常用的方法，在证明线线垂 直时，要注意从数量关系方面 找垂直，如利用勾股定理等．
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【变式练习3】 直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°， AB ＝ 2AD ＝ 2CD ＝ 2. 求 证 ： AC⊥ 平 面
而 B B1
BC＝
B，
B
B
，
1
BC
平
面
B B1C 1C .
所 以 A C 平 面 B B1C 1C .
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1.有下列四个命题：
①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则
这条直线与这个平面互相垂直；
②若两条直线互相垂直，其中一条垂直于一个平
面，则另一条直线与该平面平行；
③若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条
2 取 A1C的 中 点 M ， 连 结 E M ， 又 因 为 E 为 A C的 中 点 ，
所 以 E M A A1， A1 E＝ C E ，
所 以 E M A1C ， 所 以 A A1 A1C ，
又 因 为 E F 平 面 A1E C ， A1 A 平 面 A1E C ， 所 以 A A1 E F ，
又 E F B C， 所 以 A A1 B C，
又 A C 2021/10/110 B C ＝ C ， 所 以 A A1 平 面 A1 B C .
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用线面垂直的性质 定理证明线线垂直
【例2】 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，ACB＝90， CB＝1，CA＝3，，C1C＝6，M是CC1的中点， 求证：A1BAM.
直线互相平行；
④若一条直线和一个平面不垂直，则这个平面内
不存在与该条直线垂直的直线．
202其1/10中/10 错误的命题是___①__②__④________.
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2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长 为 2 ， M 是 AD1 上 任 意 一 点 ， M 到 平 面 BCB1的距离是___2____.
B B1上 的 动 点 ．
1求 证 ： D1P AC；
2 设 AC BD＝ O，
求 当 B1P 等 于 多 少 时 ， PB
PO 平 面 D1AC ?
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【 解 析 】1 证 明 ：
因 为 ABCD为 菱 形 ， 所 以 AC BD. 连 结 B1D1. 因 为 D1D 底 面 ABCD， 所 以 AC D1D. 又 BD D1D＝ D， 所 以 AC 平 面 BB1D1D . 因 为 D1P 平 面 BB1D1D， 所 以 D1P AC .
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5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、 N分别是AB、PC的中点． (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°， 求证：MN⊥平面PCD.
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【证明】(1)连结AC，取其
中点O，连结NO、MO，并
延长MO交CD于R.
因为N为PC的中点，
所以DC / /EB. 又 因 为 DC 平 面 ABE， EB 平 面 ABE， 所以DC / /平面ABE.
2因为DC 平面ABC，所以DC AF .
又 因 为 BAC＝ ， 且 AB＝ AC， 所 以 AF BC .
2 而 BC DC＝ C， 所 以 AF 平 面 BCDE.
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【证明】如图，∠ACB＝90°，
所以BC⊥AC.
又在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，所以BC⊥CC1. 而AC∩CC1＝C， 所以BC⊥平面AA1C1C， 所以BC⊥AM.
连结A1C.
可以证明Rt△ACM∽Rt△AA1C，所以AM⊥A1C.
而 A1C∩BC ＝ C ， 所 以 AM⊥ 平 面 A1BC ， 所 以
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本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂
直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证
能力．立体几何的证明关键是学会分析和掌握
一些常规的证明方法．如：已知中点证明垂直
时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；
已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出
来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关
为
a .易
证
A
E＝
C
E
.
又 因 为 AO＝ O C， 所 以 O E AC .
在
正
方
体
D
B
中
1
易
求
出
：
D 1O ＝
D
D
2 1
DO
2＝
Hale Waihona Puke 6 a， 2O E＝
B
E
2 1
O
B
2＝
3 a， 2
D 1E＝
D
1
B
2 1
B1E 2＝
3 2
a，
所
以
D 1O 2＋
OE
2＝
D 1 E 2，
所 以 D 1O O E .
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3.如图，在正方形SG1G2G3中， E，F分别是G1G2，G2G3的中 点，D是EF的中点，现沿SE，
SF及EF把这个正方形折成
一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这 样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥
平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；
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因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD. 而PD 平面PCD，所以AE⊥PD. 又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB. 由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥ 平面PAD. 又PD 平面PAD，所以AB⊥PD. 因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
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【解析】由题意知，PO平面ABCD，AB＝3， PB＝4，设PO＝h，OB＝x， 则PA2＝h2＋9－x2＝16－x2－x2＋9＝25－2x2， 又因为0 x 3，所以725－2x2 25， 所以 7 PA5.
答案：( 7，5)
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3．面面垂直的性质的理解中三个条 件也不可缺少，即： ①两个平面垂直； ②其中一个平面内的直线； ③垂直于交线．所以无论何时见到已知两 个平面垂直，都要首先找其交线，看是否 存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助 线，这样就能目标明确，事半功倍．
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1．已知四棱锥P－ABCD的顶点P在底面的 射影恰好是底面菱形ABCD的两条对角线 的交点，若AB＝3，PB＝4，则PA长度的取 值范围为____________．
⑤GD⊥平面SEF.其中正确的是__①__④___.
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4.在几何体ABCDE中，BAC＝，DC平面
2 ABC，EB平面ABC，F是BC的中点，AB＝AC.
求证： 1DC 平面ABE； 2AF平面BCDE.
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【 证 明 】1因 为 DC 平 面 ABC， EB 平 面 ABC，
通过计算证明线 线垂直
【例3】 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1中，E是BB1的中点， O 是 底 面 正 方 形 ABCD 的 中 心．求证：OE⊥平面ACD1.
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【
证
明
】
如
图
，
连
结
A
E，
C
E，
D 1O ，
D
1
B
，
1
D 1E
.
设
正
方
体
D
B
的
1
棱
长
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2 当
B1P ＝1时 ， PB
PO
平面
D1AC .
证 明 ： 连 结 D1O， 因 为 底 面 A B C D 是 菱 形 ，
所 以 O是 AC， BD的 中 点 ，
因 为 P A＝ P C ， O A＝ O C ， 所 以 P O A C ，
又 因 为 A B C ＝ 6 0 ， A B＝ 2 ，
BB1C1C.
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【
证
明
】
直
棱
柱
A
B
C
D－
A1 B 1C
1D
中
1
，
BB1 平 面 ABC D， 所 以 BB1 AC .
又 因 为 B A D＝ A D C ＝ 9 0 ， A B
＝ 2AD＝ 2C D＝ 2，
所 以 A C ＝ 2， C A B＝ 4 5 ，
所 以 B C＝ 2， 所 以 B C A C .
用定义或判定定理
【例1】
证明线面垂直
如图，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60°， PA＝AB＝BC，E是PC的中 点．证明：
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【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥ 底面ABCD，CD 平面ABCD，故PA⊥CD. 又 因 为 AC⊥CD ， PA∩AC ＝ A ， 所 以 CD⊥ 平 面PAC. 而AE 平面PAC，所以CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得△ABC 是等边三角形，故AC＝PA.
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【 证 明 】1 因 为 E， F 分 别 为 A C 和 A B的 中 点 ，
所 以 EF / /BC，
因 为 A C B C， 所 以 E F E C， E F A1E，
又 A1E C E＝ E， A1E 平 面 A1E C ， C E 平 面 A1E C ，
所 以 E F 平 面 A1E C .