2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学学情检测模拟试题合集2套(含答案)

2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学学情检测模拟试题
一、单选题
1．设全集R U =，集合{}
2
20A x x x =--≤，{}lg 0B x x =>，则A B = （
）
A ．{}12x x -≤≤
B ．{}12x x <≤
C ．{}12x x <<
D ．{}
1x x ≥-【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法求解.【详解】由220x x --≤解得12x -≤≤，所以{}12A x x =-≤≤，由lg 0x >解得1x >，所以{}1B x x =>，所以{}12A B x x ⋂=<≤，故选:B.
2．已知{|02}A x x =，{|12}B y y =，下列图形能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】A.其值域为[0,2]，故不符合题意；B.符合题意；CD 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.【详解】解：A 是函数图象，其值域为[0,2]，与已知函数的值域为{|12}B y y =不符，故不符合题意；B 是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故符合题意；
C 是函数图象，值域为{1,2}，与已知函数的值域为{|12}B y y =不符，故不符合题意；
D 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.
故选：B
3．单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π
3
弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）
A ．1,22⎛- ⎝⎭
B ．12⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
C ．1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
D ．,221⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【答案】D
【分析】由题意得5π6ππ23QOx ∠=
+=，从而得到π55cos ,πsin 66Q ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，结合诱导公式求出答案.
【详解】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π
3
弧长到达Q 点，所以5π6ππ23QOx ∠=+=，所以π55cos ,πsin 66Q ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
其中25cos
cos cos 6611π6πππ⎛
⎫=-=- ⎭=⎪⎝
，25s s 1in sin in 66ππ611ππ⎛⎫=-= ⎭=⎪⎝，
即Q 点的坐标为：21⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．故选：D ．
4．不等式21216x +>的解集为（）
A ．3,2⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
B ．53,,22⎛⎫⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭C ．53,,22⎛⎤⎛⎫
-∞-+∞ ⎪
⎥⎝⎦⎝⎭
D ．52⎛
⎫-∞- ⎪
⎝
⎭,【答案】B
【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.【详解】不等式21216x +>，∴21422x +>，即214x +>．∴214x +<-或214x +>，解得：5
2x <-或32x >，
∴解集是53,,22⎛⎫⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
故选：B ．
5．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（
）
A ．
154
B ．
415
C ．
158
D ．120
【答案】A
【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据2
12
S R α=求出扇形圆心角.
【详解】因为直径16步，故半径为8R =步，308
1202
S ⨯=
=（平方步），设扇形的圆心角为α，则2
12S R α=，
即115
1206424
αα=⨯⇒=．
故选：A
6．设
a =0.80.9
b =，0.9log 0.8
c =，则（）A ．c a b >>B ．a c b
>>C ．a b c
>>D ．c b a
>>【答案】A
【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.
12a =<=<=，0.800.90.91b =<=，0.90.9log 0.8log 0.812c =>=，所以c a b >>．故选：A
7．已知函数2
12
()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的减区间是（
）
A ．(,2)-∞
B ．(2,)+∞
C ．(5,)
+∞D ．(,1)
-∞-【答案】C
【解析】先求得()f x 的定义域，然后根据复合函数同增异减确定()f x 的减区间.
【详解】由()()2
45510x x x x --=-+>解得1x <-或5x >，
所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞ .
函数245y x x =--的开口向上，对称轴为2x =，函数12
log y x =在()0,∞+上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知函数()f x 的减区间是()5,+∞.故选：C
8．已知实数0x y >>，且111216
x y +=+-，则x y -的最小值是（）A ．21B ．25
C ．29
D ．33
【答案】A
【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】∵0x y >>，等式
111216
x y +=+-恒成立，∴
()()111321621x y x y x y ⎛⎫
-+=++-+ ⎪+-⎝⎭
，
由于0x y >>，所以10,20
y x ->+>
∵()11212122242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+ ⎪
+--+⎝⎭
，当且仅当21x y +=-时，即10,11x y ==-时取等号．∴
()1
346
x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21．故选：A 二、多选题
9．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（）
A ．x ∃∈R ，0
x ≤B ．存在x ∈R ，使得210x x ++=C ．至少有一个无理数x ，使得3x 是有理数D ．有的有理数没有倒数
【答案】ACD
【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假.
