5.3.3 角平分线的性质 课件 2020-2021学年 北师大版数学 七年级下册

BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______. 4
B D
P
A
C
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于
点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
A．无法确定 C．1
B．12 D．2
【点拨】如图，过点 G 作 GH⊥AB 于点 H. 由作图可知，BG 平分∠ABC. 因为 GH⊥BA，GC⊥BC， 所以 GH＝GC＝1. 根据垂线段最短可知，GP 的最小值为 1.
【答案】C
9．(中考·福建)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂 足为 D.求作∠ABC 的平分线，分别交 AD，AC 于 P，Q 两 点，并说明 AP＝AQ(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写 作法)．
2．如图，观察尺规作图的痕迹，下列说法错．误．的是( C ) A．OE 是∠AOB 的平分线 B．OC＝OD C．点 C，D 到 OE 的距离不相等 D．点 E 到点 C，D 的距离相等
3．角平分线上的点到这个角的两边的距离___相__等_____．用数学 语言表述为：如图，因为∠1＝∠2，且 MH⊥PA，__M__K____ ⊥__P_B_____，所以 MH__＝____MK.
6．(2020·怀化)在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AD 平分∠BAC，交
BC 于点 D，DE⊥AC，垂足为 E，若 BD＝3，则 DE 的长为
( A) A．3 C．2
B．32 D．6
*7.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB
于 E.有下列结论：
①CD＝ED；
任意一点 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
A
PD PE
D
C
第一次
p
第二次
O
第三次
E
B
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
猜想：角的PD平=分PE线上的点到角的两边的距离相等.
2
部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
作角平分线是最基本 的尺规作图,大家一定 要掌握噢!
已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
B
O
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂
线的方法.
新知二 角平分线的性质 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程
呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
B O
已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤
A
M C
作法：
（1）以点O为圆心，适当
长为半径画弧，交OA于 点M，交OB于点N.
B
N
O
（2）分别以点MN为圆心，大于 1MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内
C D
F
DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2，BAE
SABC
1 42 2
1 2
AC解 2得A7C, ＝3.
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用
三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，
且PE=3，求AD与BC之间的距离.
课堂练习
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
BE= BF .
B
A E
C D
F
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点
G
D到AB的距离是
3
.
C
D
A
E
B
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明
②AC＋BE＝AB；
③∠BDE＝∠BAC； ④DA 平分∠CDE.
其中结论正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【点拨】在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，所以 CD＝ED，故①正确；因为 DE⊥AB，∠C＝90°，所以 ∠ADE＝90°－∠BAD，∠ADC＝90°－∠CAD，又因为∠BAD ＝∠CAD，所以∠ADE＝∠ADC，即 DA 平分∠CDE，故④正确； 易知△ACD≌△AED，所以 AE＝AC，所以 AB＝AE＋BE＝AC ＋BE，故②正确；因为∠BDE＋∠B＝90°，∠B＋∠BAC＝90°， 所以∠BDE＝∠BAC，故③正确；故选 D. 【答案】D
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
课后练习
1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在∠AOB 的边 OA，OB 上分别取 OM＝ON，移动角尺，使角尺两边 相同的刻度分别与 M，N 重合，得到∠AOB 的平分线 OP. 此做法用到三角形全等的判定方法是( B ) A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
D C
×
典例精析
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 试说明：EB=FC.
A 解： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得 到木板、钢板的角平分线吗？
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角 的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分 线，你能说明它的道理吗?
A
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
4．(中考·梧州)如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于 点 E，DF⊥BC 于点 F，DE＝6，则 DF 的长度是( D ) A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A， B.下列结论中不．一．定．成立的是( D ) A．PA＝PB B．PO 平分∠APB C．OA＝OB D．AB 垂直平分 OP
AD＝AD， 所以△ACD≌△AED(AAS)．所以 AC＝AE. 因为 CD＝DE，所以 BC＝CD＋DB＝DE＋DB. 又因为 AC＝BC，所以 AE＝BC＝DE＋DB. 所以 DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm. 所以△DEB 的周长为 6 cm.
11．如图，AE∥CF，AG，CG 分别平分∠EAC 和∠FCA，过点 G 的直线 BD⊥AE，BD 交 AE 于点 B，交 CF 于点 D.试说明： AB＋CD＝AC.
推理的理由有三个，必须 写完全，不能少了任何一
个.
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
×
B
B
A
D A
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ BD= CD ,
( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE.
知识要点
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
O
定理的作用： 证明线段相等.
E
A PC
B
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD = PE
解：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC， DF⊥CG，
∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CD DE
CD, DF,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
归纳新知
尺规作 图
角平分 线
性质定 理
属于基本作图，必须熟练掌握
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
解：如图，BQ 是∠ABC 的平分线． 说明：因为 AD⊥BC，所以∠ADB＝90°. 所以∠BPD＋∠PBD＝90°. 因为∠BAC＝90°，所以∠AQP＋∠ABQ＝90°. 因为∠ABQ＝∠PBD，所以∠BPD＝∠AQP. 又因为∠BPD＝∠APQ，所以∠APQ＝∠AQP.
过 A 作 AM⊥PQ 于 M，则∠AMP＝∠AMQ＝90°. 又因为∠APQ＝∠AQP，AM＝AM， 所以△APM≌△AQM.所以 AP＝AQ.
∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
M C
B
N
O
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE ＝2，AB＝4，则AC的长是( D )
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，
E
F
B
D
C
DE=DF，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
BD=CD，
∴ EB=FC.
典例精析
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂
足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
4
B
D
M P
A
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
E
C
变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交
*8.(2020·贵阳)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，利用尺规在
BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BE＝BD；分别以 D，E
为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于
点 F；作射线 BF 交 AC 于点 G.若 CG＝1，P 为 AB 上一动
点，则 GP 的最小值为( )
SAPB
1 2
·AB·PD=28.
（3）求∆PDB的周长.
B D
CPDB PD PB DB
P
PC PB DB
BC DB AD DB
A
C
AB 14
=
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题
条件
2.联系角平分线性质： 面积
周长
利用角平分线的性质所得到 的等量关系进行转化求解
10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB， 且 AD 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E.若 AB＝6 cm，求△DEB 的周长．
解：因为 AD 平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， 所以 CD＝ED，∠CAD＝∠EAD，∠C＝∠DEA＝90°.
∠C＝∠DEA， 在△ACD 和△AED 中，∠CAD＝∠EAD，
D
B
(E) C
合作探究
新知一 尺规作角平分线
问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗 ？
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法
与仪器的关系.
提示：
A
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重
合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
北师大版· 数学· 七年级（下）
第5章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形 第3课时 角平分线的性质
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的 性质定理.
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.
导入新知
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．
解：如图，过点 G 作 GH⊥AC 于点 H. 方法一：因为 AE∥CF，BD⊥AE 交 AE 于点 B，交 CF 于点 D， 所以 GD⊥CF. 因为 AG，CG 分别平分∠EAC 和∠FCA， 所以∠BAG＝∠GAH，∠GCH＝∠GCD. 易得∠BGA＝∠HGA，∠HGC＝∠DGC. 又由 CD⊥GD，CH⊥GH，AH⊥GH，AB⊥GB， 所以 CD＝CH，AB＝AH. 所以 AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别
为D,E.
A
试说明：PD=PE.
D C
解： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
P
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
O
E
B
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间
的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
6.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点. DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别 为E，F.试说明：CE＝CF.