概率论与数理统计笔记(重要公式)
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+ P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
(1) 设 P(AB)>0，则 P(ABC) = P(A) P(B|A) P(C|AB) (2) 设 P(A1A2…An-1)>0，则 P(A1A2…An) = P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1) 全概率公式: 设随机试验对应的样本空间为 Ω，设 A1, A2, …, An 是样 本空间 Ω 的一个划分，B 是任意一个事件，则 P(B) =
k 1
概率的乘法公式： 当 P(A)>0 时，P(AB)= P(A)P(B|A) 当 P(B)>0 时，P(AB)= P(B)P(A|B) 乘法公式还可以推广到 n 个事件的情况：
n 重贝努利(Bernoulli)试验: Pn(k) =
C
k n
pk(1-p)n-k, k=0, 1, 2, …, n.(q=1-p)
i 1
n
P(Ai)P(B|Ai)
当 A1,.A2, … An 互不相容时，(其中 n 为正整数) P(A1∪A2∪…∪An) = P(A1) +P(A2)+…+P(An) (3) P(B-A) = P(B)-P(AB) 特别地，当 A B 时，P(B-A) = P(B)-P(A) ，且 P(A) ≤P(B) (4)P( A )=1-P(A) 古典概型: P(A) =
A
r n
按乘法原理，取出的第一个元素有 n 种取法，取出的第 二个元素有 n-1 种取法……取出的第 r 个元素有 n-r+1 种取法，则有
＝nX(n-1)X…X(n-r+1)= 都相互独立 n (n r )! 定义：设 A, B, C 为 3 个事件，若满足 P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C), r 当 r=n 时，则称为全排列，排列总数为 n ＝n! P(ABC) = P(A)P(B)P(C)，则称 A, B, C 相互独立，简称 A, B, C 独立 组合：从 n 个不同元素中任取 r(r≤n)个元素排成一组(不 定义：设 A, B, C 为 3 个事件，若满足 考虑元素间的次序)称此为一个组合， 此种组合总数记为 P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), n r 或( )。按乘法原理，此种组合的总数为 则称 A, B, C 两两独立 n r A, B, C 独立必有 A, B, C 两两独立，但反之不然 定义：设 A1, A2, …, An 为 n 个事件，若对于任意整数 r n n! nX(n - 1)XX(n - r 1) r k(1≤k≤n)和任意 k 个整数 1≤i1<i2<…<ik≤n，有 ＝( )＝ n ＝ ＝ n r r! r! r!(n r )! P(Ai1, Ai2, …, Aik) = P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik) 则称 A1, A2, …, An 相互独立 n 0 在此规定 0！＝1， n ＝( )＝1 直观上说，n 个事件的独立性要求 n 个事件中任取 2 0 个、3 个…n 个组成的积事件的概率等于每个事件概率 的乘积 2. 性质 对于 n 个相互独立事件 A1, A2, …, An， 其和事件的概率 r nr ＝ n 事实上， n 可以通过下式计算：
lim F(x)=0, lim F(x)=1
n n
(4) F(x)右连续，即 F(x+0)=
lim
F(x+∆x)= F(x)
x 0
已知 F(x)，可求概率： (1) P{X≤b}=F(b) (2) P{a<X≤b}=F(b)-F(a), 其中 a<b (3) P{X>b}=1-F(b)
A
r
n!
A
C C
A
C
C C
C
P(A1∪A2∪ …∪ An) = 1-P( A1 A2 … An ) = 1-P( A1 )P( A2 )…P( An )
r
＝ n
n! n! nr ＝ ＝Cn r!(n r )! (n r )![n (n r )]!