【详解】对于A.命题是存在量词命题，所以0x ∃=，使0x =，所以A 是真命题，故A 正确；对于B ．对应方程210x x ++=，30∆=-<，方程无解，故B 错误；
对于C ．命题是存在量词命题，x ∃=3
3=是有理数，所以C 是真命题；
对于D ．有理数0没有倒数，故D 正确；故选:ACD ．
10．下列说法正确的是（
）
A ．若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角
B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30-︒
C ．终边经过点()(),0a a a ≠的角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫
=+∈⎨⎬
⎩⎭
D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30︒的扇形，则该扇形面积为23π
cm 2
【答案】BC
【分析】A 选项，根据sin ,cos αα同号，确定角所在象限；B 选项，顺时针转动了30°，故B 正确；
C 选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；
D 选项，由扇形面积公式进行求解.
【详解】A 选项，若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角或第三象限角，故A 错误；B 选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是30-︒，故B 正确；C 选项，终边经过点()(),0a a a ≠的角的终边在直线y x =上，故角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭
，C
正确；
D 选项，扇形面积为22211π3π
3cm 2264
S R α==⨯⨯=，故D 错误．故选：BC ．11．已知函数()1
2
f x x =-，则下列结论中正确的是（）
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 在(),2-∞-上单调递增
C ．()f x 的值域为R
D ．当()2,2x ∈-时，()f x 有最大值
【答案】ABD
【分析】A 选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A 正确；B 选项，先求出()1
2
f x x =-在()2,+∞上均单调递减，结合奇偶性得到B 正确；C 选项，由()1
2
f x x =
-在()0,2和()2,+∞上的单调性结合奇偶性得到()f x 的值域，C 错误；D 选项，根据()f x 在()2,2x ∈-上的单调性得到最大值.【详解】对于A ，由20x -≠得函数()f x 定义域为{}2x x ≠±，所以()()1
22
f x x x =≠±-．由()()11
22
f x f x x x -=
==---，可得函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；
对于B ，当0x >且2x ≠时，函数()1
2
f x x =
-，该函数图象可由函数1y x
=图象向右平移2个单位得到，所以函数()1
2
f x x =
-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，由偶函数性质，可知()f x 在(),2-∞-上单调递增，故B 正确；对于C ，由B 可得，当0x >且2x ≠时，函数()1
2
f x x =
-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，所以该函数在()()0,22,+∞U 的值域为()1,0,2⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；
又因为函数()f x 为偶函数，且()1
02f =-，
所以()f x 在其定义域上的值域为()1,0,2⎛
⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦ ，故C 错误；
对于D ，当()2,2x ∈-时，函数()f x 在()2,0-上单调递增，
在()0,2上单调递减，所以()f x 有最大值为()1
02
f =-，故D 正确．
故选：ABD ．
12．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，O 为AD 的中点，点P 沿着A B C D →→→的方向运动，设AOP ∠为x ，射线OP 扫过的阴影部分的面积为()f x ，则下列说法中正确的是（
）
A ．()f x 在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭上为减函数
B ．π142
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭C ．()()π4f x f x +-=D ．()f x 图象的对称轴是π2
x =
【答案】BC
【分析】当点P 在AB 的中点时，此时π
4
AOP ∠=
，即可判断B ，根据阴影部分的面积变化可知()f x 的单调性，进而可判断A ，根据面积的之和为4，可判断对称性，进而可判断CD.
【详解】对于A 选项，取BC 的中点为G ，当π,π2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,点P 在GCD 之间运动时，阴影部分的面积
增加，所以()f x 在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，A 选项错误；
对于B 选项，当点P 在AB 的中点时，此时π4
AOP ∠=，所以，()111
11222f x OA AP =⋅=⨯⨯=，故B
正确，
对于C 选项，取BC 的中点G ，连接OG ，
作点P 关于直线OG 的对称点F ，则FOD x ∠=，所以πAOF x ∠=-，
OF 绕O 点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD 的面积为S ，由对称性可知()S f x =，因为()π4S f x +-=，即()()π4f x f x +-=，C 选项正确；
对于D 选项，由C 选项可知，()()π4f x f x +-=，则π3π+=444f f ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
所以，3ππ7π44424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以，函数()f x 的图象不关于直线π
2
x =对称，D 选项错误．故选：BC 三、填空题13．求值：26π17π
sin cos()34
+-=__________．
【分析】利用终边相同的角同名三角函数值相等和诱导公式即可求解
【详解】26π2π2πsin
sin(8π)sin 3332
=+==
，17πππ
cos cos 4πcos cos 44442π⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以2
26π17π
sin
cos()34
-=+
.14．已知幂函数()()257m
f x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．
【答案】3
【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．
【详解】由题意()()257m
f x m m x =-+是幂函数，
2571m m ∴-+=，解得2m =或3m =，
又()f x 是R 上的增函数,则3m =.故答案为：3.
