(完整版)整式的乘法与因式分解培优

第二章 整式的乘法
【知识点归纳】
1.同底数幂相乘， 不变， 相加。

a n.a m = (m,n 是正整数)
2.幂的乘方， 不变， 相乘。

(a n )m = (m,n 是正整数)
3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。

(ab)n = (n 是正整数)
4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。

5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）=
6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。

7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）=
8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。

（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。

9.公式的灵活变形：
（a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ，
a 2+
b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。

【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数
式234a -+2221
2(3)4b a b --的值
【例2】已知两个多项式A 和B ，
43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？
【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？
【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 .
【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值.
【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ；
（2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ．
【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．
【例8】归纳与猜想：
（1）计算：①（x﹣1）（x+1）= ；
②（x﹣1）（x2+x+1）= ；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．
①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；
（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= ；
（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．
【例9】认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应
的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
（a+b）1=a+b，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数
进一步研究发现，
n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
课后作业：
1、若0352=-+y x ，求y x 324⋅的值。

2、在()()y x y ax -+与3的积中，不含有xy 项，则a 必须为 。

3、已知()()2212
3
--==+b a ab b a ，化简，的结果是 。

4、已知199819992000201x x x x x ++=++，则的值为 。

5、已知()3
353x y y x y x -++-=-，则代数式的值等于 。

6、已知()
93
22=x
，则x = 。

7、若y x x x 2254,32+==，则的值为 。

8、当2x =时，代数式31ax bx -+的值等于17-，那么当1x =-时，代数式31235ax bx --的值 .
9、已知19992000a x =+，19992001b x =+，19992002c x =+，求多项式
222a b c ab bc ca ++---的值为。

10、已知,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，那么111111
()()()a b c b c c a a b
+++++的值是多少？
“整体思想”在整式运算中的运用
1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.
2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，168
3
-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。

3、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.
4、若a 2﹣2a+1=0．求代数式的值．
5、先化简，再求值：
(1))4)(2)(2(22y x y x y x +-+ ，其中x=-2,y=-3 (2) 2
1,2)()())((222==+++--+b a b a b a b a b a 其中
第四讲 乘法公式（1）
公式的逆用
1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值
2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

3、已知 2
()16,4,a b ab +==求22
3
a b +与2()a b -的值。

4、已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。

5、已知222450x y x y +--+=，求21
(1)2
x xy --的值。

6、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441
x
x +
7、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

8、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式2222
++=++，
3()()
a b c a b c
请说明该三角形是什么三角形？
9、计算
（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）
（3）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（4）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．10、已，求下列各式的值：（1）；（2）．
第五讲 乘法公式（2）
例1 已知a-b=2,b-c=1,求代数式222a b c ab bc ac ++---的值。

例2 已知a 、b 、c 为有理数，且满足28,16,a b c ab =-=-求a.b.c 的值。

例3 已知2310,x x -+=试求下列各式的值： （1）221x x + （2）331x x + (3) 4
41x x
+
例4 已知x 、y 满足x 2十y 2十4
5
＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值．
例5 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数． 证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数．
1、 若23231,6751999x x x x x -=+-+求代数式的值为
2、如果：=-==+-222)32,5,0168y x x y xy x 则（且
3、计算：24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++=
4、若942++mx x 是一个完全平方式，则m 的值为 。

5、当x = ，y = 时，多项式11249422-+-+y x y x 有最小值，此时这个最小值是 。

6、()()()()()121212121232842+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++的个位数字是 。

7、若()()[]1320122
---=+++ab ab ab b b a ，则的值是 。

8、计算()()123123-++-y x y x 的结果为 。

9、若x
x x 2
04412，则=+-的值为 。

10、多项式621
143--++b a ab a m 是一个六次四项式，则=m 。

11、若代数式5021422++-+y x y x 的值为0，则=x ，=y 。

12、已知052422=+-+-b b a a , 求 b a 、的值
13、已知a,b,c 是三角形的三边，且a 2+b 2+c 2=ab=bc+ca,试判断三角形的形状
14、已知2
242
212,22322
a a a a a a =++++求的值
1．观察下列各式：
(x 一1)(x+1)＝x 2一l ； (x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；
(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．
根据前面的规律可得 (x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．
2．已知052422=+-++b a b a ，则b
a b
a -+= ．
3．计算：
(1)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 =
(2)
2
19991999
19991997199919982
22
-+ ．
4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式
5．已知51
=+a
a ，则2
241a a a ++= ． 6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )． A ．一15 B ．一2 C ．一6 D ．6
7．乘积)20001
1)(199911()311)(211(2
222---- 等于( )．
A ．20001999
B ．20002001
C ．40001999
D ．4000
2001
8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．
A ．4
B ．20022
C ． 22002
D ．42002
9．若01132=+-x x ，则441
x
x +的个位数字是( )．
A ．1
B ．3
C ． 5
D ．7
10．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．
A ．))((22b a b a b a -+=-
B ．2222)(b ab a b a ++=+
C ．2222)(b ab a b a +-=-
D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+
11．(1)设x+2z＝3y，试判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．
(2)已知x2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x—1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1)．
12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．
13．观察：25
⋅
⋅
⋅
+
2
4
3
1
1=
2
+
⋅
2=
⋅
⋅
3
1
11
4
5
2
+
⋅
⋅
3=
⋅
19
4
1
5
6
……
(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)．
14．你能很快算出19952吗?
为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n＝3……这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．
(1)通过计算，探索规律．
152 =225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；
352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成；852＝7225可写成．
(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．
(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝．
第三章因式分解
【知识点归纳】
1.把一个多项式表示成若干个的形式，称为把这个多项式因式分解。