特别地，
C
n n
＝
C
0 n
＝1
高等自学考试考试“专接本”概率论与数理统计笔记（重要公式） 第二章 随机变量及其概率分布 离散型随机变量 若随机变量 X 只取有限多个或可列无限多个值， 则称 X 为 离散型随机变量： P {X= xk }= pk, k=1, 2, …. 连续型随机变量 若随机变量 X 的分布函数 F(x)， 存在非负函数 f(x)， 设 E 是随机试验， 样本空间为 Ω， 如果对于每一结果(样 x 本点)ω∈Ω，有一个实数 X(ω)与之对应，得到一个定义 f (t )dt 则称 X 为 使得对任意实数 x 有 F(x) = 在 Ω 上的实值函数 X= X(ω)，称为随机变量，通常用 连续型随机变量，并称 f(x)为 X 的概率密度函数 X, Y, Z,…或 X1, X2,…来表示
AB = A ∪ B
设 A1, A2, …, An 是样本空间 Ω 的一个划分， B 是任意一 个事件，且 p(B)>0，则 P(Ai|B)=
P ( AB ) . P ( A)
P( Ai ) P( B | Ai) P( Ai ) P( B | Ai) = n , i=1,..,n P(B) P( Ak ) P( B | Ak)
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
高等自学考试考试“专接本”概率论与数理统计笔记（重要公式） 事件的独立性: 定义：若 P(AB)=P(A)P(B)，则称 A 与 B 相互独立，简 称 A, B 独立。 性质： (1) 设 P(A) >0， 则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 P(B)= P(B|A). 设 P(B) >0，则 A 与 B 相互独立的充分 必要条件是 P(A)= P(A|B). (2) 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 附录 排列: 从 n 个不同元素中任取 r(r≤n)个元素排成一列(考虑元素 次序)称此为一个排列，此种排列总数记为
高等自学考试考试“专接本”概率论与数理统计笔记（重要公式） 第一章 随机事件与概率 随机事件的关系与运算： 1. 事件的包含与相等 若 A 发生必然导致 B 发生， 则称 B 包含 A， 记作 B A, A B。有：ø A Ω 若 A B 且 B A，则称 A 与 B 相等，记作 A = B。 2. 和事件(并) 称”A,B 中至少有一个发生”为 A 与 B 的和事件， 记作 A∪B 或 A+B。有：(1) A A∪B, B A∪B (2) 若 A B, 则 A∪B = B 3. 积事件(交) 称”A,B 同时发生”为 A 与 B 的积事件，记作 A∩B， 简记为 AB。有： (1) AB A, AB B (2)若 A B，则 AB = A 4. 差事件 称”A 发生而 B 不发生”为 A 与 B 的差事件， 记作 A-B。 有：(1) A-B A (2) 若 A B，则 A-B = ø 5. 互不相容 若 A 与 B 不能同时发生，即 AB= ø ，则称 A 与 B 是 互不相容的两个事件， 简称 A 与 B 互不相容(或互斥) 6. 对立事件 称”A 不发生”为 A 的对立事件(或余事件， 或逆事件)， 记作 Ā。 若 A 与 B 中至少有一个发生，且 A 与 B 互不相容， 即 A∪B=Ω,AB= ø，则称 A 与 B 互为对立事件。有： (1) A = A. (2) = ø , =Ω. (3) A - B = AB = A - AB 注意：若 A 与 B 为对立事件，则 A 与 B 互不相容。 但反过来不一定成立. 概率的定义与性质: 设 Ω 为随机试验 E 的样本空间，对于 E 的每个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A)，称 P(A)为事件 A 的概率， 如果它满足下列条件： (1)P(A)≥0; (2)P(Ω) = 1; (3)A1,.A2, … Am,…是一列互不 相容的事件，则有 P(
随机变量的分布函数: 设 X 为随机变量，称函数 F(x)=P{X≤x}, x∈(-∞, +∞) 为 X 的分布函数. F(x)=
xk x
p
k
分布函数的性质： (1) 0≤F(x)≤1 (2) F(x)是不减函数，即对于任意的 x1<x2 有 F(x1)≤F(x2) (3) F(-∞)=0, F(+∞)=1 即
1 e x x 0 其分布函数为 f ( x) 。 x0 0
对任意的 s>0, t>0，有 P{X>s+t|X>s}= P{X>t}(指数分布 其中 0<p<1, p+q=1，则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布。 其中 λ>0 为常数， 则称 X 服从参数为 λ 的指数分布， 的无记忆性)
k 1