【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m 的方程和不等式，是基础题．
15．若“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a -<<+”，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]
1,3【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解.【详解】由于“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a -<<+”，所以{}
13x x <<{}
22x a x a -<<+则2123a a -≤⎧⎨+≥⎩
且两个等号不同时取得，解得13a ≤≤，经检验1a =和3a =均符合要求，
故a 的取值范围是[]1,3．故答案为：[]
1,316．已知函数()()2
5,2
lg 2,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪=⎨+>-⎪⎩
，若方程()1f x =的实根在区间()(),1Z k k k +∈上，则k 的所有
可能值是______．【答案】－3，－2或1
【分析】先由()2
512x x -=≤-求出x =3k =-，再变形得到()1
lg 2(2)x x x
+=
>-，画出两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到两根分别在()2,1--与()1,2内，从而确定k 的所有可能值.
【详解】①由方程()2
512x x -=≤-，解得：x =
因为()3,2--，故3k =-；
②由于方程()lg 21(2)x x x +=>-即方程()1
lg 2(2)x x x
+=
>-，分别作出左右两边函数的图象，
从图象上可得出：方程()1
lg 2x x
+=
在区间()2,1--内有一个实根．故方程()lg 21x x +=在区间()2,1--内有且仅有一个实根．此时2k =-，下面证明：方程()lg 21x x +=在区间()1,2内有一个实根，
⇔函数()()lg 21f x x x =+-，在区间()2,1--和()1,2内各有一个零点，
因为()1,2x ∈时，()lg 20x +>，故函数()()lg 21f x x x =+-在区间()1,2是增函数，又()1lg310f =-<，()22lg410f =->，
即()()120f f <，由零点存在性定理知，函数()()lg 21f x x x =+-在区间()1,2内仅有一个零点，即方程()lg 21x x +=在区间()1,2内有且仅有一个实根，此时1k =.
故答案为：－3，－2或1．四、解答题
17．（1）计算2
4
0.5
30
648122
22716--
⎫⎛⎫⎛⎫
⨯÷+⨯-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
；
（2）计算3log 4
622713log 832log log 81log 232
++⋅．
【答案】（1）0；（2）3.
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算；（2）利用对数运算法则及性质进行计算.
【详解】（1）20
40.5
36481
22()()2716
--⨯÷+⨯-
2
3
23
23
464949999
2()2(2220
32716348164
-
-⎡⎤
⎛⎫
=÷+⨯=⨯+⨯-=+⨯-=
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
；
（2
）3log4
6227
13
log832log log81log2
32
++-
⋅
34
623
11
log24log log3log2
32
=++-⨯
6623
2
3
log24log2log3log
=++-⨯
66
log2log2
34
++
=-
6
log6421423
=+-=+-=.
18．已知集合{}
22
A x a x a
=-≤≤+，{|1
B x x
=≤或}4
x≥．
（1）当3
a=时，求A B
⋂；
（2）“x A
∈”是“R
x B
∈ð”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）{|11
A B x x
⋂=-≤≤或}
45
x
≤≤；（2）{}
|1
a a<
【分析】（1）先求出集合{}
15
A x x
=-≤≤，再求A B
⋂；
（2）先求出{}
|14
R
B x x
=<<
ð，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）当3
a=时，{}
15
A x x
=-≤≤.
因为{|1
B x x
=≤或}4
x≥，
所以{|11
A B x x
⋂=-≤≤或}
45
x
≤≤；
（2）因为{|1
B x x
=≤或}4
x≥，所以{}
|14
R
B x x
=<<
ð.
