2020年江苏省徐州市中考数学试卷含答案

2020年江苏省徐州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）（2020•徐州）3的相反数是（）
A．﹣3B．3C．−1
3D．
1
3
2．（3分）（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
4．（3分）（2020•徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）
A．5B．10C．12D．15
5．（3分）（2020•徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，
36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（）
A．中位数是36.5℃B．众数是36.2°C
C．平均数是36.2℃D．极差是0.3℃
6．（3分）（2020•徐州）下列计算正确的是（）
A．a2+2a2＝3a4B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b2
7．（3分）（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交
AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（）
A．75°B．70°C．65°D．60°
8．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4
x（x＞0）与y＝x﹣1的图象
交于点P（a，b），则代数式1
a
−
1
b
的值为（）
A．−1
2B．
1
2
C．−
1
4D．
1
4
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）（2020•徐州）7的平方根是．
10．（3分）（2020•徐州）分解因式：m2﹣4＝．
11．（3分）（2020•徐州）若√x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（3分）（2020•徐州）原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将
0.000000000148用科学记数法表示为．
13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝．
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14．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于．
15．（3分）（2020•徐州）方程9
x =
8
x−1
的解为．
16．（3分）（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．
17．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=√3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于．
18．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（2020•徐州）计算：
（1）（﹣1）2020+|√2−2|﹣（1
2
）﹣1；
（2）（1−1
a）÷
a2−2a+1
2a−2．
20．（10分）（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；
（2）解不等式组：{3x−4＜5
2x−1
3＞
x−2
2
．
21．（7分）（2020•徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到B组的概率是；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
22．（7分）（2020•徐州）某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查．根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表：
市民每天的阅读时间统计表
类别A B C D 阅读时间x（min）0≤x＜3030≤x＜6060≤x＜90x≥90频数450400m50根据以上信息解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为，m＝；
（2）在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于°；
（3）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”．若该市约有600万人，请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人．
23．（8分）（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
24．（8分）（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地起步价（元）超过1千克的部分（元/千克）
上海a b
北京a+3b+4
实际收费
目的地质量费用（元）
上海29
北京 3 22
求a ，b 的值．
25．（8分）（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD 边AB 的中点M 处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P 处，爸爸到达点Q 处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM ＝30m ，求小红与爸爸的距离PQ ．（结果精确到1m ，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，﹣4）、B （2，0），交反比例函数y =m
x （x ＞0）的图象于点C （3，a ），点P 在反比例函数的图象上，横坐标为n （0＜n ＜3），PQ ∥y 轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△DPQ 面积的最大值．
27．（10分）（2020•徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB
=
AB AC
，
那么称点B 为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为
√5−1
2
． （1）在图①中，若AC ＝20cm ，则AB 的长为 cm ；
（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕
EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE ＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
28．（10分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为：；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）（2020•徐州）3的相反数是（）
A．﹣3B．3C．−1
3D．
1
3
【解答】解：根据相反数的含义，可得
3的相反数是：﹣3．
故选：A．
2．（3分）（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，
故选：C．
4．（3分）（2020•徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）
A．5B．10C．12D．15
【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：x
20
=0.25，
解得x＝5，
∴袋子中红球的个数最有可能是5个，
故选：A．
5．（3分）（2020•徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，
36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（）
A．中位数是36.5℃B．众数是36.2°C
C．平均数是36.2℃D．极差是0.3℃
【解答】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3.36.5，36.6，处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3℃；
出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃；
平均数为：x=（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5＝36.36℃，
