一类双调和方程弱解的存在性研究
含Hardy位势的双调和方程非平凡解的存在性
～
（） ２
（
） 。
一 ，ｚ ， ∈
（） ３
ｌ “＞ ０ ｚ ∈ １ ， ， ２
【 Ｕ∈ Ｈ ） （ ，
Ａ － ｚ （ ｕ
Ｉ ∈ Ｈ ） （ ．
）
…） ∈ ， ，ｚ ｎ
（） ４
其 中 Ｎ ≥ ５ 且 ｆ ｚ，） 足下列 条件 ： ， （ ｓ满
（ ）ｆ ｘ，）∈ Ｃ １ ｘ Ｒ， ； ｆ １ （ ｓ （ Ｒ） ２
（ ）存 在正数 ￡ 丽 ＋４ 使 得 ｌ ｆ ｚ ＜ Ｎ ｉ ａ ｒ
，
。
詈 ０ａ． ∈ 一 ，． ｚ ； ｅ
（３ ｆ）
ｌ ｉ ｍ
一∈一 Ｉ ‘
＝ ＋ ∞ ， ａ ｅ ｚ ∈ ｎ． ．．
由条件 （。 ｆ）知 ， 问题 （ ） ４ 有平 凡解 “ ． 一Ｏ 这里建 立一 个新 的 Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ 空间 Ｈ， ｂ 并在 Ｈ 中讨 论双 调和 问题 （ ） ４．
（ ５ ）
（） ６
定理 的证 明 对 于 问题 （ ） 讨论 Ｈ 上 的泛 函 ４，
（
由条 件 ｆ， ，。 ｆ ｆ 有 ：
＞ｊ “／ （ 一 △ ・ｏ一 ｘ ￣ ｄ
４
／ 许ｌ 。 ’ ． ） 卅 … ｚ Ｉｄ Ｊ “ ’ Ｊｚ ． ｎ ｎ 。
／，●
一
＼
１ 定理的证 明
引理 。 设 Ｎ ≥ ５ 则存 在 常数 Ｃ＞ ０ 使得 当 １ Ｐ＜ ２ Ｅ Ｈ 时 ， ， ， ≤ ，
ｃ
＜。 －（ Ｓ
）
— ）ｔ ｚ Ｊ （ ｚ — — Ｊ＂ ２ — ）． — 。而 ｆＬ ｄ … Ｕｄ 订 ’ 。 Ｉ ｌ 研 ， Ｆ
一类渐近线性双调和方程解的存在性
华 中师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＵＡＺ Ｈ ＨＯＮＧ ＮＯＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ（ ｔ Ｓ ｉ） Ｉ Ｎａ． ｃ．
Ｖｏ１４５ Ｎｏ． ． ４
Ｄｅ ． ２ ｃ Ｏ１１
文章 编 号 ： ０ ０ １ ９ （ ０ １ ０ — ５ ５ ０ ｉ ０— １０ ２ １ ）４０ ２—４
一
类 渐 近 线性 双 调 和 方 程 解 的 存在 性
朱 红 波 ，兰 军 ，王 江 潮。
（． 东 工 业 大 学 应 用 数 学 学 院 ，广 州 ５ ００ ； １广 １ ０ ６ ２ 湖北 汽 车 工业 学 院 理 学 系 ， 北 十堰 ４ ２ ０ ； ． 湖 ４０ ２ ３ 中 国科 学 院 武 汉 物 理 与 数 学 研 究 所 ， 汉 ４ ０ ７ ） ． 武 ３ ０ １
对 于 Ｄｉ ｃ ｌｔ 值 问题 （ ） 证 明非 平 凡解 的 ｒ ｈｅ 边 ｉ １， 存在 性相 当于寻 找如 下 Ｈ Ｂ）中泛 函 （
Ｉ） ÷ （ ￣ｚ （ （ ｅ∈ Ｅ， 中 ， （一 ．Ｉ ｕ ｕ 『△ ） Ｆ） ２ 一 “ ） 其
（中Ｆ ） ｊ （ｄ的 零 界 ， 要 其 ， 一 。 ｓ 非 临 点 主 方 （ ））
摘 要 ：主要 研 究 Ｄｒ ｈｅ 边 界 条件 下 一 类 双 调 和 方 程 在 开 球 上 解 的存 在 性 ． 之 前 许 多 研 究 此 ｉｃ ｌ ｉ ｔ 与 类 问 题 的 文 章 所 不 同 的 是 ， 时 非 线 性 项 满 足 渐 近 线 性 条 件 ． 文 利 用 满 足 Ｃ ｒｍｉ 此 本 ｅａ 条件 的 山 路 定
△ 。 ＋ ＝ 厂 “ ，Ｂ （ （） 二 二Ｒ ；
调和函数
性质
在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数 的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。
调和函数
数学术语
01 定义
03 性质 05 推广
目录
02 例子 04 06 “重调和”方程
调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一 阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在 和惟一性定理。
如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子 和偏导数算子是交换的。
在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可 以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。
调和函数研究的一个推广是黎曼流形上的调和形的研究，后者与上同调的研究有关。此外，可以定义调和的 向量值函数，或者两个黎曼流形间的调和映射。这些调和映射出现在最小表面理论中。比如说，一个从R上区间射 到一个黎曼流形的映射是调和的当且仅当它是一条短程线。
“重调和”方程
若u(x,y)足“重调和”方程
收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。
含有临界指数的奇异双调和方程非平凡解的存在性
（ 什师范学院 数学系 ， 疆 喀什 ８４０ ） 喀 新 ４ ０ ８
摘 要 ： 论 了 一 类 具 有 临 界 指 数 的奇 异 双 调 和 问题 ， 利 用 变 分 原 理 ， 明 了该 问题 至 少 存 在 一 非 平 凡 解 讨 并 证
关 键 词 ： 界 指 数 ； 调 和方 程 ； 异 系 数 临 双 奇
【 ）＝ ０， ∈ ａ ． “（ ｚ
¨ － ｔ； 其 ＞＇ ［ ，∈ ｏ≤ ＜ ｚ ｏ ｔ ０
解 ． 『 研 究 了 如 下 问 题 文 ７］
Ｉ（ “ ）＞ ０ Ｃ 力 ＼ｔ ｉ ， － ； ０
是 包 含 ０ 的 有 界 区 域 ． ［ ］ 到 了 一 些 改 进 的 文 ６得