因为“x A
∈”是“R
x B
∈ð”的充分不必要条件，
所以A B Rð.
当A=∅时，符合题意，此时有22
a a
+<-，解得：a<0.
当A≠∅时，要使A B Rð，只需
22
24
21
a a
a
a
+≥-
⎧
⎪
+<
⎨
⎪->
⎩
，解得：01
a
≤<
综上：a<1.
即实数a 的取值范围{}|1a a <.19．已知α是第四象限角．
(1)
若cos α=()()
π3πcos sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-的值；
(2)若25sin 5sin cos 10ααα++=，求tan α的值．【答案】(1)15
-
(2)1
2-或13
-
【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；（2）变形得到22222
sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15
αααααααα++==-++，求出tan α的值.【详解】（1）∵α
是第四象限角，cos 5
α==
，所以sin 5α=-，
∴sin tan 2cos α
αα=
=-，∴()()π3πcos sin sin cos tan 11222sin πcos 2π2sin cos 2tan 15
αααααααααα⎛⎫⎛⎫
--+ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭===-++--+-+．
（2）∵2
1sin sin cos 5
ααα+=-，
∴22222
sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15
αααααααα++==-++，∴1
tan 2α=-或1tan 3
α=-．
20．已知函数()31
31
-=+x x f x ．
(1)证明函数()f x 为奇函数；
(2)解关于t 的不等式：()()3120f t f t -+-<．【答案】(1)证明见解析(2)12t t ⎧
⎫<-⎨⎬
⎩
⎭【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，
（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.【详解】（1）因为函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，
且()()11
311331311313x
x
x x
x
x
f x f x ------====-+++，所以函数()f x 是奇函数；
（2）由()313122
1313131x x x x x
f x -+-===-+++，由于31x y =+为定义域内的单调递增函数且310x y =+>，所以1
31
x y =+单调递减，因此函数()f x 是定义域为R 的增函数，
而不等式()()3120f t f t -+-<可化为()()312f t f t -<--，再由()()f x f x -=-可得()()312f t f t -<-，
所以312t t -<-，解得2
1
t <-，
故不等式的解集为12t t ⎧
⎫<-⎨⎬⎩
⎭．
21．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk ）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk ，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk ，治愈效果的普姆克系数y （单位：pmk ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与1
2(0,0)y px k p k =+>>可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4711≈）
【答案】(1)选择模型(0,1)=>>x
y ka k a 符合要求；该函数模型的解析式为32332x
y ⎛⎫
=
⋅ ⎪⎝⎭
，112x ≤≤，*N x ∈；
(2)六月份.
【分析】（1）根据两函数特征选择模型(0,1)=>>x y ka k a ，并用待定系数法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合*N x ∈，解出6x ≥，得到答案.【详解】（1）函数(0,1)=>>x
y ka k a 与1
2
(0,0)y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，
随着x 的增加，函数(0,1)=>>x y ka k a 的值增加的越来越快，
而函数12
y px k =+的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求．根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，
∴2
32436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得323
32k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
．
故该函数模型的解析式为323()32
x
y =⋅，112x ≤≤，*N x ∈；（2）当0x =时，323
y =，元旦治愈效果的普姆克系数是32
pmk 3，
由
32332()10323
x ⋅>⨯，得3
()102x >，
∴
32
lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2
x >=
=≈≈--，∵*N x ∈，∴6x ≥，
即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．
22．已知函数()f x 对任意实数m 、n 都满足等式()()()2f m n f m n f m -++=，当0x >时，()0f x <，且()24f =-．
(1)判断()f x 的奇偶性；
(2)判断()f x 的单调性，求()f x 在区间[]3,5-上的最大值；
(3)是否存在实数a ，对于任意的[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-，使得不等式()2
22f x a ab <-+恒成立．若存在，
求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)奇函数；
(2)()f x 为R 上的减函数；()f x 在[]3,5-上的最大值为6；(3)存在，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+．
【分析】（1）赋值法得到()00f =，()()f x f x -=-，得到函数的奇偶性；
（2）先由0x >时，()0f x <利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到()36f -=，从而得到()f x 在区间[]3,5-上的最大值；
（3）先根据单调性得到()()()112f x f f ≤-=-=，问题转化为220a ab ->，[]1,1b ∀∈-恒成立，令
()22g b ab a =-+，为一次函数，得到不等式组，求出实数a 的取值范围.
