函数列与函数项级数

法
2021/6/21
n=2y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
2021/6/21
19
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1 2.
0 ，
2021/6/21
7
所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 {xn}在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对定义在区间 I 上的函数列{ fn (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { fn (x0 ) } 收 敛，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 收敛， x0 称为函数列{ fn (x) }收敛点；若数列 { fn (x0 ) }发散，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 发散。
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
n2
n2
n1 n2
一致收敛性概念
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18
例 函数项级数 x (xn xn1) 每一项 在 [0, 1] 上都是连续的， 而 n2
其部分和为 Sn (x) xn ，从而
0 , 0 x 1,
S
(
x)
lim
n
S
n
(
x)
1
,
x 1.
在[0, 1]上却是不连续的。
clf, x=0:1/100:1;
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6
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
y1,n=8 y2,n=20 y3,n=50
1
1.2
可以看出，对于 0 0.5，无论 n 再大，fn (x) 的图象总有一部分落在0
－带以外。
事实上存在
xn0
1 n
，
|
fn0 (xn0 )
f
(x) |
使函数列{ fn (x) }收敛的全体收敛点集合称为函数列{ fn (x) }收敛域（ 注 意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列{ fn (x) }在数集 D E 上每一点都收敛，则称函数列{ fn (x) }在数 集 D 上收敛，这时 D 上每一点 x ，都有函数列的一个极限值
lim
n
fn (x)
f (x) lim n
fn (x) 0 .
但由于
max |
x[0,1]
fn (x)
f (x) |
f
n
1 2n
n 0 ,
(n),
因20此21/6,/21该函数列在[ 0 ,1]上不一致收敛.
14
例 判别下面函数列在区间 [0, 1] 上的一致收敛性
1) { nx }
1n x
2) {nx(1 x)n}
|
Sn p
Sn
||
x n1 n 1
xn2 n2
x n p n p
x n p1 n p1
|
| xn1 xn p1 | 2 0 n1 n p1 n1
所以, 函数级数
xn xn1 ( )
在区间 [1,1] 上一致收敛性
n1 n n 1
一般来说, 柯西准则用起来不大方便, 下面给出一个较简便的判别方
17
例 讨论 xn 的收敛域 n1
由几何级数的敛散性, | x | 1 时 xn 收敛, | x | 1 时 xn 发散, 所
n1
n1
以 xn 的收敛域为 (1, 1) n1
例 讨论级数 sinn x 收敛域 n1 n2
sin n
|
x |
1
,
所以级数
sin n x
收敛域为 (, )
| Snp (x) Sn (x) |
或
| um (x) um1(x) un (x) |
定理 13.4 函数项级数 un (x)在 D 上一致收敛于 S(x) 的充分必要条件 n1
是：
lim
n
sup
xD
|
S
n
(
x)
S
(
x)
|
0
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21
例 讨论函数级数 ( xn xn1 ) 在区间 [1,1] 上的一致收敛性 n1 n n 1
认识的，有限个连续函数的和是连续的；有限个可微函数的和是可微的，
且和的导数等于每个函数的导数的和；有限个可积函数的和是可积的，且
和的积分等于每个函数积分的和。现在要问：是否可以从级数每一项所具
有的连续性、可微性与可积性，而得出和函数的连续性、可微性与可积性
呢？一般来说，这是不行的！
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n
x)n
0 , lnim
x x[n
0 n (1
x)]n
0
,
x
0
求极大点方法可求得
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15
sup
|
fn (x)
f
(x)
|
sup
|
nx(1
x)n
|
(1
1 )n1 n 1
1
lim sup
n
|
fn (x)
f
(x)
|
e
0
函数列 {nx(1 x)n} 在 [0, 1] 上不一致收敛。
对任意定理132函数列suplim推论设在数集d在数集d上非一致收敛在数集d上非一致收敛时常作辅助函数nxlimsuplimsuplim函数项级数及其一致收敛性我们知道有限个函数的和函数的性质是通过每个相加的函数的性质去认识的有限个连续函数的和是连续的
第十三章 函数列与函数项级数
一 函数列及其一致收敛性
lim sup
n xD
|
fn (x)
f
(x)
|
0
推论 设在数集 D 上 fn (x) f (x) , ( n ) . 若存在数列{xn} D , 使
| fn (xn ) f (xn ) | 0 , 则函数列{ fn (x)}在数集 D 上非一致收敛 .
应用此判断函数列{fn(x)}在数集 D 上非一致收敛时, 常作辅助函数
形全部落入这个 -带内。 一致收敛情况图示
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3
f(x)
fn(x)
对任意 0，n 充分大时， fn(x) 将全部落入 －带以内。
{fn (x)}收敛但不一致收敛的几何意义：
对任意
xD，
lim
n
fn (x)
f
(x) ，但存在一个0
0 ，对任意的
N，都可
找到一个 n0 ，尽管 n0 N ，但 fn0 (x) 总有一部分落在0 带以外。
ne
n3
敛。 2021/6/21
9
再看看该函数列在 [0, ] , 1 上的图象
clf,x=0:1/100:0.7; y1=x.^13;y2=x.^18;y3=x.^20; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b','linewidth',2),hold on plot([0,0.7],[0,0],'r',[0,0],[-0.02,0.02],'r') plot([0,0.7],[0.005,0.005],'m') axis([0,0.71,-0.01,0.02])
lim
n
fn (x) 0 ,
但在[ 0 ,1]上不一致收敛.