在 ｆ ｚ， ） 足 一 定 条 件 时 非 平 凡 解 的 存 在 性 问 （ “满 题 ． 于 带 奇 异 系 数 的 双 调 和 问 题 ， 有 不 少 好 的 对 也
一
２
（）
Ｓ
Ｉ
ｌ
一ｑ
＋ １仆
“
结果 ， 如文 ［ ］ 论 了线性 双调 和方程 ６讨 （） ２
本 文 考 虑 如 下 奇 异 双 调 和 问 题
一
＝
＋ ｕ＋ ２ｑ 肌
ｚ
，
２ ） Ｎ
．
文 ［ ］ 出方程 （ ） １给 ３ 多解 的存 在性 ． （ ） 在 ３ 中
换 成 ，其 中 ２ ｓ） ＝
ｌ －∈ ｏ Ｕ ． ：
（） １
当
非 平 凡 解 的 存 在 性 ． 中 ： ≥ ５ ｎ 是 ＲＮ 中 一 有 其 Ｎ ，
中图分类号 ： ｌ５５ Ｏ ７ ．
文 献 标识 码 ： Ａ
一类非齐次A-调和方程很弱解的唯一性
第 ３卷第 ３ １ 期
２０ 年 ６月 ０７
北
京
交
通
大
学
学
报
Ｖｏ ． ｌＮｏ ３ １３ ．
ｌｎ ０ ７ ｕ ．２ ０
ｏＵＲＮＡＬ ｏＦ ＢＥＵＩ ＮＧ 儿 Ａ ｊ ＵＮＩ ０１ Ｇ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
文章编号 ：６ ３０ ９ （０７ ０ —０ ００ １７ —２ １２ ０ ）３０ ５ —４
Ｗ ＡＮＧ ｈ ｒ， Ｈ Ｅ Ｇ ｈ ｎ ｚ ｏ Ｚ ａｔ Ｚ Ｎ Ｓ ｅ —ｈ ｕ
（ ｃｏｌ ｆ ｃ ｎｅ Ｂ ｉｎ ｉ ｔｎ ｉ ｒｔ ， ｅｉｇ１０ ４ ， ｈｎ ） Ｓ ｈｏ ｏ ｉ ｃ ， ｅｉｇＪ ｏｏｇＵｎｖ ｓｙ Ｂ ｉ ００ ４ Ｃ ｉａ Ｓｅ ｊ ａ ｅｉ ｊ ｎ
（ ２ （ 格单调 性 ） Ｈ ）严
（ ｚ， ）一Ａ（ ２ ） 一 ） Ａ（ １ ｚ， ） （ ｌ ２ ≥ （ ｌｆ ｆ户 ｆ ｌ ２Ｉ ｆ ＋ｆ ）一 一 （） ３
收稿 日期 ：ｏ ５１ —２ ２ ０—２２ 基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ ｏ ７Ｏ ２ １６１２） 作者简介 ： ｉ １８ － ）男 ， 王ｄ （９ ２ ， 河南遂平人 ， 硕士． ｌｂ ｉ ｄ＠ １６ ｅｔ ｍ ：ｊａ ａ ２ ．ｏｎ ｊｏ ＇ 郑神州 （９ ５ ， ， １ ６ 一） 男 浙江临海人 ， 教授， 士． 博
的 一 问 ・ 于 ＜＜ ∞记 ＋ ， 唯 性 题设 １ ＋ ， 吉 １ 对
＝
和
＋
．
假 定 为 Ｒ 的正 则有界 区域 ， 满足 如下 的 Ａ一 条件 ， 存在 一个正 常数 Ａ， 使得
ｌ ｎＢ （ Ｒ ｚ）ｌ Ａ ｌ （ ≥ ｚ）ｌ Ｖｚ ∈ ａ ． ，
一类含Hardy位势的双调和方程解的存在性
收稿 日期 ： ０ ８ ０ —７ ２０ —５２
证明 设｛ ｃ ． 力 且满足Ｉ ｌ ≤Ｃ 则 “｝ ） （ ｌ ｌ ｕ０ ＿ ，
基金项 目：国家 自然科 学基 金资助项 目（ ０７ ０ ７ ； １ １ ）广东 自然科学基金 资助项 目（ ５０ １９ ４ ４ ０ ３０ ５ ） 作者简介 ：王友军（ ９ １） 男 ， １８ 一 ， 博士生 ， 主要从事偏微分方程研究． － ａ ： ｏｊｎ ０６ １６ ｃｍ Ｅ ｍ ｉ ｙｕｕ３ ０ ＠ ２ ．ｏ ｌ
第１ ２期
王友军 等 ：一类 含 Ｈ ｒｙ位势 的双调和方程解 的存 在性 ａｄ
１３ ４
存在 ｛ 中的一个子列 （ “｝ 仍记为 ｛ ） ｕ ｝ 弱收敛 于某
个 函数 ∈ ． ） 由不 等式 （ ） ， 于 ＝１２ ： ． （ ２知 对 ，，
…
则 当 ｎ ｍ ∞时 ， ， 有
华 南 理 工 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
第３ ６卷 第 １ ２期
２０ ０ ８年 １ ２月
Ｊ ｎ ａ ｆＳｏ ｔ ｎａ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｏ ｃ ｎｏｏｇ ｏ ｍ ｌｏ ｕ ｈ Ｃｈｉ ｉ ｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｌ ｙ ｙ
ＶＯｌ３６ ＮＯ．１ ＿ ２ Ｄｅ ｅ ｃ ｍｂｅ ２Ｏ ８ ｒ ０
（ ａｕａ ＳｉｎｅＥ ｉｏ ） Ｎ ｔｒｌ ｃ ｃ ｄｔ ｎ ｅ ｉ
文章编号 ： ００５ ５ （ ０ ８ １— １２０ １０ － Ｘ ２ ０ ）２０ ４ －４ ６
一
类含 Ｈ ｒｙ ａ 位势的双调和方程解 的存在性 术 ｄ
王友军 沈尧天
（ 华南理工大学 数学系 ， 广东 广州 ５ ０ ４ ） １６０
一类双重退化抛物型不等式问题解的Liouville型定理
ＭＲ（０ ０ 主题分类：５ ３； ５ ５ 中图分类号： ７． 文献标识码： ２０ ） ３Ｂ ３３Ｋ ７ Ｏ１５ ６ ２ Ａ
文章编号 ：０ ３３ ９ （０ ００ —３ —５ １ ０ —９ ８２ １ ）３６ ９０
１ 引言 和 结 果
在本 文 中，我们考 虑下 列双 重退化 抛物 型不 等式 问题 ｔ ｄｖ Ｉ ｌＶｕ ４ ， ｉ（ 卢 ） － ｖｕ ｐ
（，） ｔ ∈Ｓ
基 金 项 目： 国家 自然 科 学 基金 （０ ７ ０ ４ １ ７ １２ ）资 助
６０ ４
数
学
物
理
学
报
、 １０ 厂． Ａ ０３
（ 其中ｍ １ ＞１的 Ｆｊａ ， ） ｕｔ临界指标为 Ｐ＝ｍ十吾方程 Ｐ ｉ 。 ，
ｔ ｉ（ ［ ） ｐ ＝ｄｖ Ｉ Ｚ Ｖｕ Ｖｕ 十Ｕ ， （，） Ｘ ｔ ∈ｓ （） ４
解．
对 于拟 线性 抛物 型方 程也 有很 多类似 结果 Ｉ ． 例如 ，方程 ｉ ＝ ／ｉ 仳 ， ｔ ｋｔ ４ ｔ ｍ－
收稿 日期： ０ ８ １— ５ 修订 日期： ０ ９ １— ３ ２ ０ — １２ ； ２ ０ —０ １
Ｅ ｍａｌ ｊ ｘ ｌ ｔ ６ ．ＯＩ — ｉ ｚ ｄ ｕ ＠１ ３ Ｃ Ｉ ： １
数学物理学报