【详解】（1）取0m n ==，则()()020f f =，∴()00f =，
取0m =，n x =，则()()()00f x f x f +-==，∴()()f x f x -=-对任意x ∈R 恒成立，∴()f x 为奇函数；
（2）任取()12,,x x ∈-∞+∞且21x x <，则120x x ->，
因为()()()2f m n f m n f m -++=，故()()()2f m f m n f m n -+=-，令112,22
x x
m n x =
=-，则有()1111122222
2x x x
x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即()()()1212f x f x f x x -=-，∵0x >时，()0f x <，
故120x x ->时，()120f x x -<，∴()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <．故()f x 为R 上的减函数．∴[]3,5x ∈-，()()3f x f ≤-，
∵()()()2f m n f m n f m -++=，()24f =-，
令1,0==m n ，则()()()1124f f f +==-，故()12f =-，因为
令1,2m n ==，则()()()12122f f f -++=，即()()()1324f f f -+==-，由（1）知：()f x 为奇函数，故()()112f f -=-=，
故()234f +=-，解得：()36f =-，故()()336f f -=-=，
故()f x 在[]3,5-上的最大值为6；（3）∵()f x 在[]1,1-上是减函数，∴()()()112f x f f ≤-=-=，
∵()2
22f x a ab <-+，对所有[]1,1x ∈-，[]1,1b ∈-恒成立．
∴2222a ab -+>，[]1,1b ∀∈-恒成立；即220a ab ->，[]1,1b ∀∈-恒成立，
令()2
2g b ab a =-+，则()()10
10g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩
，即22
2020a a a a ⎧+>⎨-+>⎩，解得：2a >或2a <-．
∴实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+．
2023-2024学年北京市朝阳区高一上册期末数学学情检测模拟试题
一、单选题
1．已知集合{1,0,1,2},{0,1,2,3}A B =-=，则A B = （）
A ．{0,1,2}
B ．{1,2,3}
C ．{1,3}
-D ．{1,0,1,2,3}
-【答案】A
【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】因为{1,0,1,2},{0,1,2,3}A B =-=，所以{}0,1,2A B = .故选：A
2．不等式220x x -->的解集是（
）
A ．{2x
x <-∣或1}x >-B ．{1x
x <-∣或2}x >C ．{12}x x -<<∣D ．{21}x
x -<<∣【答案】B
【分析】直接解出不等式即可.
【详解】220x x -->，解得2x >或1x <-，故解集为{1x
x <-∣或2}x >，故选：B.
3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）
A ．y =
B ．ln y x
=C ．1
2x
y ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
D ．3
y x =【答案】C
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.
【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A 选项y =在(0,)+∞单调递增，故A 错误，对D 选项3y x =在(0,)+∞单调性递增，故D 错误，
根据指数函数图像与性质可知12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在(0,)+∞单调递减，故C 正确，
根据对数函数图像与性质可知ln y x =在(0,)+∞单调性递增.故选：C.
4．命题“00,10x x ∃∈->R ”的否定是（）
A ．,10x x ∀∈-≤R
B ．00,10
x x ∃∈-≤R C ．,10
x x ∀∈-<R D ．00,10
x x ∃∈-<R 【答案】A
【分析】根据存在命题的否定即可得到答案.
【详解】根据存在命题的否定可知，存在变任意，范围不变，结论相反，故其否定为,10x x ∀∈-≤R .故选：A.
5．已知0a >，则4
1a a
++的最小值为（）A ．2B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【分析】利用基本不等式的性质求解即可.
【详解】因为0a >，所以4115a a ++≥+=.当且仅当4
a a
=，即2a =时等号成立.所以4
1a a
+
+的最小值为5.
6．函数3()f x x x =+的图象关于（）
A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．原点对称
D ．直线y x =对称
【答案】C
【分析】求出()()3
f x x x -=-+，可知()()f x f x -=-，可得函数为奇函数，进而得到答案.
【详解】函数3()f x x x =+的定义域为R ，()()()
3
3
()f x x x x x -=-+-=-+，
所以有()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称.故选：C.