Ak) =
k 1
≤ 1, P (Φ) = 0 (2) P(A∪B) = P(A) + P(B)-P(AB) 特别地，当 A 与 B 互不相容时，P(A∪B) = P(A) + P(B) 推广： 对于任意事件 A, B, C 有 P(A∪B∪C) = P(A) + P(B)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
当 0 < P(A) < 1 时，A 与 A 就是 Ω 的一个划分，又设 B 为任一事件， 则全概率公式的最简单形式为 P(B)=P(A) P(B|A)+ P( A ) P(B| A ) 运算律: 交换律：A∪B = B∪A, A∩B = B∩A 结合律：A∪(B∪C) = (A∪B)∪C, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
(1) 设 P(AB)>0，则 P(ABC) = P(A) P(B|A) P(C|AB) (2) 设 P(A1A2…An-1)>0，则 P(A1A2…An) = P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1) 全概率公式: 设随机试验对应的样本空间为 Ω，设 A1, A2, …, An 是样 本空间 Ω 的一个划分，B 是任意一个事件，则 P(B) =
k 1
概率的乘法公式： 当 P(A)>0 时，P(AB)= P(A)P(B|A) 当 P(B)>0 时，P(AB)= P(B)P(A|B) 乘法公式还可以推广到 n 个事件的情况：
n 重贝努利(Bernoulli)试验: Pn(k) =
C
k n
pk(1-p)n-k, k=0, 1, 2, …, n.(q=1-p)
i 1
n
P(Ai)P(B|Ai)
当 A1,.A2, … An 互不相容时，(其中 n 为正整数) P(A1∪A2∪…∪An) = P(A1) +P(A2)+…+P(An) (3) P(B-A) = P(B)-P(AB) 特别地，当 A B 时，P(B-A) = P(B)-P(A) ，且 P(A) ≤P(B) (4)P( A )=1-P(A) 古典概型: P(A) =
A
r n
按乘法原理，取出的第一个元素有 n 种取法，取出的第 二个元素有 n-1 种取法……取出的第 r 个元素有 n-r+1 种取法，则有
＝nX(n-1)X…X(n-r+1)= 都相互独立 n (n r )! 定义：设 A, B, C 为 3 个事件，若满足 P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C), r 当 r=n 时，则称为全排列，排列总数为 n ＝n! P(ABC) = P(A)P(B)P(C)，则称 A, B, C 相互独立，简称 A, B, C 独立 组合：从 n 个不同元素中任取 r(r≤n)个元素排成一组(不 定义：设 A, B, C 为 3 个事件，若满足 考虑元素间的次序)称此为一个组合， 此种组合总数记为 P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), n r 或( )。按乘法原理，此种组合的总数为 则称 A, B, C 两两独立 n r A, B, C 独立必有 A, B, C 两两独立，但反之不然 定义：设 A1, A2, …, An 为 n 个事件，若对于任意整数 r n n! nX(n - 1)XX(n - r 1) r k(1≤k≤n)和任意 k 个整数 1≤i1<i2<…<ik≤n，有 ＝( )＝ n ＝ ＝ n r r! r! r!(n r )! P(Ai1, Ai2, …, Aik) = P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik) 则称 A1, A2, …, An 相互独立 n 0 在此规定 0！＝1， n ＝( )＝1 直观上说，n 个事件的独立性要求 n 个事件中任取 2 0 个、3 个…n 个组成的积事件的概率等于每个事件概率 的乘积 2. 性质 对于 n 个相互独立事件 A1, A2, …, An， 其和事件的概率 r nr ＝ n 事实上， n 可以通过下式计算：
lim F(x)=0, lim F(x)=1
n n
(4) F(x)右连续，即 F(x+0)=
lim
F(x+∆x)= F(x)
x 0
已知 F(x)，可求概率： (1) P{X≤b}=F(b) (2) P{a<X≤b}=F(b)-F(a), 其中 a<b (3) P{X>b}=1-F(b)
A
r
n!
A
C C
A
C
C C
C
P(A1∪A2∪ …∪ An) = 1-P( A1 A2 … An ) = 1-P( A1 )P( A2 )…P( An )
r
＝ n
n! n! nr ＝ ＝Cn r!(n r )! (n r )![n (n r )]!
