吉林大学2014学年期末《线性代数与解析几何》模拟考试卷二及答案-(A3版)

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吉林大学
2014学年期末《线性代数与解析几何》考试
（考试时间90分钟，满分100分）
一、单项选择题(每小题5分,共15分)
(1).设A 为三阶方阵,将A 的第2行加到第1行得矩阵B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得
矩阵C ，记矩阵110010001P ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
, 则
(A) 1C P AP -=. (B) 1C PAP -=. (C) T C P AP =. (D) T C PAP =. 【 】 (2). 设有线性方程组(I) :AX O =， (II):T A AX O =,则 (A) (II)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解; (B) (II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)的解; (C) (I)的解不是(II)的解，(II)的解也不是(I)的解;
(D) (I)的解是(II)的解，但(II)的解不是(I)的解;. 【 】 (3) 若n 阶方阵A 相似于对角阵，则
(A) A 有n 个不同的特征值; (B) A 为实对称阵;
(C) A 有n 个线性无关的特征向量; (D) n r =)(A . 【 】 二、填空题(每小题5分,共15分)
(1). 设2λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵1
213A -⎛⎫
⎪⎝⎭
的一个特征值为 .
(2). 矩阵2010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则二次型()T
f x x Bx =的矩阵为 .
(3).已知123,,ηηη是四元方程组AX b =的三个解，其中()3r A =且1223(1,2,3,4),(4,4,4,4)T T ηηηη+=+=，则方程组AX b =的通解为
三、(12分) 证明两直线1:4l x y z ==-,2:l x y z -==异面；求两直线间的距离；并求与12,l l 都垂直且相交的直线方程。

四、(12分)线性方程组
123113112112x x x λλλλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
讨论λ取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,
求出该方程组的结构式通解.
五、(12分). 已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可经过正交变换'''x x y P y z z ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
化为柱面方程22'4'4y z +=，求,a b 的值及正交矩阵P.
六、(12分) 设101020101A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,矩阵X 满足2AX I A X +=+，其中I 为三阶单位矩阵，求矩阵X .
七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)
(1) 矩阵1123130101111432A -⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥---⎣⎦
，线性空间{}4|V b b F Ax =∈，方程组=b 有解求V 的基与维数. (2) 设()
3T L R ∈,T
在3R 的基123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα=-=-=下的矩阵为
101110121A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，求T 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T βββ===下的矩阵.
八、(10分)设12,,,n ααα是n 维列向量组，矩阵
11121212
2212
T T T n T T T n T T T n n n n A αααααααααααααααααα⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥
=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
试证明12,,
,n ααα线性无关的充要条件是对任意n 维列向量b ，方程组AX b =均有解。

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参考答案
一.单选题（5分⨯3=15分） 1.B 2. A 3. C
二.填空题（5分⨯3=15分） 1. 43
2. ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡02
1212
3.
(3,2,1,0)(2,2,2,2),T T
k k +为任意常数 三.（12分） T
2T 1)1,1,1(,)1,1,1(-==a a
取点11)4,0,0(l P ∈，点22)0,0,0(l P ∈,)4,0,0(21-=P P
混合积08],,[2121≠-=P P
a a ，故12,l l 异面… 1l 与2l
的距离
121212|[]|a a PP d a a =
==⨯
公垂线l 的方向向量)1,1,0//(-l
含1,l l 的平面方程为2(0)1(0)1(4)0x y z --+-+-=含2,l l 的平面方程为
2(0)1(0)1(0)0x y z -----+=故公垂线l 的方程为:
240
20.x y z x y z --+=⎧⎨
++=⎩
四.（12分）
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+---−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=)1(3)1)(2(000)1(10211
211211311λλλλλλλλλλA ①当2-≠λ且1≠λ时,3)()(==A r A r 方程组有唯一解 ②当2-≠λ时,3)(,2)(==A r A r 方程组无解…
③当1=λ时,11120000,()()130000A r A A -⎡⎤
⎢⎥→==<⎢⎥
⎢⎥⎣⎦方程组有无穷多解,取一个特解
T )0,0,2(-=η,易得导出组的一个基础解系为:T T
12(1,1,0),(1,0,1)ξξ=-=-,
故结构式通解为2211ξξηc c x ++=,21c c 为任意常数
五.记
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410,111111D a b b A ，有D AP P AP P ==-T 1，4,1,0321===λλλ. ⎩⎨⎧--==⨯⨯++=++2
)1(||41011410b A a ,故1,3==b a …
对12=λ，解0)1(=-⋅x A I ,得属于2λ的特征向量T
)1,1,1(-； 对43=λ，解0)4(=-⋅x A I ,得属于3λ的特征向量T
)1,1,1(.
将上述3个特征向量再正交化，单位化，得正交矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-
-=613
12162310
6131
21
P
六、（12分）由题知
),)(()(2
I A I A I A X I A +-=-=- ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100I A 可逆…
故
1201()()()030102X A I A I A I A I -⎡⎤
⎢⎥=--+=+=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 七、（12分）1. W 的基与维数为A 的列向量组的极大无关组和秩….. 记][4321αααα=A ，可计算出A 的极大无关组为321,,ααα， 故W 的基为321,,ααα，维数为3 …… 2. 基321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵记为P
即 P ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡111101011100010001 …………………… 则T 在321,,βββ下的矩阵为
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=-2030222111PAP ……
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八.（10分） 记12[,,]n D ααα=
⇒由n αα ,1线性无关知||0D ≠而T 2
||||0A D D D ==≠，即A 可逆, 故对任意n 维列向量
b ，方程组AX b =均有解1X A b -=。

……………
⇐分别取12,,n b εεε=,由方程组AX b =均有解知，12,,
n εεε与A 的列向量组等价,故
()r A n =，从而T 2
||||0A D D D ==≠,得||0D ≠故n αα ,1线性无关。