7．“sin sin A B =”是“A B =”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据正弦函数的性质及充分条件、必要条件即可求解.【详解】sin sin A B = 推不出A B =（举例，5sin sin
66
π
π=），而sin sin A B A B =⇒=,
∴“sin sin A B =”是“A B =”的必要不充分条件，
故选：B
8．已知函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，则下面结论一定正确的是（）
A ．0a b +=
B ．1
ab =C ．0
ab a b --=D ．0
ab a b ++=【答案】D
【分析】由对数函数的运算性质可知()()lg 1lg 1a b -+=+移项化简即可得.【详解】因为函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，所以()()lg 1lg 1a b -+=+，则()()lg 1lg 10a b +++=所以()()lg 110a b ⎡⎤++=⎣⎦，即()()111a b ++=，解得0
ab a b ++=
9．记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量2324π(kg)R M GT =.已知3
2
lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，由上面的数据可以计
算出太阳的质量约为（）
A ．30210kg ⨯
B ．292g
10k ⨯C ．30310kg
⨯D ．29310kg
⨯【答案】A
【分析】利用对数运算性质计算即可.
【详解】因为3
2lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，
所以由23
2
4πR M GT =得：
2332
224πlg lg lg 4l lg πg R R M GT GT ⎭
+⎛⎫==+ ⎪⎝32
2lg 22lg π20.320.528.730.3lg R GT =≈+⨯+=++⨯，
即30.3300.30.330lg 30.310101010M M +≈⇒≈==⨯，又0.3lg 20.3102≈⇒≈，所以30210kg M ≈⨯.故选：A.
10．已知实数12101210,,,,,,,a a a b b b 互不相同，对(1,2,,10)i a i ∀= 满足
()()()12102023i i i a b a b a b +++= ，则对()()()1210(1,2,,10),i i i i b i a b a b a b ∀=+++= （
）
A ．2022
B ．2022
-C ．2023
D ．2023
-【答案】D
【分析】根据代数基本定理进行求解即可..
【详解】国为(1,2,,10)i a i ∀= 满足()()()12102023i i i a b a b a b +++= ，
所以(1,2,,10)i a i = 可以看成方程()()()121020230x b x b x b +++-= 的10个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数x 都有以下恒等式，
()()()1210123102023()()()()x b x b x b x a x a x a x a +++-=---- ，
令12310,,,,x b b b b =---- ，于是有
1112131102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，111213110()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，2122232102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，212223210()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- 3132333102023()()()()b a b a b a b a -=-------- 313233310()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，L 10110210310102023()()()()b a b a b a b a -=-------- ，1011021031010()()()()2023b a b a b a b a ⇒++++=- ，
所以()()()1210(1,2,,10),2023i i i i b i a b a b a b ∀=+++=- ，故选：D
【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.二、填空题
11．函数()()ln 12f x x =-的定义域是__________.【答案】1,2⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由120x ->得：12x <，()f x \的定义域为1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭.
故答案为：1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭.
12．2
21log 42-⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
__________.
【答案】6
【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.
【详解】222
221()log 42log 24262
-+=+=+=.
故答案为：6
13．若1
cos 3
θ=，()0,πθ∈，则tan θ=______．
【答案】
【分析】由()0,πθ∈，可知sin 0θ>，再结合22sin 1cos θθ=-，及sin tan cos θ
θθ
=，可求出答案.【详解】因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，
所以sin 3θ===
，sin 3tan 1cos 3
θθθ===
故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.三、双空题
14．如图，单位圆被点1212,,,A A A 分为12等份，其中1(1,0)A .角α的始边与x 轴的非负半轴重合，若α的终边经过点5A ，则cos α=__________；若πsin sin 3αα⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则角α的终边与单位圆交于点
__________.（从1212,,,A A A
中选择，写出所有满足要求的点）
【答案】1
2
-
39
,A A 【分析】求出终边经过i A 则对应的角α和i 的关系.【详解】2ππ126=
，所以终边经过i A 则()()π1112,Z 6
i i i
α=-＃角α的始边与x 轴的非负半轴重合，若α的终边经过点5A ，则2π
3
α=，所以2ππ1cos cos
cos 332
α==-=-πππsin sin sin sin cos cos sin 333ααααα⎛
⎫=+∴=⋅+⋅ ⎪⎝
⎭
，即
1π
sin sin cos tan 23
ααααα=⋅+==或4π3α=
即
()()ππ
1112,Z 336
i i i i =-＃蝄=或
()()4ππ
1112,Z 9
36
i i i i =-＃蝄=经过点39
,A A
故答案为：1
2
-；39
,A A 15．已知函数22,()22,x x x x a
f x x a ⎧-≥=⎨-<⎩
,
①当1a =时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为__________；②若()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】
1-；
0a ≤或12a <≤．
【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；
②结合函数22y x x =-和22x y =-的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．【详解】①1a =，1x ≥时，2()2f x x x =-是增函数，min ()(1)1f x f ==-，
01x <<时，()22x f x =-是增函数，因此0()221f x >-=-，
所以,()0x ∈+∞时，()f x 的最小值是1-；
②作出函数22y x x =-和22x y =-的图象，它们与x 轴共有三个交点(0,0)，(1,0)，(2,0)，由图象知()f x 有2个零点，则0a ≤或12a <≤．
故答案为：1-；0a ≤或12a <≤．四、解答题
16．已知函数π()sin cos 2f x x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
(1)求π6f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
(2)当π2π33
x -
≤≤时，求()f x 的值域.【答案】
(2)[]1,2-.
