山东莱芜2019中考试题精品解析-数学

山东莱芜2019中考试题精品解析-数学
【一】选择题〔本大题共12小题，每题3分，总分值36分〕 1、如图，在数轴上的点M 表示的数可能是【】
A 、1.5
B 、－1.5
C 、－2.4
D 、2.4
2、四名运动员参加了射击预选赛，他们的成绩的平均环数错误！未找到引用源。

A 、甲
B 、乙
C 、丙
D 、丁
3、大量事实证明，环境污染治理刻不容缓、据统计，全球每秒钟约有14.2万吨污水排入江河湖海、把14.2万用科学记数法表示为【】
A 、1.42×105
B 、1.42×104
C 、142×103
D 、0.142×106
4、如下图是由假设干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，那么小立方体的个数不可能是【】
A 、6个
B 、7个
C 、8个
D 、9个
5、以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有【】
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
6、对于非零的实数A 、B ，规定A ⊕B ＝ 1 b － 1
a 、假设2⊕（2X －1）＝1，那么X
＝【】
A 、
5 6B 、 5 4C 、 3 2D 、－ 1
6
7、M 、N 是方程X2＋22X ＋1＝0的两根，那么代数式m2＋n2＋3mn 的值为【】 A 、9B 、±3C 、3D 、5
8、从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是【】
A 、
1 4B 、 1 3C 、 5 12D 、
2 3
9、以下四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与
之对应排序【】
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系） ②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系） ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A 、①②③④
B 、③④②①
C 、①④②③
D 、③②④①
10、假设一个圆锥的底面积为错误！未找到引用源。

CM2，高为42CM ，那么该圆锥的侧面展开图中圆心角为【】
A 、40º
B 、80º
C 、120º
D 、150º 11、以下说法正确的有【】
①正八边形的每个内角都是135º
②27与错误！未找到引用源。

是同类二次根式
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30º
④反比例函数Y ＝－ 2
x
，当X 《0时，Y 随X 的增大而增大
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
12、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90º，BC ＝2AD ，F 、E 分别是BA 、BC 的中点，那么以下结论不正确的选项是【】
A 、△ABC 是等腰三角形
B 、四边形EFAM 是菱形
C 、S △BEF ＝ 1
2
S △ACDD 、DE 平分∠CDF
【二】填空题〔本大题共5小题，每题4分，总分值20分〕 13、计算：错误！未找到引用源。

＝、
14、假设点P （A ，2）在一次函数Y ＝2X ＋4的图象上，它关于Y 轴的对称点在反比
例函数Y ＝ k
x
的图象上，那么反比例函数的解析式为、
15、在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6、假设点P 在边AC 上移动，那么BP 的最小值是、
16、为落实“两免一补”政策，某市2017年投入教育经费2500万元，预计2018年要投入教育经费3600万元、2017年至2018年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，那么2018年该市要投入的教育经费为万元、
17、将正方形ABCD 的各边按如下图延长，从射线AB 开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2018在射线上、
【三】解答题〔本大题共7小题，总分值64分〕
18、（6分）先化简，再求值：⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－ 1 a －2 ÷
a －2 a2－4
，其中A ＝－3、 19、（8分）某校学生会准备调查六年级学生参加“武术类”、“书画类”、“棋牌类”、“器乐类”四类校本课程的人数、
（1）确定调查方式时，甲同学说：“我到六年级（1）班去调查全体同学”；乙同学说：“放学时我到校门口随机调查部分同学”；丙同学说：“我到六年级每个班随机调查一定数量的同学”、请指出哪位同学的调查方式最合理、
（2）他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制了如下图的统计表和扇形统计图、
请你根据以上图表提供的信息解答以下问题： ①A ＝，B ＝；
②在扇形统计图中，器乐类所对应扇形的圆心角的度数是；
③假设该校六年级有学生560人，请你估计大约有多少学生参加武术类校本课程、 20、（9分）某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意图如下图、支架AC 与斜坡AB 的夹角为28º，支架BD ⊥AB 于点B ，且AC 、BD 的延长线均过⊙O 的圆心，AB ＝12M ，⊙O 的半径为1.5M ，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离（结果精确到0.01M ，参考数据：COS28º≈0.9，SIN62º≈0.9，SIN44º≈0.7，COS46º≈0.7）、
21、（9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E分别是AB、AC边的中点、将△ABC绕点A顺时针旋转错误！未找到引用源。