特别地，
C
n n
＝
C
0 n
＝1
高等自学考试考试“专接本”概率论与数理统计笔记（重要公式） 第二章 随机变量及其概率分布 离散型随机变量 若随机变量 X 只取有限多个或可列无限多个值， 则称 X 为 离散型随机变量： P {X= xk }= pk, k=1, 2, …. 连续型随机变量 若随机变量 X 的分布函数 F(x)， 存在非负函数 f(x)， 设 E 是随机试验， 样本空间为 Ω， 如果对于每一结果(样 x 本点)ω∈Ω，有一个实数 X(ω)与之对应，得到一个定义 f (t )dt 则称 X 为 使得对任意实数 x 有 F(x) = 在 Ω 上的实值函数 X= X(ω)，称为随机变量，通常用 连续型随机变量，并称 f(x)为 X 的概率密度函数 X, Y, Z,…或 X1, X2,…来表示
AB = A ∪ B
设 A1, A2, …, An 是样本空间 Ω 的一个划分， B 是任意一 个事件，且 p(B)>0，则 P(Ai|B)=
P ( AB ) . P ( A)
P( Ai ) P( B | Ai) P( Ai ) P( B | Ai) = n , i=1,..,n P(B) P( Ak ) P( B | Ak)
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
高等自学考试考试“专接本”概率论与数理统计笔记（重要公式） 事件的独立性: 定义：若 P(AB)=P(A)P(B)，则称 A 与 B 相互独立，简 称 A, B 独立。 性质： (1) 设 P(A) >0， 则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 P(B)= P(B|A). 设 P(B) >0，则 A 与 B 相互独立的充分 必要条件是 P(A)= P(A|B). (2) 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 附录 排列: 从 n 个不同元素中任取 r(r≤n)个元素排成一列(考虑元素 次序)称此为一个排列，此种排列总数记为
高等自学考试考试“专接本”概率论与数理统计笔记（重要公式） 第一章 随机事件与概率 随机事件的关系与运算： 1. 事件的包含与相等 若 A 发生必然导致 B 发生， 则称 B 包含 A， 记作 B A, A B。有：ø A Ω 若 A B 且 B A，则称 A 与 B 相等，记作 A = B。 2. 和事件(并) 称”A,B 中至少有一个发生”为 A 与 B 的和事件， 记作 A∪B 或 A+B。有：(1) A A∪B, B A∪B (2) 若 A B, 则 A∪B = B 3. 积事件(交) 称”A,B 同时发生”为 A 与 B 的积事件，记作 A∩B， 简记为 AB。有： (1) AB A, AB B (2)若 A B，则 AB = A 4. 差事件 称”A 发生而 B 不发生”为 A 与 B 的差事件， 记作 A-B。 有：(1) A-B A (2) 若 A B，则 A-B = ø 5. 互不相容 若 A 与 B 不能同时发生，即 AB= ø ，则称 A 与 B 是 互不相容的两个事件， 简称 A 与 B 互不相容(或互斥) 6. 对立事件 称”A 不发生”为 A 的对立事件(或余事件， 或逆事件)， 记作 Ā。 若 A 与 B 中至少有一个发生，且 A 与 B 互不相容， 即 A∪B=Ω,AB= ø，则称 A 与 B 互为对立事件。有： (1) A = A. (2) = ø , =Ω. (3) A - B = AB = A - AB 注意：若 A 与 B 为对立事件，则 A 与 B 互不相容。 但反过来不一定成立. 概率的定义与性质: 设 Ω 为随机试验 E 的样本空间，对于 E 的每个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A)，称 P(A)为事件 A 的概率， 如果它满足下列条件： (1)P(A)≥0; (2)P(Ω) = 1; (3)A1,.A2, … Am,…是一列互不 相容的事件，则有 P(
随机变量的分布函数: 设 X 为随机变量，称函数 F(x)=P{X≤x}, x∈(-∞, +∞) 为 X 的分布函数. F(x)=
xk x
p
k
分布函数的性质： (1) 0≤F(x)≤1 (2) F(x)是不减函数，即对于任意的 x1<x2 有 F(x1)≤F(x2) (3) F(-∞)=0, F(+∞)=1 即
1 e x x 0 其分布函数为 f ( x) 。 x0 0
对任意的 s>0, t>0，有 P{X>s+t|X>s}= P{X>t}(指数分布 其中 0<p<1, p+q=1，则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布。 其中 λ>0 为常数， 则称 X 服从参数为 λ 的指数分布， 的无记忆性)
k 1
Ak) =
k 1
≤ 1, P (Φ) = 0 (2) P(A∪B) = P(A) + P(B)-P(AB) 特别地，当 A 与 B 互不相容时，P(A∪B) = P(A) + P(B) 推广： 对于任意事件 A, B, C 有 P(A∪B∪C) = P(A) + P(B)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
当 0 < P(A) < 1 时，A 与 A 就是 Ω 的一个划分，又设 B 为任一事件， 则全概率公式的最简单形式为 P(B)=P(A) P(B|A)+ P( A ) P(B| A ) 运算律: 交换律：A∪B = B∪A, A∩B = B∩A 结合律：A∪(B∪C) = (A∪B)∪C, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)