【分析】(1)根据诱导公式和特殊角三角函数值求解；(2)利用余弦函数性质及不等式性质求()f x 的值域.
【详解】（1）因为π()sin cos 2cos 2f x x x x ⎛
⎫=++= ⎪⎝
⎭，
所以ππ2cos 66f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
（2）由(1)()2cos f x x =，又π2π33
x -
≤≤，所以1
cos 12x -≤≤，
所以12cos 2x -≤≤，故当π2π,33x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的值域为[]1,2-.
17．已知关于x 的不等式2(1)(2)288a x x x x -->-+的解集为A .(1)当1a =时，求集合A ；
(2)若集合(,1)(2,)A =-∞-+∞ ，求a 的值；(3)若3A ∉，直接写出a 的取值范围.【答案】(1)(2,3)A =；(2)3a =；(3)1a ≤．
【分析】（1）直接解不等式可得；
（2）由题意得1,2-是方程2(1)(2)288a x x x x --=-+的根，代入后可得a 值；（3）3x =代入后不等式不成立可得．
【详解】（1）1a =时，不等式为2(1)(2)288x x x x -->-+，即2560x x -+<，23x <<，∴(2,3)A =；
（2）原不等式化为2(2)(38)280a x a x a ---+->，
由题意(2)(38)2804(2)2(38)280a a a a a a -+-+-=⎧⎨---+-=⎩
，解得3a =，
3a =时原不等式化为220x x -->，1x <-或2x >，满足题意．
所以3a =；
（3）3A ∉，则218248a ≤-+，解得1a ≤．
18．函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若对任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+.(1)若(1)0f >，证明：(2)0f >；
(2)若对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数；(3)若(1)0f =，直接写出一个满足已知条件的()f x 的解析式.【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)()e e x
f x =-，()0,x ∈+∞（答案不唯一）
【分析】（1）赋值法得到()(2)210f f >>；
（2）赋值法，令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，从而得到1212()()()0f x f x f x x ->->，证明出函数的单调性；
（3）从任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明
【详解】（1）令1s t ==，则()(2)(1)(1)21f f f f >+=，因为(1)0f >，所以()(2)210f f >>；
（2）令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，则()120,t x x =-∈+∞，所以212212()()()f x x x f x f x x +->+-，故1212()()()f x f x f x x ->-，因为对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，所以()120f x x ->，
故1212()()()0f x f x f x x ->->，即12()()f x f x >，
()f x 在(0,)+∞上为增函数；
（3）构造()e e x
f x =-，()0,x ∈+∞，满足()10f =，
且满足对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+，理由如下：
()()e e e e e e e e e e e 1e 1e 1()()()s t s t s t s t s t f s t f s f t +++--===--+-+--+--+-，
因为,(0,)s t ∈+∞，故e 10,e 10s t ->->，()()
0()()()e 1e 1e 1s t
f s t f s f t --++--->=，
故对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+.19．已知函数()22(0)x x f x a a -=+⋅≠.(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；
(2)从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a 的值构成集合A ，若A ≠∅，求A .条件①：()f x 是增函数；
条件②：对于,()0x f x ∀∈>R 恒成立；条件③：0[1,1]x ∃∈-，使得()04f x ≤.【答案】(1)1a =；
(2)选①②，不存在A ；选①③，(,0)A =-∞；选②③，(0,4]A =．【分析】（1）由偶函数的定义求解；
（2）选①②，a<0时，由复合函数单调性得()f x 是增函数，0a >时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在a<0时，由()0f x =有解，说明不满足②a 不存在；选①③，同选①②，由单调性得a<0，然后则函数的最大值不大于4得a 的范围，综合后得结论；选②③，先确定()0f x >恒成立时a 的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．【详解】（1）()f x 是偶函数，则()22()22x x x x f x a f x a --=+⋅==+⋅，(1)(220x x a ---=）恒成立，∴10a -=，即1a =；
（2）若选①②，()22x x
a
f x =+
（0a ≠），若a<0，则()f x 是增函数，由202
x
x a
+
=得4log ()x a =-，因此()0f x >不恒成立，不合题意，若0a >，设2x t =，则0t >，()()a