２ １ ，０ ３：３ — ４ ０ ０３ Ａ（） ９ ６ ３ ６ ｈ ｔ ： ａｔｍｓ ｐ ａ ． ｔｐ／ ｃａ ． ｍ． ｃ ／ ｗｉ ｃｎ
一
类双重退化抛物型不等式问题解的 Ｌｏ ｖｌ ｉｕ ｉｅ型定理 ｌ
姜朝欣 郑斯 宁
（ 大连理工大学数学科 学学院 大连 １ ６ ２ ） １ ０ ４
ｕ
，
。 ，
：
。 ｚ
一类双调和方程非平凡解的存在性
Ｖｏ １ ． ３ ４
Ｎｏ ． ８
一
类双调和方程非 平凡解 的存在 性
曾 日 ＿ 艳 ｒ Ｃ ３
（ 韶 关学 院 数学科 学 与信息 科学 学 院 ，广东 韶关 ５ １ ２ ０ ０ ５ ）
摘要 ： 通 过 建 立 一 个 新 的 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ ｔ 空 间 日， 在 新 的 空 间 中讨 论 多 维 临界 位 势 的 非 线 性 椭 圆型 方 程 ， 利 用 山路 引理 和 Ｐ ｓ
将 Ｈ （ Ｑ ） 空 间 按 Ｉ ｌ ２ ＝ 』 ｎ （ １ △ ｌ ＿ － Ｎ ２ （ Ｎ １ ６ － ４ ） ２ ｕ ２ ） 的 完 备 化 空 间 ， 记 为 日 ． 日 为 按 内 积 （ ） ＝ 『 ｎ （ △ ｕ 一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ８ — ２ ８ 基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ １ １ ２ ０ １ １ ５ ４） ． 作者简介 ： 曾艳 （ １ ９ ８ ６ 一 ） ， 女 ， 四川 内江 人 ， 韶 关 学 院数 学 与 信 息 科 学 学 院 助 教 ． 硕士 ， 主 要从 事 非线 性 椭 圆型 方 程 的 研 究
首先 在新 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间中讨论 以下 的特征值 问题 非平 凡解 的存 在性 ：
△ Ｍ 一 １ ６ ｕ ＝ ＡＭ
，
∈Ｑ ，
（ １ ）
＝ ＝
０ ， ∈ Ｑ ．
０７ ｊ
弟一 特仕 值定 义为 ：
Ｘｊ ＝
ｉ ｎ ｆ ｛ ｆ ｏ （ ， Ａ 一 Ｎ Ｚ （ Ｎ １ ６ － ４ ） ２ ｕ ） ： Ｌ ｕ ＝ １ ） ，
其 中 对 应 的特征 函数 记作 ．
其次利 用临界 点理 论 ． 在 新 的 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间中 ． 讨 论非 线性 椭 圆型方 程 ：
一类双调和方程组边值问题正解的研究
、，
一
： ＝ ）
△
０ ０ ０
０ ０
一
０ ０ ０
一
÷Ａ 。 ， 则问题 （ ３ ） 存在一个有界正解。
证 明 记 Ｋ为 Ｘ ＝ ［ ｃ （ ｏ） ］ 中所有 非负 且 在ａ 上为 零 的 向量 函数 构成 的正 锥 ， 则 Ｋ为 中 的 闭 凸集 。 作算 子 ： — ， 使 对 ＶＵ ∈Ｋ， Ｔ Ｕ＝
ＤＭ１ ＝ Ｄ ｕ ２ Ｄｖ Ｉ＝ ２＝ ０
一
ｌ ｌ Ｉ
结合 １ １ ， ｌ＝ “ ２＝ ｌ＝口 ２＝０ ， ∈ａ ， 知Ｕ Ｅ ０ 。
证 明 因为
，
定理 ２ 若（ Ｈ。 ） ， （ Ｈ ２ ）成 立 ， 且 Ｉ ａ （ ｘ ）Ｉ ＜ 双 调 和方 程 组 边 值 问题 正解 的研究
田安 东 ， 钟 金 标
（ 安庆师范学 院 数学与计算科学学 院， 安徽 安庆 ２ ４ ６ １ ３ ３ ）
摘
要 ：以不 动点定理为主要工具证明了一类双调 和方程组边值问题正解的存在性和唯一性 。
文献标 识码 ：Ａ 文章编号：１ ０ ０ ７— ４ ２ ６ ０（ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ０ ０ ８— ０ ３
Ａｖ １ ＝？ ３ ２
ｌ 存在性
设Ａ 为 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｉ ｅ ｔ 条件 下 一 算子 在 里第
一
—
一
△ ＝ａ Ａｘ ） ｕ ｌ ＋ｂ ２ （ ） ｌ ＋ ｇ （ ｘ ， ｕ ｌ ， １ ）
０ ∈ａ ｒ
。
（ ２ ）
“ ｌ＝ ｕ ２
特征 值 ， 引进范 数 ：
Ｌ Ａ （ ） ＋ － １ Ｆ （ ， ） 。
考察 问题 ：
一类非局部Cahn-Hilliard方程弱解的存在唯一性
一类非局部Cahn-Hilliard方程弱解的存在唯一性李振邦【摘要】研究一类对流非局部Cahn-Hilliard方程的Neumann问题.通过一致Schauder估计和Leray-Schauder不动点定理,得到了该问题经典解的存在唯一性.进而,利用弱收敛方法得到了该问题弱解的存在唯一性.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2019(035)001【总页数】19页(P15-33)【关键词】对流非局部Cahn-Hilliard方程;Leray-Schauder不动点定理;弱解的存在性;唯一性【作者】李振邦【作者单位】西安工业大学理学院,陕西西安 710021;西北大学数学学院,陕西西安 710127【正文语种】中文【中图分类】O177.21 引言研究如下的Neumann问题:其中,Ω⊂Rn是一个光滑的有界域,u是未知函数,β∈Rn是一个常向量,m(x,t)是一个已知的具有严格正的上下界的光滑函数是一个已知的光滑函数并且满足J(x)=J(−x),J的积分是严格正的.方程(1)可以用来描述许多物理现象,包括在外域上相位分离系统中的合金分离,晶体表面上的非稳定步长移动,晶体生长中面角的形成等[1-4],其中,u(x,t)表示分界面的斜率.光滑函数m(x,t)表示扩散迁移率[5-7].对流项β·∇B(u)来源于具有独立参数的动能,刻画了一种亚稳动力系统中的外部动能[8-9].