湖北省十堰市2020年中考数学模拟试卷(含答案)

湖北省十堰市2020年中考数学模拟试卷
一．选择题（每题3分，满分30分）
1．﹣6的绝对值等于（）
A．6 B．C．﹣D．﹣6
2．如图，AB∥CD，∠1＝56°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）
A．122°B．152°C．116°D．124°
3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（）
A．（x﹣8y）（x﹣y）＝x2+8y2B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3+x2﹣x D．（6xy+18x）÷x＝6y+18
5．在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（）
A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m
6．下列说法错误的是（）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且垂直的四边形是正方形
7．某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）
A．B．
C．D．
8．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（）
A．2 B．C．D．1
9．观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中规律，72019的结果的个位数字是（）
A．7 B．9 C．1 D．3
10．如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为（）
A．B．C．D．4
二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．分解因式：m2n﹣4mn﹣4n＝．
12．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为．
13．某校七年级共380名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中20名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有人．
14．对于两个非零的有理数a，b，规定a⊗b＝2b﹣3a，若（5﹣x）⊗（2x+1）＝1，则x的值为．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝．点P为AD边上任意一点，连结PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．若点Q恰好落在平行四边形ABCD 的边所在的直线上，则PB旋转到PQ所扫过的面积（结果保留π）．
16．如图，E，F分别是边长为2cm的正方形ABCD的边AD，CD上的动点，满足AE＝DF，连接BE，AF交于G，连接DG，则DG的最小值是．
三．解答题
17．（5分）计算
18．（6分）化简求值：，其中x＝．
19．（7分）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且
D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）
20．（7分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）该班共有名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为；
（4）学校将举办体育节，该班将推选5位同学参加乒乓球活动，有3位男同学（A，B，C）和2位女同学（D，E），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．
21．（7分）关于x的方程mx2+（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
22．（8分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
23．（10分）某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A 与获利240元的B数量相等．
（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．
（1）填空：PC＝，FC＝；（用含x的代数式表示）
（2）求△PEF面积的最小值；
（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
25．如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，
（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S
最大时，连接
△PBD
AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N 位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值
（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：根据绝对值的性质，
|﹣6|＝6，
故选：A．
2．解：∵AB∥CD，∠1＝56°，
∴∠ECD＝∠1＝56°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD＝∠ECD＝28°，
∴∠FGB＝180°﹣∠GFD＝152°，
故选：B．
3．解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，故选：B．
4．解：∵（x﹣8y）（x﹣y）＝x2﹣9xy+8y2，故选项A错误；
∵（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项B错误；
∵﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3﹣x2+x，故选项C错误；
∵（6xy+18x）÷x＝6y+18，故选项D正确；
故选：D．
5．解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
9.7m出现了2次，最多，
所以众数为9.7m，
故选：B．
6．解：①由平行四边形的判定可知A正确；
②由矩形的判定可知B正确；
③因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
故C正确；
④D选项中再加上一个条件：对角线互相平分，可证其是正方形，故D错误；
故选：D．
7．解：由题意可得，
，
故选：A．
8．解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OD⊥弦BC，OB＝OC，
∴∠ODC＝90°，∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
故选：D．
9．解：∵71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴这些数的个位数字依次以7，9，3，1出现，