角（0º《错误！未找到引用源。

《180º），得到△AB′C′（如图2）、
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当DB′∥AE时，试求旋转角错误！未找到引用源。

的度数、
22、（10分）为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品、5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元、
（1）每个文具盒、每支钢笔各多少元？
（2）时逢“五一”，商店举行优惠促销活动，具体办法如下：文具盒九折，钢笔10支以上超出部分八折、设买X个文具盒需要Y1元，买X支钢笔需要Y2元，求Y1、Y2关于X的函数关系式；
（3）假设购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请分析买哪种奖品省钱、
23、（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与
边AB相切于点E、
（1）求证：⊙D与边BC也相切；
（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留错误！未找到引用源。

）；
（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF 时，求动点M经过的弧长（结果保留错误！未找到引用源。

）、
24、（12分）如图，顶点坐标为（2，－1）的抛物线Y＝AX2＋BX＋C（A≠0）与Y 轴交于点C（0，3），与X轴交于A、B两点、
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作Y轴的平行线EF，与抛物线交于点F、问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？假设存在，求点E的坐标；假设不存在，请说明理由、
2018年中考数学试题解析〔山东莱芜卷〕
锦元数学工作室编辑
〔本试卷总分值120分，考试时间120分钟〕
【一】选择题〔本大题共12小题，每题3分，总分值36分〕
1、〔2018山东莱芜3分〕如图，在数轴上的点M表示的数可能是【】
A、1.5
B、－1.5
C、－2.4
D、2.4
【答案】C。

【考点】实数和数轴。

【分析】从数轴上观察，点M在－2到－3之间，所给选项中只有－2.4在其中。

应选C。

2、〔2018山东莱芜3分〕四名运动员参加了射击预选赛，他们的成绩的平均环数错
A、甲
B、乙
C、丙
D、丁
【答案】B。

【考点】平均数和方差。

【分析】根据平均数和方差的意义，要求选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，成绩较好即要成绩的平均环数多，故在乙、丙之间选择；状态稳定即要方差较小。

应选B。

3、〔2018山东莱芜3分〕大量事实证明，环境污染治理刻不容缓、据统计，全球每秒钟约有14.2万吨污
水排入江河湖海、把14.2万用科学记数法表示为【】
A、1.42×105
B、1.42×104
C、142×103
D、0.142×106
【答案】A。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为A×10N，其中1≤｜A｜《10，N为整数，表示时关键要正确确定A的值以及N的值。

在确定N的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。

当该数大于或等于1时，N为它的整数位数减1；当该数小于1时，－N为它第一个有效数字前0的个数〔含小数点前的1个0〕。

14.2万＝142000一共6位，从而14.2万＝142000＝1.42×105。

应选A。

4、〔2018山东莱芜3分〕如下图是由假设干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，那么小立方
体的个数不可能是【】
A、6个
B、7个
C、8个
D、9个
【答案】D。

【考点】由三视图判断几何体。

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形。

从俯视图知，几何
体的下层有5个小立方体；结合左视图知，几何体的上层前排有小立方体，后排没有，即可能有1，2，3
个，那么小立方体的总数可能是6，7，8个，不可能是9个。

应选D 。

5、〔2018山东莱芜3分〕以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有【】
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
【答案】B 。

【考点】轴对称图形和中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。

因此，第【三】四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形。

应选B 。

6、〔2018山东莱芜3分〕对于非零的实数A 、B ，规定A ⊕B ＝ 1 b － 1 a
、假设2⊕（2X －1）＝1，那么X ＝【】
A 、 5 6
B 、 5 4
C 、 3 2
D 、－ 1 6
【答案】A 。

【考点】新定义，解分式方程。

【分析】∵A ⊕B ＝ 1 b － 1 a
，2⊕（2X －1）＝1，∴2⊕（2X －1）＝错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