f x
g t t t
==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=
，120t t -<，
当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t
是减函数，
12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，
又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在a 满足题意；若选①③，
若a<0，则()22x
x
a
f x =+
是增函数，若0a >，设2x t =，则0t >，()()a
f x
g t t t
==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=
，120t t -<，
当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t
是减函数，
12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，
又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在a 满足题意；要满足①，则a<0，
所以[1,1]x ∈-时，max ()(1)22a
f x f ==+，由242
a +≤得4a ≤，综上，a<0；所以(,0)A =-∞．若选②③，
若a<0，则由4()20log ()2x
x
a
f x x a =+
=⇔=-，()0f x >不恒成立，只有0a >时，()202
x
x a
f x =+
>恒成立，设2x t =，则0t >，又0a >时，[1,1]x ∈-⇒12[,2]2x
t =∈，()()a f x g t t t ==+，
()()a
f x
g t t t
==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，
当120t t <<<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t
是减函数，
12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，
a 取任意正数时，()g t 的最大值是1
()2
g 或(2)g ，
要满足③，则11(2422g a =+≤或(2)242a g =+≤，7
4
a ≤或4a ≤，
所以04a <≤，所以(0,4]A =．
20．对于非空数集A ，若其最大元素为M ，最小元素为m ，则称集合A 的幅值为A T M m =-，若集合A 中只有一个元素，则0A T =.(1)若{2,3,4,5}A =，求A T ；
(2)若{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，求123
A A A T T T ++
的最大值，并写出取最大值时的一组123,,A A A ；
(3)若集合*N 的非空真子集123,,,,n A A A A L 两两元素个数均不相同，且12355n A A A A T T T T ++++= ，求n 的最大值.【答案】(1)3
A T =(2)123A A A T T T ++的最大值为18，{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===(3)n 的最大值为11
【分析】（1）根据新定义即可求出；
（2）由{},,,(,1,2,3,)i i i i i j A a b c A A A i j i j =⊆=∅=≠ ，
123A A A A = 且要使得123A A A T T T ++取到最大，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.
（3）要n 的值最大，则集合的幅值最小，且123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合123,,,,n A A A A L 中元素分析列出方程解出即可.【详解】（1）由集合{2,3,4,5}A =知，5,2M m ==，所以523A T M m =-=-=.
（2）因为{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，由此可知集合123,,A A A 中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让123A A A T T T ++取到最大值，
则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中
这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以123A A A T T T ++的最大值为78912318++---=，所以有一组{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===满足题意，
（3）要n 的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为1,2 ，
，因为123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，不妨设1A 是集合*N 中只有一个元素的非空真子集，此时10A T =，例如1{1}A =,
则2A 是集合*N 中有两个元素的非空真子集，且21A T =，例如2{1,2}A =，同理3A 是集合*N 中有三个元素的非空真子集，且32A T =，例如3{1,2,3}A =，
n A 是集合*N 中有n 个元素的非空真子集，且1n
A T n =-，例如{1,2,3,,}n A n = ，
所以123012(1)n A A A A T T T T n ++++=++++- ()
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n n -==，解得11n =或10n =-（舍去），所以n 的最大值为11.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。