当驱动系数β→0时,方程(1)形式上成为通常的非局部Cahn-Hilliard方程[10-12].势函数H(u)+f(u)是如下的非局部能量泛函的一阶变分[10-14]:此时,得到如下的非局部形式的势函数:方程(1)有一个基本的守恒量在过去的几十年里,有许多文章是研究经典的具有对流项的Cahn-Hilliard方程的[9,13-16],而对于非局部方程(1),研究成果比较少[5,8].在文献[3]中,作者研究了一类非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统.对于对流非局部Cahn-Hilliard方程,他们得到了三维情形下方程的整体吸引子的存在性结果.近些年来,P.W.Bates和J.Han考虑了一类不具有对流项的非局部Cahn-Hilliard 方程[2-3].一方面,研究了在Dirichelet边界条件下,该模型经典解的存在性,唯一性以及对初值的依赖连续;进一步,证明了该系统存在整体吸引子;另一方面,证明了该方程在Neumann边界条件下弱解的存在唯一性.其他关于非局部问题的结果见文献[10-12,17-18].本文主要考虑具有非线性对流项的非局部 Cahn-Hilliard方程的 Neumann问题(1),其主要困难来源于非局部项和非线性对流项,并且该模型没有能量泛函,很难应用比较原理来研究该模型.为了克服这些困难,应用特殊的迭代技巧[10,19]来得到一些先验估计,而后应用Leray-Schauder不动点定理证明经典解的存在性;进一步,利用弱收敛方法得到其弱解的存在唯一性.本文第二节得到了问题(1)的光滑解的一些先验估计,而后证明经典解的存在性,唯一性以及对初值的连续依赖性.第三节给出了弱解的存在唯一性证明.2 经典解的存在唯一性将方程(1)改写成如下等价的抛物型方程形式:其中本文假设以下条件成立:成立.(A4)∂Ω属于经典的C2+α空间.由条件(A2)可知,存在两个正常数c3和c4,使得首先得到问题(4)的一个先验估计.定理 2.1 假设(A1)-(A4)成立.如果是问题(1)的一个解,则其中正常数只依赖于为了证明上述定理,需要下面这个引理.引理 2.1 假设(A1)-(A4)成立.如果是问题(1)的一个解,则证明在方程(1)左右两边同时乘以u并在Ω上积分,有估算上述等式的右端各项,根据 Hlder不等式,Young不等式,条件 (A1)和条件 (A3),得到和联立(10)式 -(13)式,利用条件(A2)可得应用Gronwall不等式,得到(7)式-(9)式,引理 2.1得证.接下来,证明定理2.1.定理 2.1的证明对p>1,在方程(1)左右两边同时乘以u|u|p−1并且在Ω上积分,分部积分后,利用方程中的边界条件,得到因为和根据条件(A2)和(A3),有联立(15)式-(20)式后立即可得对·∇udx,当p+2q≥ 2r+1 时,利用 Hlder不等式和 Young 不等式和条件(A2),有以下估计而当p+2q<2r+1时,有其中类似地,利用Hlder不等式,Young不等式,条件(A2)-条件(A3)和(7)式,得到和令ε1=m1c2,.从不等式(21)和估计(22)式-(25)式,导出或者从而由条件(A2),有对Gagliardo-Nirenberg不等式,其中α∈(0,1)满足等式此时,令利用Young不等式,得到在 (28)式中令p=µk,把 (31)式代入(28)式,得到取时,有其中而在(31)式中取ε=1时,结合(33)式,可得其中C4(k)=C2(k)+C3.由上述不等式,利用Gronwall不等式,有其中θ(k)=C3(1+µk)β,,并且M0=supx∈Ω|u0|.不等式 (35)说明因为 ,所以有和从而,由(36)式-(38)式及引理2.1,得到其中与 k无关.在 (39)式中令k→ ∞,有∀t∈[0,T]从而由此,根据,得到(6)式,从而定理2.1证毕.有了定理2.1,对进一步的估计,容易证明下面的定理2.2.定理 2.2 对方程任意的解满足条件,有以下结论其中常数K1,K2只与有关,Hlder 模定理2.2的证明类似于文献[20]第五章中定理7.2的证明,这里不再详细证明.为了得到问题(4)经典解的存在性,需要让初值满足相容的边界条件.所以假设并且u0(x)满足如下相容性条件:在方程(4)中,令v(x,t)=u(x,t)−u0(x),得到等价问题其中和因为(43)式说明,所以兼容性条件也满足问题(44).定义和其中c1和m1是条件(A2)和(A3)中的常数.考虑如下问题:引理 2.2 如果是问题(45)的一个解,那么其中k与λ无关.证明因为λ˜a(x,t,v,u0)+(1−λ)c1m1≥ λc1m1+(1−λ)c1m1>0,所以问题 (45)中的各项也满足条件(A1)-(A4)并且不等式(46)由定理2.1直接得到.因此,我们也可以从引理2.2和定理2.2得到:引理 2.3 如果是问题(45)的一个解,那么其中常数K1,K2与δ和λ无关.接下来,需要文献[20]中如下的Leray-Schauder不动点定理:定理 2.3(Leray-Schauder不动点定理)考虑如下变换y=T(x,λ),其中 x,y属于Banach空间X并且0≤λ≤1.假设:(a)对任何已定λ,T(·,λ)在 X 上是连续的.(b)对有界集 X 中的x,当λ属于[0,1]时,T(x,λ)是一致连续的.(c)对任何已定λ,T(·,λ)几乎处处是紧映射,它把有界集X 映到准紧集X.(d)存在一个常数K,使得当λ∈[0,1]时,方程x−T(x,λ)=0的每一个解x满足:.(e)方程x−T(x,0)=0有唯一的解属于X.那么方程x−T(x,1)=0有解.定义 Banach空间 :v(x,0)=0},其中 Hlder 范数空间为通常意义下.对任意函数ω ∈X 满足条件maxQT|ω|≤M 和 maxQT|∇ω|≤M1,考虑如下线性问题:容易证明问题 (59)存在唯一解定义引理 2.4 当ω属于有界集X 时,T(ω,λ)在λ上是一致连续的.