极差为：36.6﹣36.2＝0.4℃，
故选：B．
6．（3分）（2020•徐州）下列计算正确的是（）
A．a2+2a2＝3a4B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b2
【解答】解：a2+2a2＝3a2，因此选项A不符合题意；
a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此选项C不符合题意；
（ab）2＝a2b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
7．（3分）（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（）
A．75°B．70°C．65°D．60°【解答】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
故选：B．
8．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4
x（x＞0）与y＝x﹣1的图象
交于点P（a，b），则代数式1
a
−
1
b
的值为（）
A．−1
2B．
1
2
C．−
1
4D．
1
4
【解答】解：
法一：由题意得，
{
y =4x y =x −1，解得，{x =1+√172y =√17−12或{x =
1−√17
2y =−1−√172
（舍去）， ∴点P （1+√172，√17−1
2
）， 即：a =1+√172，b =√17−12
， ∴1
a −
1b
=
1+√17
−
√17−1
=−1
4
；
法二：由题意得，
函数y =4
x （x ＞0）与y ＝x ﹣1的图象交于点P （a ，b ）， ∴ab ＝4，b ＝a ﹣1， ∴1
a −
1b =
b−a ab
=−1
4
；
故选：C ．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）（2020•徐州）7的平方根是 ±√7 ． 【解答】解：7的平方根是±√7． 故答案为：±√7．
10．（3分）（2020•徐州）分解因式：m 2﹣4＝ （m +2）（m ﹣2） ． 【解答】解：m 2﹣4＝（m +2）（m ﹣2）． 故答案为：（m +2）（m ﹣2）．
11．（3分）（2020•徐州）若√x −3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≥3 ． 【解答】解：根据题意得x ﹣3≥0， 解得x ≥3． 故答案为：x ≥3．
12．（3分）（2020•徐州）原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m ，将0.000000000148用科学记数法表示为 1.48×10﹣10
．
【解答】解：0.000000000148＝1.48×10﹣10
．
故答案为：1.48×10
﹣10
．
13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若BF ＝5，则DE ＝ 5 ．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为CA的中点，BF＝5，∴AC＝2BF＝10．
又∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE=1
2AC＝5．
故答案是：5．
14．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于15π．
【解答】解：由已知得，母线长l＝5，底面圆的半径r为3，∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×3×π＝15π．
故答案为：15π．
15．（3分）（2020•徐州）方程9
x =
8
x−1
的解为x＝9．
【解答】解：去分母得：
9（x﹣1）＝8x
9x﹣9＝8x
x＝9
检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，
所以x＝9是原方程的解．
故答案为：x＝9．
16．（3分）（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为10．
【解答】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数=360°
36°
=10，
故答案为：10．
17．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=√3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于219．
【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，
∴OA1＝A1A2，
∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，
∴B1A1∥B2A2，
∴B1A1=1
2A2B2，
∴A2B2＝2A1B1，
同法可得A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，…，由此规律可得A20B20＝219•A1B1，
∵A1B1＝OA1•tan30°=√3×√3
3
=1，
∴A20B20＝219，
故答案为219．
18．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大
值为9√2+9．
【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM=1
2AB=
1
2
×6=3，
∴OA=√OM2+AM2=3√2，∴CM＝OC+OM＝3√2+3，
∴S△ABC=1
2AB•CM=
1
2
×6×（3√2+3）＝9√2+9．
故答案为：9√2+9．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（2020•徐州）计算：
（1）（﹣1）2020+|√2−2|﹣（1
2
）﹣1；
（2）（1−1
a）÷
a2−2a+1
2a−2．
【解答】解：（1）原式＝1+2−√2−2＝1−√2；
（2）原式=a−1
a
÷(a−1)
2
2(a−1)
=
a−1a •2
a−1 =2a
．
20．（10分）（2020•徐州）（1）解方程：2x 2﹣5x +3＝0； （2）解不等式组：{3x −4＜5
2x−1
3
＞x−22
．
【解答】解：（1）2x 2﹣5x +3＝0， （2x ﹣3）（x ﹣1）＝0， ∴2x ﹣3＝0或x ﹣1＝0， 解得：x 1=32
，x 2＝1； （2）{3x −4＜5①2x−13＞x−2
2
②
解不等式①，得x ＜3． 解不等式②，得x ＞﹣4．
则原不等式的解集为：﹣4＜x ＜3．
21．（7分）（2020•徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A 组（体温检测）、B 组（便民代购）、C 组（环境消杀）． （1）小红的爸爸被分到B 组的概率是
13
；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
【解答】解：（1）共有3种等可能出现的结果，被分到“B 组”的有1中，因此被分到“B 组”的概率为1
3；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种， ∴P （他与小红爸爸在同一组）=39=1
3．
22．（7分）（2020•徐州）某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查．根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表：
市民每天的阅读时间统计表
类别A B C D 阅读时间x（min）0≤x＜3030≤x＜6060≤x＜90x≥90频数450400m50根据以上信息解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为1000，m＝100；
（2）在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于144°；
（3）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”．若该市约有600万人，请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人．
【解答】解：（1）450÷45%＝1000，
m＝1000﹣（450+400+50）＝100．
故答案为：1000，100；
（2）360°×400
1000
=144°．
即在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于144°．故答案为：144；
（3）600×100+50
1000
=90（万人）．
答：估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有90万人．