检验，合适。

应选A 。

7、〔2018山东莱芜3分〕M 、N 是方程X2＋22X ＋1＝0的两根，那么代数式m2＋n2＋3mn 的值为【】
A 、9
B 、±3
C 、3
D 、5
【答案】C 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】∵M 、N 是方程X2＋22X ＋1＝0的两根，∴M ＋N ＝错误！未找到引用源。

，MN ＝1。

∴错误！未找到引用源。

应选C 。

8、〔2018山东莱芜3分〕从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、
3、4中任取一个数作
为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是【】
A 、 1 4
B 、 1 3
C 、 5 12
D 、 2 3
【答案】B 。

【考点】概率。

【分析】从1，2，3，4，5中任取一个数作为十位上的数，再从2，3，4中任取一个数作为个位上的数，共5×3＝15种取法，其中5个两位数是3的倍数：12，24，33，
42，54，故其概率为 1 3。

应选B 。

9、〔2018山东莱芜3分〕以下四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之
对应排序【】
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A 、①②③④
B 、③④②①
C 、①④②③
D 、③②④①
【答案】D 。

【考点】函数的图象。

【分析】应用排除法进行排序：
首先对“①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）”分析，由于路程＝速度×时间，速度一定，路程与时间的关系是正比例函数关系，为第四个图象，故可排除A ，C 选项。

对“②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）”，水面的高度随注水时间的增加而增加；对“④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）”，水温随时间的增加而减小。

应选D 。

10、〔2018山东莱芜3分〕假设一个圆锥的底面积为错误！未找到引用源。

CM2，高为42CM ，那么该圆锥的侧面展开图中圆心角为【】
A 、40º
B 、80º
C 、120º
D 、150º
【答案】C 。

【考点】圆锥的计算，勾股定理，扇形的弧长。

【分析】如图，由，圆锥的底面积为错误！未找到引用源。

CM2，那么底面半
径OA ＝2CM ，周长为错误！未找到引用源。

CM 。

∵圆锥的高OB ＝42CM ，
∴根据勾股定理得，圆锥的母线AB ＝错误！未找到引用源。

＝6CM 。

∵圆锥的侧面展开图是以AB ＝6为半径，错误！未找到引用源。

为弧长的扇形， ∴根据扇形的弧长公式，得错误！未找到引用源。

应选C 。

11、〔2018山东莱芜3分〕以下说法正确的有【】
①正八边形的每个内角都是135º ②27与错误！未找到引用源。

是同类二次根式
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30º
④反比例函数Y ＝－ 2 x
，当X 《0时，Y 随X 的增大而增大 A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个
12、〔2018山东莱芜3分〕如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90º，BC ＝2AD ，F 、E 分别是BA 、
BC 的中点，那么以下结论不正确的选项是【】
A 、△ABC 是等腰三角形
B 、四边形EFAM 是菱形
C 、S △BEF ＝错误！未找到引用源。

S △ACD
D 、D
E 平分∠CDF
【答案】D 。

【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理。

【分析】如图，连接AE ，由AD ∥BC ，∠BCD ＝90º，BC ＝2AD ，可得四边形AECD 是矩形，∴AC ＝DE 。

∵F 、E 分别是BA 、BC 的中点，∴AD BE 。

∴四边形ABED
是平行四边形。

∴AB ＝DE 。

∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形。

故结论A 正确。

∵F 、E 分别是BA 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝错误！未找到引
用源。

AC ＝错误！未找到引用源。

AB ＝AF 。

∵四边形ABED 是平行四边形，∴AF ∥ME 。

∴四边形EFAM 是菱形。

故结论B 正确。

∵△BEF 和△ACD 的底BE ＝AD ，△BEF 的BE 边上高＝△ACD 的AD
边上高的一半，
∴S △BEF ＝错误！未找到引用源。

S △ACD 。

故结论C 正确。

以例说明DE 平分∠CDF 不正确。

如图，假设∠B ＝450，
那么易得∠ADE ＝∠CDE ＝450。

而∠FDE 《∠ADE ＝∠CDE 。

∴DE 平分∠CDF 不正确〔只有在∠B ＝600时才成立〕。

故结论D
不正确。

应选D 。

【二】填空题〔本大题共5小题，每题4分，总分值20分〕
13、〔2018山东莱芜4分〕计算：错误！未找到引用源。

＝▲、
【答案】错误！未找到引用源。

【考点】实数的运算，负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值。

【分析】针对负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果：
错误！未找到引用源。

14、〔2018山东莱芜4分〕假设点P （A ，2）在一次函数Y ＝2X ＋4的图象上，它关于Y 轴的对称点在反比例函
数Y ＝ k x
的图象上，那么反比例函数的解析式为▲、 【答案】错误！未找到引用源。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，关于Y 轴对称的点的坐标特征。