证明令ω ∈ X 满足并且令v1=T(ω,λ1),v2=T(ω,λ2),v=v1−v2,有其中和易知|ω|X≤M和成立,再由方程(59)可知其中常数N 与λ2无关.所以,其中N1和N2与λ2无关.易知其中λ∈[0,1].根据线性抛物方程理论,当|λ1−λ2|→0时,问题(49)的解也会趋近于0. 可以用相似的方法得到在X 中,已知的λ,T(x,λ)是连续的.因为是紧的,所以得到T(ω,λ)是一个紧映射.由以上结论,引理2.2-引理2.4和Leray-Schauder不动点定理可得方程(44)解的存在性,并且可得出定理 2.4 令γ>0.满足边界条件(43),那么问题(4)存在唯一一个解 ,并且解对初值具有连续依赖性.关于唯一性及对初值的连续依赖性,有如下定理.定理 2.5 如果u1(x,t)和u2(x,t)是相对应于问题(4)初值u10(x)和u20(x)的两个解,则其中C只与时间T有关.证明任意的满足在∂Ω ×(0,τ)上成立,有其中g(x,ui)=a(x)ui+f(ui).然后其中r(x,t)=|u1|q−|u2|q,并且已知gu(x,u∗)>0,令ξ是如下线性抛物问题的解其中,y∈[0,1]并且γ>0是一个常数.由比较原理,得到所以,由方程(52)有通过条件 (A1),条件 (A3)和u∈L∞(Ω),得到把γ→0和y→sign(u1−u2)+代入不等式(55),得到适当交换u1和u2得到由Gronwall不等式和不等式(57)推导出这样,完成了定理2.4的证明.3 弱解的存在唯一性如果u0(x)∈L∞(Ω),考虑满足如下条件的弱解.定义 3.1设Ω⊆Rn是一个具有光滑边界的有界开区域,QT=Ω×[0,T].称函数u(x,t)是方程(1)的一个弱解,如果它满足如下三个条件:i)ii)在分布意义下,u(x,t)在QT中满足方程(1);iii)对于任意给定的ψ∈H1(Ω),对a.e.t∈[0,T],成立其中g(x,u)=a(x)u+f(u),并且定义函数空间B:=X在L2范数下的完备化.定理 3.1 假设条件(A1)-(A4)都成立并且u0∈L∞(Ω)∩B,那么方程 (1)存在唯一的一个弱解u.证明证明分为四步.第一步构造逼近解.由u0∈L∞(Ω)∩B 可知,存在函数列使得其中常数C与k无关.考虑具有光滑初始值的如下问题:由定理 2.4可知,方程 (62)存在经典解,并且其中常数与 k 无关.第二步一致有界估计.对方程(62)左右两边同时乘以u(k)并且在Ω上积分,得到注意到,以及根据 (64)式 -(67)式,有由 Gronwall不等式,得到其中正常数与 k 无关.通过(63)式,可知u(k)是一直有界的,再由(69)式-(70)式,有和另一方面,根据(71)式-(72)式以及方程(62),可以得到由 (69)式 -(73)式可知,存在的子列,为方便,仍记为,使得由(74)式,利用Aubin-Lions引理可知,在L2((0,T),L2(Ω))中u(k)强收敛于u.又因为,得到第三步 L2中的弱连续性.对所有的,因为在L2([0,T);H1(Ω)中 u(k)⇀u(k→ +∞),所以在L2([0,T)×Ω)中αu(k)⇀αu(k→+∞).由 (64)式,有其中由 (74)式 -(76)式,得到取满足 .∀t0>0,η >0,令,代入(78)式,得到取t0是下列可测函数任意的公共Lebesgue点:那么,有因此,由(79)式-(82)式,得到对任意给定的函数,由方程(62),有根据(77)式,可得令t→t0,得到u(t)是几乎处处从[0,T]到L2(Ω)的一个弱连续函数.∀t>0,若tn是一个时间序列使得(83)式对tn成立并且使得tn→t.得到并且由此及(85)式可知(83)式对所有的t>0成立,进而得到u(t)是从[0,T]到L2(Ω)的一个弱连续函数.第四步连续性:u∈C([0,T);L2(Ω)).由方程解的平移不变性,只需证明又由第三步结论:u(t)是从[0,T]到L2(Ω)的一个弱连续函数,故只需要验证事实上,一方面,由弱收敛性有另一方面,由(83)式有第一步至第四步说明u是方程(1)的一个弱解.唯一性由定理2.5可得.定理3.1证毕. 参考文献【相关文献】[1]Colli P,Frigeri S,Grasselli M.Global existence of weak solutions to a nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system[J].J.Math.Anal.Appl.,2012,386:428-444.[2]Frigeri S,Grasselli M.Krejčí P,Strong solutions for two-dimensional nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems[J].J.Differential Equations,2013,255:2587-2614.[3]Frigeri S,Grasselli M.Global and trajectories attractors for a nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system[J].J.Dynam.Differential Equations,2012,24:827-856.[4]Frigeri S,Grasselli M.Nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems with singular potentials[J].Dyn.Partial Differ.Equ.,2012,9:273-304.