（因式分解三注意：1.乘积形式；
2.恒等变形；
3.分解彻底。

）
2.几个多项式的称为它们的公因式。

3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。

am+an=a（）
4.找公因式的方法：
找公因式的系数：取各项系数绝对值的。

确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的的。

5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。

a2-b2= ，a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= 。

【典型例题】
1．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
2．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
3．已知乘法公式：a5+b5=（a+b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4）；a5﹣b5=（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）．利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1．
4、先化简，再求值：，其中
5、已知能被整除，其商式为，求m、n的值。

6、已知a、b、c分别为△ABC的三边，你能判断的符号吗？
第六讲 因式分解（一）
【例题精讲】
◆例1：（1）4x （a －b ）＋（b 2－a 2）； （2）（a 2＋b 2）2－4a 2b 2；
（3）x 4＋2x 2－3；
（4）（x ＋y ）2－3（x ＋y ）＋2；
（5）x 3－2x 2－3x ；
（6）4a 2－b 2＋6a －3b ；
（7）a 2－c 2+2ab +b 2－d 2－2cd
（8）a 2－4b 2－4c 2－8bc
◆例2：分解因式：
（1）()()10342424+++-+x x x x
（2）()()()()26321x x x x x +++++
（3）()199911999199922---x x
1、()()122122-++++x x x x ；
2、()()
2222284384x x x x x x ++++++；
3、()()()()21131216x x x x x +----；
4、分解因式：()()()2122-+-+-+xy y x xy y x ；
◆例3：把下列各式分解因式：
1、()()()b a c a c b c b a -+-+-222； 2
、67222-+--+y x y xy x 。

【巩固】分解因式：
1、()()122++-+b a b a ab ； 2
、613622-++-+y x y xy x 。

◆例4：分解因式：4323+-x x 。

1、4224y y x x ++；
2、4464b a +；
【拓展】分解因式：432234232b ab b a b a a ++++。

◆例5：已知多项式6823222-+--+y x y xy x 的值恒等于两个因式()A y x ++2，()B y x +-2乘积的值，则=+B A ______________。

◆例6：分解因式：613622-++-+y x y xy x 。

【巩固】分解因式：
1、25222-+---y x y xy x ；
2、4925322-++-+y x y xy x ；
【拓展】
1、k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？
2、多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，试确定b a +的值。

3、求证：22328y xy x --可以化为两个整系数多项式的平方差。

【作业】
1、分解因式：=+-2232ab b a a ___________________________；
2、分解因式：=-+-9222y xy x ________________________________；
3、分解因式：()()=-++++122122x x x x ___________________________________；
4、已知c b a 、、满足5=+b a ，92-+=b ab c ，则=c _______________；
5、分解因式：32422+++-b a b a 的结果是____________________________________；
6、已知()1552-++-a x a x 能分解成两个整系数一次因式的乘积，求a 的值。

7、把下列各式分解因式：
（1）142222+---y x xy y x ； （2）2225408b ab ax x ---；
（3）用换元法分解()()22236765x x x x x -++++；
（4）用待定系数法分解25222-+---y x y xy x 。

7、k 是什么数时，2533222+-+--y x y xy kx 能分解成两个一次因式的积？
第七讲 因式分解的应用
【例题精讲】
◆例1：若ABC ∆的三条边c b a 、、满足关系式0422224=--+b c a c b a ，则ABC ∆的形状是_________________________。

【巩固】
1、已知c b a 、、是三角形三边长，则代数式2222b c ab a +--的值是（ ）
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.符号不定
2、设c b a 、、是三角形三边长，化简ca bc ab c b a c 222222--++++。

【拓展】已知c b a 、、是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值是（ ）
A.恒正
B.恒负
C.可正可负
D.非负 ◆例2：已知0142=-+x x ，则18482234+--+x x x x 的值是多少？
【巩固】
1、已知0136422=++-+b a b a ，求b a +的值。

2、已知()2112=-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a a a a a ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+22121a a 的值。

3、设c a b 23+=，求ac c b a 449222++-的值。

◆例3：已知b a 、是自然数，且200722=-b a ，求a 与b 的值。

【巩固】设b a 、是自然数，733=-b a ，求b a 、的值。

【拓展】设b a 、是相邻的两个自然数，问ab b a b a 42222-++是否为平方数？
◆例4：（1）求证：139792781--能被45整除；
（2）证明：当n 为自然数时，()122+n 形式的数不能表示成两个整数的平方差。