【分析】∵点P （A ，2）在一次函数Y ＝2X ＋4的图象上，∴2＝2A ＋4，解得A ＝－
1。

∴P （－1，2）。

∵关于Y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴点P （－1，2）关于Y 轴对称的点的坐标是（1，2）。

∵（1，2）在反比例函数Y ＝ k x
的图象上，∴K ＝2。

∴反比例函数的解析式为错误！未找到引用源。

15、〔2018山东莱芜4分〕在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6、假设点P 在边AC 上移动，那么BP 的最小值是▲、
【答案】错误！未找到引用源。

【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。

【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取
得最小值。

设AP′＝X，那么由AB＝AC＝5得CP′＝5－X，
又∵BC＝6，∴在RT△ABP′和RT△CBP′中应用勾股定理，得
错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，解得错误！未
找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

，即BP的最小值是错误！未找到引用源。

16、〔2018山东莱芜4分〕为落实“两免一补”政策，某市2017年投入教育经费2500万元，预计2018年要
投入教育经费3600万元、2017年至2018年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，那么2018年该
市要投入的教育经费为▲万元、
【答案】3000。

【考点】一元二次方程的应用〔增长率问题〕。

【分析】设某市教育经费的年平均增长率是X，2018年的教育经费为2500（1＋X），那么2018年底的的教育经费为2500（1＋X）（1＋X）＝2500（1＋X）2。

据此列出方程：2500（1＋X）2＝3600，解得X＝0.2＝20％或X＝－2.2〔不合题意，舍去〕。

∴2018年该市要投入的教育经费为2500×（1＋20％）＝3000〔万元〕。

17、〔2018山东莱芜4分〕将正方形ABCD的各边按如下图延长，从射线AB开始，分别在各射线上标
记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2018在射线▲上、
【答案】AB。

【考点】分类归纳〔图形的变化类〕。

【分析】寻找规律，从图示知，各点按16次一循环：
A1、A3、A10、A12、…在射线AB上；A2、A4、A9、A11、…在射线DC上；
A5、A7、A14、A16、…在射线BD上；A6、A8、A13、A15、…在射线CA上。

∵2018÷16＝125……12，∴点A2018与A12位置相同，即在射线AB 上。

【三】解答题〔本大题共7小题，总分值64分〕
18、〔2018山东莱芜6分〕先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ 1 a －2 ÷ a －2 a2－4
，其中A ＝－3、 【答案】解：原式＝错误！未找到引用源。

当A ＝－3时，原式＝－3＋2＝－1。

【考点】分式运算法那么。

【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。

然后代A 的值求值。

19、〔2018山东莱芜8分〕某校学生会准备调查六年级学生参加“武术类”、“书画类”、“棋牌类”、“器乐类”
四类校本课程的人数、
（1）确定调查方式时，甲同学说：“我到六年级（1）班去调查全体同学”；乙同学说：“放学时我到校门口
随机调查部分同学”；丙同学说：“我到六年级每个班随机调查一定数量的同学”、请指出哪位同学的调查方式最合理、
（2）他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制了如下图的统计表和扇形统计图、
请你根据以上图表提供的信息解答以下问题： ①A ＝，B ＝； ②在扇形统计图中，器乐类所对应扇形的圆心角的度数是； ③假设该校六年级有学生560人，请你估计大约有多少学生参加武术类校本课程、 【答案】解：（1）丙同学的调查方式最合理。