[5]Kwek K H.On the Cahn-Hilliard type equation[D].Atlanta:Georgia Institute of Technology,1991.[6]Liu C.On the convective Cahn-Hilliard equation with degeneratemobility[J].J.Math.Anal.Appl.,2008,344:123-144.[7]Zaks M A,Podolny A,Nepomnyashchy A A,et al.Periodic stationary patterns governed bya convective Cahn-Hilliard equation[J].Siam J.Appl.Math.,2005,66:700-720.[8]Cahn J W,Hilliard J E.Free energy of a nonuniform system I,interfacial freeenergy[J].J.Chen.Phys.,1958,28:258-267.[9]Golovin A A,Davis S H,Nepomnyashchy A A.A convective Cahn-Hilliard model for the formation of facets and corners in crystal growth[J].Phys.D.,1998,122:202-230.[10]Bates P W,Han J.The Dirichlet boundary problem for a nonlocal Cahn-Hilliard equation[J].J.Math.Anal.Appl.,2005,311:289-312.[11]Bates P W,Han J.The Neumann boundary problem for a nonlocal Cahn-Hilliard equation[J].J.Differential Equations,2005,212:235-277.[12]Han J.The cauchy problem and steady state solutions for a nonlocal Cahn-Hilliard equation[J].Electron.J.Differential Equations,2004,113:1-9.[13]Giacomin G,Lebowitz J L.Phase segregation dynamics in particle systems with long range interactions.I.Macroscopic limits[J].J.Stat.Phy.,1997,87:37-61.[14]Giacomin G,Lebowitz J L.Phase segregation dynamics in particle systems with long range interactions.II.Phase motion[J].SIAM J.Appl.Math.,1998,58:1707-1729.[15]Eden A,Kalantarov V K.The convective Cahn-Hilliardequation[J].Appl.Math.Lett.,2007,20:455-461.[16]Golovin A A,Nepomnyashchy A A,Davis S H,et al.Convective Cahn-Hilliard models:from coarsening to roughening[J].Phys.Rev.Lett.,2011,86(8):1550-1553. [17]Gajewski H,Zacharias K.On a nonlocal phase separationmodel[J].J.Math.Anal.Appl.,2003,286:11-31.[18]Liu C,Li Z.Existence of solutions for a nonlocal epitaxial thin film growing equation[J].Arch.Math.,2012,99:157-168.[19]Alikakos N D.Lpbounds of solutions of reaction-diffusion equations[J].Comm.Partial Differential equations,1979,4(8):827-868.[20]Ladyzhenskaja O A,Solonikov V A,Uralceva N N.Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type[M].Providence:American Mathematical Society,1968.。
几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究的开题报告
几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究的开题报告题目：几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究一、研究背景与意义常微分方程是数学中非常重要的一个分支，其应用涵盖了物理、工程、生物等领域的许多问题。
二阶常微分方程组作为常微分方程中较为复杂的一类，其解的存在性和唯一性一直是研究的重点和难点。
为了更好地探究二阶常微分方程组边值问题的解的存在性和唯一性，进一步提高数学领域对实际问题的解决能力，本文将对几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性进行研究。
