条件概率及其性质

1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义
设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝ 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率． (2)条件概率的求法
求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典 概型概率公式，即P (B |A )＝ .
(3)条件概率的性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1.
②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝ P(B|A)＋P(C|A) ) ． 2．事件的相互独立性
(1)设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P(A)P(B) ，则称事件A 与事件B 相互独立．
(2)如果事件A 与B 相互独立，那么 与 ， 与 ， 与也都相互独立．3．二项分布
在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k
次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －k
(k ＝0,1, 2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作 X ～B(n ，p) ，并称_p_为成功概率．
若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 1.区分条件概率P (B |A )与概率P (B )
它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的．概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小．
2．求法：(1)利用定义分别求P (A )，P (AB )，得P (B |A )＝
P (AB )
P (A )
； (2)先求A 含的基本事件数n (A )，再求在A 发生的条件下B 包含的事件数即n (AB )，得P (B |A )＝
n (AB )
n (A )
. 1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？
【解】 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝
4
2＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝13，
(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝1
3，
∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝11
27.
2.(2011年湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正
方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分内)，”则
(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝_____ 答案：(1)2π (2)1
4
1.相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生．
2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，则 A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；
A 、
B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为A B ；
A 、
B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ；
A 、
B 中至多有一个发生的事件为A B ∪A B ∪ A B .
3．互斥事件与相互独立事件的区别：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生．
3.(2012年山东)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3
4，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命
中的概率为2
3
，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．
【解】 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，
由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝2
3，
由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ， 根据事件的独立性和互斥性得
P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )
＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )
＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )
＝3
4×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5， 根据事件的独立性和互斥性得
P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝1
36
， P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝1
12，P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D ) ＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝1
9
， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×2
3×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝1
9， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝1
3.
故X 的分布列为
所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝41
12
.
(1)注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率．(3)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．
4.(2011年山东高考)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.
5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)． 解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F .
则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知
P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.
又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，
因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)
＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5
＝0.35，
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为：
因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.
1.判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点：
(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；
(2)试验结果要么发生，要么不发生．
2．在利用n次独立重复试验中，恰好发生k次的概率P(x＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，….要注意n，k，p的取值．
3．遇到“至少”“至多”问题时，要考虑从对立事件入手计算．
4．二项分布模型
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
①是否为n次独立重复试验．
②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
(2)涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题时，由于产品数量很大，因而抽查时，抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．
(3)若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np.
5.(2012年天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)【解】依题意，这4
个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为2
3
.
设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，
则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24
⎝⎛⎭⎫13 2 ⎝⎛⎭⎫232
＝827.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故 P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44
⎝⎛⎭⎫134＝19.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1
9.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P (ξ＝0)＝P (A 2)＝8
27
，
P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝17
81.
所以ξ的分布列是
随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝148
81
.
6. 张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家到公司上班的路上有L 1，L 2两条路线(如图所示)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，3
5
.
(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯的次数X 的数学期望；
(3)按照“遇到红灯的平均次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
解：(1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×12×⎝⎛⎭⎫122＝12.所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－35＝110，P (X ＝1)＝3
4×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝
⎛⎭⎫1－34×35＝920，
P (X ＝2)＝34×35＝9
20
.故随机变量X 的分布列为
6.(1)设某种灯管使用了500 h 0.87，问已经使用了500 h 的灯管还能继续使用到700 h 的概率是多少？
(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．
【正确解答】 (1)设A ＝“能使用到500 h ”，B ＝“能使用到700h ”，则P (A )＝0.94，P (B )＝0.87.而所求的概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故P (B |A )＝
P (A ∩B )P (A )＝P (B )P (A )＝0.870.94＝87
94
. (2)据题意知P (A )＝0.9，P (B |A )＝0.8，故由P (B |A )＝P (A ∩B )
P (A )知P (A ∩B )＝P (A )·P (B |A )＝0.72，又由于B ⊆A ，故P (A ∩B )＝P (B )＝0.72即为
这粒种子能成长为幼苗的概率．
假定生男生女是等可能的，某家庭有3个孩子，其中有1名女孩，求其至少有1个男孩的概率．
解：法一：此家庭共有3个孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)其中至少有1个女孩共有7种可能，其中至少有1个男孩有6种可能，故其概率为6
7
法二：记事件A 表示“其中有1名女孩”，B 表示“至少有1个男孩”，P (B |A )＝6878＝6
7.。