〔2〕①100；0.15。

②1440。

③∵560×0.25＝140〔人〕。

∴估计大约有140名学生参加武术类校本课程。

【考点】频数〔频率〕统计表，扇形统计图，调查方式的确定，频数、频率和总量的关系，用样本估计总体。

【分析】（1）丙同学的调查方式最合理。

〔2〕①由参加“书画类”学生的信息，知A ＝20÷0.2＝100〔人〕。

②∵参加“器乐类”学生的频率为1－0.25－0.2－0.15＝0.4，
∴在扇形统计图中，器乐类所对应扇形的圆心角的度数是3600×0.4＝1440。

③用用样本估计总体的思想解题。

20、〔2018山东莱芜9分〕某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意
图如下图、支架AC 与斜坡AB 的夹角为28º，支架BD ⊥AB 于点B ，且AC 、BD 的延长线均过⊙O
的圆心，AB ＝12M ，⊙O 的半径为1.5M ，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离（结
果精确到0.01M，参考
数据：COS28º≈0.9，SIN62º≈0.9，SIN44º≈0.7，COS46º≈0.7）、
【答案】解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。

在RT△AOB中，错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引
用源。

，
∴错误！未找到引用源。

∵∠BAE＝160，∴∠OAE＝280＋160＝440。

在RT△AOE中，错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引
用源。

，
∴错误！未找到引用源。

9.333＋1.5＝10.833≈10.83〔M〕。

答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83M。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】如图，过点O作水平地面的垂线，构造RT△AOE。

解RT△AOB，求出OA；解RT△AOE，求出OE，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。

21、〔2018山东莱芜9分〕如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E分别是AB、AC边的中
点、将△ABC绕点A顺时针旋转错误！未找到引用源。

角（0º《错误！未找到引用源。

《180º），得到△AB′C′（如图2）、
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当DB′∥AE时，试求旋转角错误！未找到引用源。

的度数、
【答案】解：〔1〕DB′＝EC′。

证明如下：
∵D、E分别是AB、AC边的中点、∴AD＝错误！未找到引用源。

AB，AE＝错误！未找到引用源。

AC。

∵AB＝AC，∴AD＝AE。

∵△AB′C′是△ABC绕点A顺时针旋转得到，
∴∠EAC′＝∠DAB′＝错误！未找到引用源。

，AC′＝AC＝AB′＝AB。

∴△ADB′≌△AEC′〔SAS〕。

∴DB′＝EC′。

〔2〕由〔1〕△ADB′≌△AEC′，∴∠C′EA＝∠B′DA。

∵DB′∥AE，∠BAC＝900，∴∠B′DA＝∠DAE＝900。

∴∠C′EA＝∠B′DA＝900。

∵AE＝错误！未找到引用源。

AC′，∴错误！未找到引用源。

∴旋转角错误！未找到引用源。

【考点】等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，平行的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

〔1〕由三角形中位线定理和AB＝AC可得AD＝AE，由旋转的性质可得∠EAC′【分析】
＝∠DAB′＝错误！未找到引用源。

，AC′＝AC＝AB′＝AB，从而由SAS得△ADB′≌△AEC′，因此得DB′＝EC′。

〔2〕由〔1〕△ADB′≌△AEC′可得∠C′EA＝∠B′DA；由DB′∥AE，∠BAC＝900可得∠B′DA＝∠DAE＝900，从而∠C′EA＝900。

在RT△C′EA中，应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值即可求得旋转角错误！未找到引用源。

的度数。

22、〔2018山东莱芜10分〕为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔
作为奖品、5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元、（1）每个文具盒、每支钢笔各多少元？
（2）时逢“五一”，商店举行优惠促销活动，具体办法如下：文具盒九折，钢笔10支以上超出部分八折、设
买X个文具盒需要Y1元，买X支钢笔需要Y2元，求Y1、Y2关于X的函数关系式；
（3）假设购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请分析买哪种奖品省钱、
23、〔2018山东莱芜10分〕）如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60º，以点D为圆
心的⊙D与边AB相切于点E、
（1）求证：⊙D与边BC也相切；
（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留错误！未找到引用源。

）；
（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF
时，求动点M经过的
弧长（结果保留错误！未找到引用源。