二、研究内容和方法本文将主要研究以下几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性：1. 带变系数的常微分方程组边值问题；2. 具有非线性项的常微分方程组边值问题；3. 带分数阶导数的常微分方程组边值问题。
对上述不同类型的边值问题，将采用不同的数学方法和技巧进行求解。
主要方法将包括变分法、上下解法、格里昂函数法等。
三、研究计划1. 对二阶常微分方程组边值问题的基本概念和解的存在性定理进行深入掌握。
2. 系统整理和总结二阶常微分方程组边值问题解的求解方法，包括变分法、上下解法、格里昂函数法等。
3. 根据不同类型的二阶常微分方程组边值问题，采用相应的方法和技巧求解。
4. 进行数值模拟，验证所得解的存在性和唯一性。
5. 对研究结果进行总结、归纳，并提出相应的应用建议。
四、研究成果和意义本文主要研究几类二阶常微分方程组边值问题的解的存在性和唯一性，进一步丰富了常微分方程相关的理论体系。
同时，本文提供了不同类型边值问题的求解方法和技巧，为实际问题的解决提供了参考。
此外，通过对研究结果进行数值模拟，对解的存在性进行验证，从而更加可靠地推广研究成果。
总之，本文的研究结果对于提高数学领域对实际问题的解决能力，推动科学技术、工程技术、生命科学等领域的发展都具有重要的意义。
一类带p(x)-双调和算子的kirchhoff型问题的多解性
f型问题的研究得到了很多结
收稿日期:
2019
06
11
基金项目:国家自然科学基金资助项目(
11861078);云南省教育厅科学研究基金资助项目(
2019
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0689)
作者简介:缪 清(
1984-),女,云南马龙人,云南民族大学副教授,博士,
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第 1期
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AR)
1)
x,
u)关于变量u 在无
穷远处是超线性的.
论文主要研究非线性项不满足 AR 条件时问题(
的多解性.
1)
1 预备知识及引理
令
C+ (
Ω)= p(
x)|p(
x)∈ C Ω ,
x)>1,
x ∈Ω ,
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双曲调和函数及其在数学建模中的应用研究
双曲调和函数及其在数学建模中的应用研究双曲函数在数学中有着极其重要的地位。
其中，双曲调和函数（Hyperbolic Harmonic Function）是双曲函数中的一种形式。
其定义为：$$H_n(x,y)=\int_0^{\infty} \frac{\cos(nt)}{\cosh y-\cos t} e^{-xt} dt。
$$第一个特殊的双曲调和函数是二维空间中的调和函数。
假设我们有一个平面上的区域$\Omega$。
这个区域内不存在任何的同一层的点，也就是说，对于任意的点$(x_0，y_0)\in \Omega$，都有$\Omega$内最小$n$满足：$$H_n(x_0,y_0)=0。
$$这个$n$称为调和函数的阶。
可以进一步证明，这个$n$是唯一的。
调和函数在物理学方面应用广泛。
比如说，我们可以利用它去证明拉普拉斯方程的解在给定区域上唯一。
同时，调和函数也可以在复杂电场的解中进行应用。
比如说，我们有一个均匀且电学性质均匀的球，里面存在一个球形空腔。
通过解调和方程，我们可以得到空腔内电场的分布。
在数学建模中，双曲调和函数可以用来描述液体内部的温度分布。
假设我们有一种液体被分成了许多薄片。
如果我们知道了每个薄片表面和下一个薄片表面之间的热流量，就能够用双曲调和函数计算出液体内部的温度分布。
这个问题可以被表述为：$$\nabla^2 u(x,y) = 0。
$$其中$u(x,y)$是液体中某一个点的温度。
当假设液体边界上的温度为给定常数的情况下，这个方程就会变成一个偏微分方程边值问题。
利用双曲调和函数，可以求解这个边值问题，得到液体内部的温度分布。
除此之外，双曲调和函数还被应用在了养牛场的模型设计中。
在这个模型中，我们需要寻找最优的方案去合理地分配饲料。
可以通过双曲调和函数去建立模型，来解决这个问题。
总的来说，双曲调和函数在数学建模领域中具有广泛的应用。
通过双曲调和函数，我们可以在解决边值问题中，探索更多的有趣性质。
一类双调和方程的多解性
一类双调和方程的多解性
皮慧荣;谢华朝;黄娜
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】2010(030)005
【摘要】本文研究了非线性项在无穷远处次线性增长的一类双调和方程解的存在性和多解性.应用抽象临界点定理,证明了此类双调和方程至少有三个弱解存在.【总页数】5页(P926-930)
【作者】皮慧荣;谢华朝;黄娜
【作者单位】华中师范大学数学与统计学学院,湖北,武汉,430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北,武汉,430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北,武汉,430079
【正文语种】中文
【中图分类】O175.4
【相关文献】
1.一类奇异双调和方程无穷多解的存在性 [J], 杜刚
2.一类带奇异项的双调和方程的多解性 [J], 彭艳芳;郭杰
3.一类带势的非线性双调和方程的多解性 [J], 张新萍;刘逸;
4.一类带势的非线性双调和方程的多解性 [J], 张新萍;刘逸
5.一类具有耦合项的Kirchhoff型双调和方程组正解的存在性和多解性 [J], 李振辉;许丽萍
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含Navier边界条件的p(x)-双调和方程弱解的存在性和多解性的开题报告