23．（8分）（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点
F ．
（1）求证：AE ＝BD ； （2）求∠AFD 的度数．
【解答】解：（1）∵AC ⊥BC ，DC ⊥EC ， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴∠ACE ＝∠BCD ， 在△ACE 和△BCD 中， {AC =BC
∠ACE =∠BCD CE =CD
， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）， ∴AE ＝BD ；
（2）∵∠ACB ＝90°， ∴∠A +∠ANC ＝90°， ∵△ACE ≌△BCD ， ∴∠A ＝∠B ， ∵∠ANC ＝∠BNF ，
∴∠B +∠BNF ＝∠A +∠ANC ＝90°， ∴∠AFD ＝∠B +∠BNF ＝90°．
24．（8分）（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：
寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元）
超过1千克的部分（元/千克）
上海 a b 北京 a +3
b +4
实际收费 目的地 质量 费用（元）
上海 2 9 北京 3
22
求a ，b 的值．
【解答】解：依题意，得：{a +(2−1)b =9
a +3+(3−1)(
b +4)=22，
解得：{a =7
b =2
．
答：a 的值为7，b 的值为2．
25．（8分）（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD 边AB 的中点M 处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P 处，爸爸到达点Q 处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM ＝30m ，求小红与爸爸的距离PQ ．（结果精确到1m ，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
【解答】解：作PN ⊥BC 于N ，如图： 则四边形ABNP 是矩形， ∴PN ＝AB ，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM=√2
2PM=
√2
2
×30＝15√2（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝30√2m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQ=√3
3PN＝10√6m，PQ＝2NQ＝20√6≈49（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．
26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A
（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=m
x（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比
例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
{b=−4，解得，{k=2，
∴一次函数的关系式为y ＝2x ﹣4，
当x ＝3时，y ＝2×3﹣4＝2，
∴点C （3，2），
∵点C 在反比例函数的图象上，
∴k ＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y =6x
，
答：一次函数的关系式为y ＝2x ﹣4，反比例函数的关系式为y =6x ；
（2）点P 在反比例函数的图象上，点Q 在一次函数的图象上，
∴点P （n ，6n ），点Q （n ，2n ﹣4）， ∴PQ =6n
−（2n ﹣4）， ∴S △PDQ =12n [6n −（2n ﹣4）]＝﹣n 2+2n +3＝﹣（n ﹣1）2+4，
∴当n ＝1时，S 最大＝4，
答：△DPQ 面积的最大值是4．
27．（10分）（2020•徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果
BC AB =AB AC ，
那么称点B 为线段AC 的黄金分割点．它们的比值为√5−12． （1）在图①中，若AC ＝20cm ，则AB 的长为 （10√5−10） cm ；
（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE ＞DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【解答】解：（1）∵点B 为线段AC 的黄金分割点，AC ＝20cm ，
∴AB =√5−12×20＝（10√5−10）cm ．
故答案为：（10√5−10）．
（2）延长EA ，CG 交于点M ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴DM ∥BC ，
∴∠EMC ＝∠BCG ，
由折叠的性质可知，∠ECM ＝∠BCG ，
∴∠EMC ＝∠ECM ，
∴EM ＝EC ，
∵DE ＝10，DC ＝20，
∴EC =√DE 2+DC 2=√102+202=10√5，
∴EM ＝10√5，
∴DM ＝10√5+10，
∴tan ∠DMC =DC DH =10√5+10=√5+1=√5−12．
∴tan ∠BCG =√5−12，
即BG BC =√5−1
2，
∴BG AB =√5−1
2，
∴G 是AB 的黄金分割点；
（3）当BP ＝BC 时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ，∠BAE ＝∠CBF ＝90°，
∵BE ⊥CF ，
∴∠ABE +∠CBF ＝90°，
又∵∠BCF +∠BFC ＝90°，
∴∠BCF ＝∠ABE ，
∴△ABE ≌△BCF （ASA ），
∴BF ＝AE ，
∵AD ∥CP ，
∴△AEF ∽△BPF ，
∴AE BP =AF BF ，
当E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点时，
∵AE ＞DE ，
∴AF BF =BF AB ，
∵BF ＝AE ，AB ＝BC ，
∴
AF BF =BF AB =AE BC ，
∴AE BP =AE BC ， ∴BP ＝BC ．
28．（10分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝﹣ax 2+2ax +3a （a ＞0）的
图象交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，它的对称轴交x 轴于点E ．过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ，连接DE 并延长交y 轴于点F ，交抛物线于点G ．直线AF 交CD 于点H ，交抛物线于点K ，连接HE 、GK ．
（1）点E 的坐标为： （1，0） ；
（2）当△HEF 是直角三角形时，求a 的值；
（3）HE 与GK 有怎样的位置关系？请说明理由．
【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x=−
2a
−2a
=1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．
（2）如图，连接EC．
对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），
∵C，D关于对称轴对称，
∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，
当∠HEF＝90°时，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC，∴EC＝EF＝DE，
∵EA∥DH，
∴F A＝AH，∴AE=1
2DH，∵AE＝2，∴DH＝4，∵HE⊥DFEF＝ED，∴FH＝DH＝4，
在Rt △CFH 中，则有42＝22+（6a ）2，
解得a =√33或−√33（不符合题意舍弃），
∴a =√33．
当∠HFE ＝90°时，∵OA ＝OE ，FO ⊥AE ，∴F A ＝FE ，
∴OF ＝OA ＝OE ＝1，∴3a ＝1，
∴a =13，
综上所述，满足条件的a 的值为
√33或13． （3）结论：EH ∥GK ．
理由：由题意A （﹣1，0），F （0，﹣3a ），D （2，3a ），H （﹣2，3a ），E （1，0）， ∴直线AF 的解析式y ＝﹣3ax ﹣3a ，直线DF 的解析式为y ＝3ax ﹣3a ，
由{y =−3ax −3a y =−ax 2+2ax +3a
，解得{x =−1y =0或{x =6y =−21a ， ∴K （6，﹣21a ），
由{y =3ax −3a y =−ax 2+2ax +3a
，解得{x =2y =3a 或{x =−3y =−12a ， ∴G （﹣3，﹣12a ），
∴直线HE 的解析式为y ＝﹣ax +a ，直线GK 的解析式为y ＝﹣ax ﹣15a ，
∵k 相同，∴HE ∥GK ．。