∵2019÷4＝504…3，
∴72019的结果的个位数字是3，
故选：D．
10．解：如图，过点A作AE⊥OC于E，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S
△AOE ＝S
△AOC
，
∵OA∥BC，
∴S
△OAD ＝S
△OAC
＝2，
∴S
＝＝，
△AOE
∴k＝2
故选：C．
二．填空题
11．解：m2n﹣4mn﹣4n＝n（m2﹣4m﹣4）．
故答案为n（m2﹣4m﹣4）．
12．解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°﹣360°＝180°，
解得n＝5．
故答案为：5．
13．解：随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有20名学生成绩达到优秀，∴样本优秀率为：20÷50＝40%，
又∵某校七年级共328名学生参加数学测试，
∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：380×40%＝152人．
故答案为：152；
14．解：根据题中的新定义化简得：2（2x+1）﹣3（5﹣x）＝1，
去括号得：4x+2﹣15+3x＝1，
移项合并得：7x＝14，
解得：x＝2，
故答案为：2．
15．解：如图1中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF 是矩形．
在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，
∵AB＝10，
∴BE＝8，AE＝6，
∴PF＝BE＝8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，
∴PF＝BF＝FQ＝8，
∴PB＝PQ＝8，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝＝32π；
②如图2中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．
则△PBE≌△QPF（AAS），
∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，
∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，
∵CD∥AB，
∴∠FDQ＝∠A，
∴tan∠FDQ＝tan A＝＝，
∴＝，
∴x＝4，
∴PE＝4，
在Rt△PEB中，PB＝＝4，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝＝20π；
③如图3中，
当点Q落在AD上时，易知PB＝PQ＝8，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝＝16π，
综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π，故答案为：32π或20π或16π．
16．解：如图，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°＝∠ADF
又∵AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS）
∴∠DAF＝∠ABE
∴∠BAG+∠DAF＝90°
∴∠ABE+∠BAG＝90°
∴∠AGB＝90°
∴点G在以AB为直径的圆O上，
∴当点G在OD上时，DG的长最小，
∴DG＝OD﹣OG＝﹣1＝﹣1
故答案为：﹣1
三．解答题
17．解：
＝2﹣1+﹣1
＝．
18．解：原式＝•
＝
＝﹣x（x+1）
＝﹣x2﹣x
当x＝时，原式＝﹣2﹣．
19．解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：
则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC＝5，
设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，
在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，
∴DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，
在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，tan∠BAC＝，
∴＝
解得：x＝，
答：建筑物BC的高为m．
20．解：（1）
由题意可知该班的总人数＝15÷30%＝50（名）
故答案为：50；
（2）足球项目所占的人数＝50×18%＝9（名），所以其它项目所占人数＝50﹣15﹣9﹣16＝10（名）
补全条形统计图如图所示：
（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数＝360°×＝115.2°，
故答案为：115.2°；
（4）画树状图如图．
由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，所以P（恰好选出一男一女）＝＝．
21．解：（1）∵关于x的方程mx2+（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根，∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
（2）假设存在，设方程的两根分别为x
1、x
2
，则x
1
+x
2
＝﹣，x
1
x
2
＝．
∵+＝＝﹣＝0，
∴m＝﹣2．
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m＝﹣2不符合题意，舍去．
∴假设不成立，即不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．22．解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OC tan∠COB＝5．
23．解：（1）设制作一件A获利x元，则制作一件B获利（105+x）元，由题意得：，解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的根，
当x＝15时，x+105＝120，
答：制作一件A获利15元，制作一件B获利120元．
（2）设每天安排x人制作B，y人制作A，则2y人制作C，于是有：
y+x+2y＝65，
∴y＝﹣x+
答：y与x之间的函数关系式为∴y＝﹣x+．
（3）由题意得：
W＝15×2×y+[120﹣2（x﹣5）]x+2y×30＝﹣2x2+130x+90y，
又∵y＝﹣x+
∴W＝﹣2x2+130x+90y＝﹣2x2+130x+90（﹣x+）＝﹣2x2+100x+1950，
∵W＝﹣2x2+100x+1950，对称轴为x＝25，而x＝25时，y的值不是整数，
根据抛物线的对称性和增减性可得：当x＝24或x＝26时，W最大，
当x＝24时，y═﹣x+不是整数，不符合题意；
当x＝26时，W
最大
＝﹣2×262+100×26+1950＝3198元．
此时制作A产品的13人，B产品的26人，C产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．