）、
【答案】解：〔1〕证明：连接DE，过点D作DN⊥BC，垂足为点N。

∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC。

∵⊙D与边AB相切于点E，∴DE⊥AB。

∴DN＝DE。

∴⊙D与边BC也相切。

〔2〕∵四边形ABCD是菱形，AB＝23，∴AD＝AB＝23。

又∵∠A＝60º，∴DE＝ADSIN600＝3，即⊙D的半径是3。

又∵∠HDF＝错误！未找到引用源。

∠HADC＝60º，DH＝DF，∴△HDF
是等边三角形。

过点H作HG⊥DF，垂足为点G，那么HG＝3SIN600＝错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

〔3〕假设点M运动到点M1时，满足S△HDF＝3S△MDF，过点M1作M1P⊥DF，垂
足为点P，那么错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

∴∠M1DF＝30º。

此时动点M经过的弧长为：错误！未找到引用源。

过点M1作M1M2∥DF交⊙D于点M2，
那么满足错误！未找到引用源。

，
此时∠M2DF＝150º，动点M经过的弧长为：错误！未找到引用源。

综上所述，当S△HDF＝3S△MDF时，动点M经过的弧长为错误！未找
到引用源。

或错误！未找到引用源。

【考点】菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。

【分析】〔1〕连接DE，过点D作DN⊥BC，垂足为点N，那么根据菱形的性质可得BD平分∠ABC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DN＝DE，即BC垂直于过⊙D上点N的半径，从而得到⊙D与边BC也相切的结论。

〔2〕求出△HDF和扇形HDF即可求得阴影部分的面积。

〔3〕根据S△HDF＝3S△MDF求出圆心角即可求动点M经过的弧长。

注意有两点。

24、〔2018山东莱芜12分〕如图，顶点坐标为（2，－1）的抛物线Y＝AX2＋BX＋C （A≠0）与Y轴交于点C（0，3），
与X轴交于A、B两点、
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作Y轴的平行线EF，与抛物线交于点F、问是否存在点E，使
得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？假设存在，求点E的坐标；假设不存在，请说明理由、
【答案】解：〔1〕∵抛物线Y＝AX2＋BX＋C（A≠0）的顶点坐标为（2，－1），
∴可设抛物线的表达式为错误！未找到引用源。

∵点C（0，3）在错误！未找到引用源。

上，∴错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

∴抛物线的表达式为错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

〔2〕令错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

∴A〔1，0〕，B〔3，0〕。

设BC的解析式为错误！未找到引用源。

，将B〔3，0〕，C〔0，3〕代入得，
错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

∴BC的解析式为错误！未找到引用源。

当X＝2时，Y＝－2＋3＝1，∴D〔2，1〕。

∴错误！未找到引用源。

〔3〕存在。

假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似。

∵△BCO是等腰直角三角形，∴以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形。

∵由EF∥OC得∠DEF＝450，
∴以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点。

①当点F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△BCO。

∴DF所在直线为Y＝1。

由错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

将错误！未找到引用源。

代入错误！未找到引用源。

，和错误！未找到引用源。

，∴E〔错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

〕；
将错误！未找到引用源。

代入错误！未找到引用源。

，和错误！未找到引用源。

，∴E〔错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

〕。

②当点D为直角顶点时，DF⊥ED，此时△EFD∽△BCO。

∵点D在对称轴上，∴DA＝DB。

∵∠CBA＝450，∴∠DAB＝450，∴∠ADB＝900。

∴AD⊥BC。

∴点F在直线AD上。

设AD的解析式为错误！未找到引用源。

，将A〔1，0〕，D〔2，1〕代入得，
错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

∴AD的解析式为错误！未找到引用源。

由错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

将错误！未找到引用源。

代入错误！未找到引用源。

，和错误！未找到引用源。

，∴E〔1，2〕；
将错误！未找到引用源。

代入错误！未找到引用源。

，和错误！未找到引用源。

，∴E〔4，－1〕。

综上所述，点E的坐标为〔错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

〕或〔错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

〕或〔1，2〕或〔4，－1〕。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线图上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】〔1〕设抛物线的顶点式表达式，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。

〔2〕求出A、B、D点坐标，由错误！未找到引用源。

即可求得△ACD的面积。

〔3〕分点F为直角顶点和点D为直角顶点两种情况求解即可。