含Navier边界条件的p(x)-双调和方程弱解的存在性和多解性的开题报告【开题报告】题目：含Navier边界条件的p(x)-双调和方程弱解的存在性和多解性一、研究背景和意义双调和方程在数学和物理领域都有着广泛的应用，特别是在流体力学、弹性力学、电磁学等领域中。
而含有p(x)参数的双调和方程在一些特定的领域中也有着重要的应用。
Navier边界条件是一类重要的边界条件，它在一些复杂的问题中也有着广泛的应用。
因此，研究含Navier边界条件的p(x)-双调和方程弱解的存在性和多解性，对于深入理解这些方程的性质和探究它们的应用具有重要意义。
二、研究目的和内容本文将研究含Navier边界条件的p(x)-双调和方程的弱解存在性和多解性。
具体研究内容包括：（1）建立含Navier边界条件的p(x)-双调和方程的数学模型，并分析它们的性质；（2）探究含Navier边界条件的p(x)-双调和方程的弱解的存在性，利用弱解理论进行证明，分析参数p(x)对存在性的影响；（3）研究含Navier边界条件的p(x)-双调和方程的多解性，分析参数p(x)对多解性的影响。
三、研究方法和技术路线本文采用数学分析和偏微分方程理论的方法，以弱解理论为主要工具，通过把含Navier边界条件的p(x)-双调和方程转化为一个紧致算子的形式，利用半群和变分方法来证明弱解的存在性，并分析参数p(x)对存在性的影响。
另一方面，还将利用Ljusternik-Schnirelmann理论研究含Navier边界条件的p(x)-双调和方程的多解性，并分析参数p(x)对多解性的影响。
具体技术路线如下：（1）建立含Navier边界条件的p(x)-双调和方程的数学模型，分析它们的性质，对模型进行简化和归纳；（2）研究含Navier边界条件的p(x)-双调和方程的弱解的存在性，将方程转化为紧致算子的形式，利用半群和变分方法对方程进行分析和求解；（3）研究含Navier边界条件的p(x)-双调和方程的多解性，利用Ljusternik-Schnirelmann理论和变分方法分析方程的复杂多解性质。
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１ 引
言
双调 和方 程 问题解 的研究 一直 比较 活跃 ， 文献 ［ —４ 都各 自从 不 同角度 研 究 双调 和 方 程 问题解 的 １ ］
存 在性 ， 本文 通过将 双调 和方 程 问题化 为椭 圆方 程组 问题 ， ＮＮ＿ 下解 方法 和不 动点 理论 ， 究 了方程 Ｅ、 研
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第２ ３卷 第 ２期
２０ ０ ７年 ４月
大 学 数 学
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方 程 弱 解 的存 在性 研 究
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大 学 数 学
第２ ３卷
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定理
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［ （ ］． ∞ ’ ） 进而 问题 （ ） 尸 １ 存在 弱解．
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［ 键 词 ］ 上 、 解 ； ｅａ－ｃ ａｄ ｒ 动点 定理 ； 入 定 理 关 下 Ｌ ｒｙＳ ｈ ｕ ｅ 不 嵌 ［ 图分 类 号 ］ Ｏ１５ 中 ７ ［ 献 标 识 码 ］Ａ 文 ［ 章 编 号 ］ １７ —４４ ２ ０ ）２０ １—４ 文 ６ ２１５ （０ ７ ０—１ ３０
则 （） １ 式可转 化 为
ｒ — Ａｕ一 ， ｚ∈ ｎ ’
（） １
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安徽 合 肥 ２ ０ ３ ） ３ ０ ９ （．安 庆 师 范 学 院 ， 徽 安 庆 ２ ６ １ ； ２ 安 徽 大学 ， １ 安 ４ ０ １ ．
［ 摘
要 ］ 利 用 上 下 解 方 法 、 入 定 理 和 Ｌ ｒｙＳ ｈｕ ｅ 不 动 点 定 理 证 明 了 一 类 双 调 和 方 程 弱 解 的 存 在 嵌 ｅａ－ｃａ ｄ ｒ
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２ 主 要 结 果
定义 称 （ ） （ ） 问题 （ ） ， ， ， 是 ２ 的一 对 弱上 、 下解 ， 若满 足
ｌ
给定 条件
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ｘｆ ａ ｆ ｎ．
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组 问题 弱解 的存在 性 ， 而证 明 了双调 和方 程 问题弱解 的存 在性 ， 进 研究 的方 法亦不 同于文献 ［ —４ ． １ ］
考 察双 调和方 程 问题
』ａ＝ ｚｕ ｒｚ△ ＋ （ ，， Ａ ， ｕ ， ∈ ， Ａｕ ７（）－ ｌ ） 厂ｚ 一 ｕＤ ） （ ｚ ｎ
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［ 收稿 日期 ］２ ０ —７１ ０ ５０— １
［ 金 项 目］安 徽 省 高等 学 校 自然 科 学 研 究 项 目（０ ５ Ｊ １ ） 基 ２ ０ Ｋ ２ ５
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