证 0 x 1时, 只要 n x1 , 就有 fn (x) 0 . 因此, 在 ( 0 ,1] 上有
f (x)
lim n
fn (x)
0.
fn (0) 0 ,
f (0) lim n
fn (0) 0 .
于是, 在[ 0 ,1]上有
)
易见逐点收敛.
设 lim n
fn (x)
f (x) ,……,有
|
fm (x)
fn
(x)
|
2
.
令m,
|
fn (x)
f
(x) |
2
对 x D 成立,
即 fn (x)
f (x) ,
( n ) ， x D.
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12
定理 13.2 函数列 { fn (x)}, x D 一致收敛的充分必要条件是：
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11
函数项级数及其一致收敛性
定理 13.1 (一致收敛的 Cauchy 准则 ) 函数列 {fn(x)}, x D 一致收敛 的充分必要条件是：对任意 0，存在某一自然数 N ，当 n, m N 时，对
一切 x D ，都有 | fn (x) fm (x) |
证 ) ( 利用式 fm fn fm f fn f . )
lim
n
fn (x)
lim
n
xn
0,
1,
| x |1, x 1.
例2
fn
(x)
sin nx n
.
用“ N ”定义验证在 ( , ) 内 lim n
fn (x) 0 .
函数列的一致收敛性：
设函数列 { fn (x)}在 E 上收敛于 f (x) ，若对任意的 0 ，存在自然数
N N() ，当 n N 时，对 E 中一切 x 都有
例 fn (x) 2n2xen2x2 . 证明在 R 内 fn (x) 0 , 但不一致收敛.
证
显然有 fn (x) 0 ,| fn (x) f (x) |
fn (x) 在点 xn
1 2n
处取得极
大值
fn
1 2n
1
2ne 2
0,(
n
)
.
{fn (x)}不一致收敛.
例6
Sn (x)
0.8
0.9
1
那么在什么条件下，由级数每一项所具有的某种性质（如连续性、可积
性、可微性），就可推出和函数也具有这种性质？这需要一个重要的概念
－一致收敛性。
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20
函数级数一致收敛判别法:
定理 13.3 (柯西准则) 函数级数 un (x) 在区间 I 一致收敛 n1
0 , N , n N , p N , x I 有
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4
f(x)
fn(x)
例
证明函数列
f
n
(
x)
1
nx n2
x
2
在 [0, 1] 上收敛但不一致收敛
证明 1）函数列在 [0, 1] 上收敛。
显然 对任意的 x [0,1] ，
fn ( x)
1 n
n nx2
0
2）但 fn (x) 不一致收敛于 0
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5
先看一看函数列的图象（图中给出的是 n＝8，20，50 的情况）
f (x)
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1
与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列{ fn (x) }的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ N ”定义.
例 1 对定义在 ( , ) 内的等比函数列 fn (x) xn , 用“ N ”定义 验证其收敛域为 ( 1,1] , 且
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2
fn (x) f (x)
则称函数列{ fn (x)}在 E 上一致收敛于 f (x) 。 注意 这里的 N 只与 有关，与 x 无关，这一点是一致收敛与逐点收
敛的本质区别。 一致收敛的几何意义 对任给的 -带 { (x, y) ; | y f (x) | }，总存在一个 N， n N 时， fn (x) 的图
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8
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
对于0 1，不管 n 再大， xn 的图象总有一部分落在0 －带以外。
事实上，我们容易看出
(1 1)n 1 n 充分大时， (1 1)n 1 所以该函数列在[0,1] 上不一致收
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10
0.02 0.015
0.01 0.005
0 -0.005
-0.01 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
对任意的 0，总存在 N, 当 n>N 时，xn 的图象将全部落入 －带之
内。事实上，0 fn(x) n ，所以，该函数列在 [0, ] , 1 上是一致收敛。
解 1） f (x) lim nx x
n 1 n x
sup
|
fn (x)
f
(x)
|
sup
|
nx 1 n
x
x
|
sup
| x(1 x) 1n x
|
2 n
lim sup
n
|
fn (x)
f
(x) |
0
所以，函数列{ nx }在区间 [0, 1] 上一致收敛。
1n x
2）
f
(x)
lim nx(1
1
x n2x2
.
证明在 (
,
)
内
Sn (x)
0
,
(n).
证
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易见
lim
n
Sn
(x)
S(x)
0.
而
16
|
S
n
(
x)
S
(
x)
|
1
|
x| n2x
2
1 2n | x | 2n 1 (nx)2
1 2n
在 ( , ) 内成立.
……
二 函数项级数及其一致收敛性
我们知道，有限个函数的和函数的性质是通过每个相加的函数的性质去
Fn (x) fn (x) ― f (x) 取在{xn}为数集 D 上的最值点.
例 7 对定义在区间[ 0 ,1]上的函数列
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2n2 x , fn (x) 2n 2n2 x, 0 ,