中考隐形圆——定高定角（探照灯）模型

中考隐形圆——定⾼定⾓（探照灯）模型
轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较⼤。

⽼师在教学中发现，很多学⽣不能很好地解决这类问题或者说拿
到此类题⽬，感觉⽆从下⼿。

课本中没有将轨迹问题单列章节来讲，本知识点属于延伸知识。

学⽣对这部分知识没有进⾏系统性的学习，导致学⽣对轨迹问题概念模糊、认识不⾜。

但是陕
西中考数学压轴题连续6年考查了此类问题，这就对我们提出了更⾼的要求，来深⼊研究怎样让学⽣更好的掌握轨迹思想来解决问题的能⼒和⽅法。

定⾓定⾼模型（⼜称为探照灯模型）
在我们探索定⾓定⾼模型之前，我们先要了解什么是定⾓定⾼模型？
如图，已知直线l外⼀点P，点P到直线AB的距离为定值h(定⾼），∠APB的度数为定值（定⾓），则AB有最⼩值。

⼜因为像探照灯⼀样，所以⼜称为探照灯模型。

定⾓定⾼问题解题策略
已知直线l外⼀点P，点P到直线AB的距离为定值h(定⾼），∠APB的度数为定值（定⾓），怎样求线段AB的最⼩值呢？怎样求△APB⾯积的最⼩值呢？
作△APB的外接圆○O，∵∠APB是定值，PD=h是定值（定⾼），点P的运动轨迹是距直线l距离为h，且平⾏于l的直线。

当点P运动时，△APB的外接圆（○O）的⼤⼩也随之变化，即外接圆的半径随点P的运动⽽发⽣变化。

从⽽弦AB的长度也发⽣变化，它会有⼀个最⼩值，由于它的⾼PD是定值，因此三⾓形APB的⾯积就有⼀个最⼩值。

猜想：∵PD过圆⼼时，这个外接圆是最⼩的，也就是，AB的长最⼩，从⽽△APB⾯积也最⼩。

理由：
连接OA、OB、OP,过点O作OM⊥AB交AB于点M，
显然，PD≤OP+OM,
当且仅当P、O、M三点共线时，取等号“=”
∵∠APB的⾓度是定值，⽽且它是○O的圆周⾓，因此它所对的圆⼼⾓∠AOB的度数也是定值。

∴OM与圆的半径有⼀个固定的关系.
设○O的半径为R，
则OM=Rcos∠AOM=Rcos∠APB
∵PD≤OM+OP
∴h≤Rcos∠APB+R
即Rcos∠APB+R=h,此时R取最⼩值R=h/cos∠APB+1
此时AB最⼩值为2Rsin∠APB
总结
1.定⾓定⾼三⾓形⾯积最⼩时，该三⾓形为等腰三⾓形，其定⾼是所对底边的垂直平分线，或者说定⾼过该三⾓形外接圆圆⼼。

2.定⾓可以看作圆周⾓，因此所对的圆⼼⾓不变，往往要通过圆⼼⾓所在等腰三⾓形中解直⾓三⾓形（构造直⾓三⾓形）。

【基础问题】
（2019陕西定⼼卷）如图，已知点A是直线l外⼀点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且
AD=3，∠BAC=60°，求△ABC⾯积的最⼩值。

解析：由题⽬可知，∠BAC=60°（定⾓），AB=3,（定⾼）这是⼀道很基础的定⾓定⾼问题。

作△ABC的外接圆○O，连接OA、OB、OC，
过点O作OM⊥BC交BC于点M，则∠BOC=2∠BAC，
OA=OB=OC,
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°
∠OBM=∠OCM=30°，
设OA=OB=OC=r
则OM=0.5r，
BM=（根号3/2）rBC=2BM=根号3r
∵AD≤AO+OE, AD=3;
∴r+0.5r≥3,
解得r≥2,所以S△ABC=1/2BC×AD≥1/2×2根号3×3=3根号3
△ABC⾯积的最⼩值为3倍根号三。