24．解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO
∴∠DAC＝∠ACB，且AO＝CO，∠AOE＝∠COF
∴△AEO≌△CFO（ASA）
∴AE＝CF
∵AE＝x，且DP＝AE
∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，
∴PC＝CD﹣DP＝3﹣x
故答案为：3﹣x，x
（2）∵S
△EFP ＝S
梯形EDCF
﹣S
△DEP
﹣S
△CFP
，
∴S
△EFP
＝﹣﹣×x×（3﹣x）＝x2﹣x+6＝（x﹣）2+∴当x＝时，△PEF面积的最小值为
（3）不成立
理由如下：若PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°
又∵∠EPD+∠DEP＝90°
∴∠DEP＝∠FPC，且CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°
∴△DPE≌△CFP（AAS）
∴DE＝CP
∴3﹣x＝4﹣x
则方程无解，
∴不存在x的值使PE⊥PF，
即PE⊥PF不成立．
25．解：（1）如图1，过点D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，连接D'M；过点D'作D'J⊥y轴于点J；
作直线AP，过点M作MH⊥AP于点H，过点D'作D'K⊥AP于点K
∵y＝＝0
解得：x
1＝﹣3，x
2
＝1
∴A（﹣3，0），B（1，0）
∵x＝0时，y＝＝﹣
∴C（0，﹣），OC＝
∴OD＝OC＝，D（0，）
设P（t，t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）
设直线PB解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G
∴解得：
∴直线PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）
∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+
∴S
△BPD ＝S
△BDG
+S
△PDG
＝DG•x B+DG•|x P|＝DG•（x B﹣x P）＝（t+）（1﹣t）
＝﹣（t2+4t﹣5）
∴t＝﹣＝﹣2时，S
△BPD
最大
∴P（﹣2，﹣），直线PB解析式为y＝x﹣，直线AP解析式为y＝﹣x﹣3∴tan∠ABP＝＝
∴∠ABP＝30°
∵△BPQ为等边三角形
∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ
∴BA平分∠PBQ
∴PQ⊥x轴，PQ与x轴交点I为PQ中点
∴Q（﹣2，）
∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝
∴∠QAI＝∠PAI＝60°
∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60°
∵MH⊥AP于点H
∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝
∴MH＝AM
∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2
∴四边形MNDD'是平行四边形
∴D'M＝DN
∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH
∵D'K⊥AP于点K
∴当点D'、M、H在同一直线上时，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短
∵DD'∥MN，D（0，）
∴∠D'DJ＝30°
∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝
∴D'（1，）
∵∠PAI＝60°，∠ABP＝30°
∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90°
∴PB∥D'K
设直线D'K解析式为y＝x+d，
把点D'代入得：+d＝
解得：d＝
∴直线D'K：y＝x+
把直线AP与直线D'K解析式联立得：
解得：
∴K（﹣，）
∴D'K＝
∴DN+MN+AM的最小值为
（2）连接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如图2
∵点C（0，﹣）关于x轴的对称点为E
∴E（0，）
∴tan∠EAB＝
∴∠EAB＝30°
∵抛物线C'由抛物线C平移得到，且经过点E
∴设抛物线C'解析式为：y＝x2+mx+，
∵A（﹣3，0），P（﹣2，﹣），E（0，），B（1，0），
∴BE ∥PA ，BE ＝PA ，
∴抛物线C '经过点A （﹣3，0）， ∴
×9﹣3m +
＝0
解得：m ＝
∴抛物线C '解析式为：y ＝x 2+x +
∵
x 2+x +
＝0，解得：x 1＝﹣3，x 2＝﹣1
∴F （﹣1，0）
∵将△BOE 绕着点A 逆时针旋转60°得到△B ′O ′E ′
∴∠BAB '＝∠EAE '＝60°，AB '＝AB ＝1﹣（﹣3）＝4，AE '＝AE ＝
∴△ABB '、△AEE '是等边三角形
∴∠E 'AB ＝∠E 'AE +∠EAB ＝90°，点B '在AB 的垂直平分线上 ∴E '（﹣3，2
），B '（﹣1，2
）
∴B 'E '＝2，∠FB 'E '＝90°，E 'F ＝
∴∠B 'FE '＝30°，∠B 'E 'F ＝60° ①如图3，点T 在E 'F 上，∠B 'TR ＝90°
过点S 作SW ⊥B 'E '于点W ，设翻折后点E '的对应点为E '' ∴∠E 'B 'T ＝30°，B 'T ＝
B 'E '＝
∵△B ′E ′R 翻折得△B 'E ''R
∴∠B 'E ''R ＝∠B 'E 'R ＝60°，B 'E ''＝B 'E '＝2 ∴E ''T ＝B 'E ''﹣B 'T ＝2﹣
∴Rt △RTE ''中，RT ＝E ''T ＝2
﹣3
∵四边形RTB 'S 是矩形 ∴∠SB 'T ＝90°，SB '＝RT ＝2
﹣3 ∴∠SB 'W ＝∠SB 'T ﹣∠E 'B 'T ＝60° ∴B 'W ＝SB '＝
﹣，SW ＝
SB '＝3﹣
∴x S＝x B'﹣B'W＝，y S＝y B'+SW＝3+
∴S（，3+）
②如图4，点T在E'F上，∠B'RT＝90°
过点S作SX⊥B'F于点X
∴E'R＝B'E'＝1，点E'翻折后落在E'F上即为点T
∴B'S＝RT＝E'R＝1
∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°
∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝
∴x S＝x B'+XS＝﹣，y S＝y B'﹣B'X＝
∴S（﹣，）
③如图5，点T在B'F上，∠B'TR＝90°
∴RE''∥E'B'，∠E''＝∠B'E'R＝60°
∴∠E'BE''＝∠E'RE''＝120°
∴四边形B'E'RE''是平行四边形
∵E'R＝E''R
∴▱B'E'RE''是菱形
∴B'E'＝E'R
∴△B'E'R是等边三角形
∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'
∴点S为B'E'中点
∴S（﹣2，2）
综上所述，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．。