一道题引发的思考——浅谈重心在初中数学几何中的作用

一道题引发的思考——浅谈重心在初
中数学几何中的作用
在八年级上册第一章《三角形的初步认识》第一节《认识三角形》的教学中，我发现了一个有趣的问题。

同学们在学习了三角形的三边关系，三角形内各边中线，高线，内角角平分线，简单了解三角形各心之后，在一次课堂上，有学生对
一个数学问题提出了自己的想法。

1.
问题呈现
在作业中有这么一个拓展探究题：学校有一块菜地，如图所示，现计划从点D表示的位置（BD:DC=2:1）开始挖一条笔直
的小水沟，希望小水沟两边的菜地面积相等。

有人说：如果D
是BC的中点，那么从点D笔直地挖至点A就可以了，现在D不是BC的重点，问
题就无法解决了。

有人对此表示怀疑，说认真研究，一定能办到，你认为上面两
种意见中的哪种对呢？简述你的理由。

答案解析：过点D的直线分ABC面积成两块,记面积为S
1
和S
2,在直线顺时针旋转的过程中，S
1
和S
2
在不断地变化，S
1
在
增大，S
2在减小，因此必然存在S
1
=S
2
,且唯一存在.
因此后一种意见对.如图所示，可取AB的中点E，再取AE的中点F，则由点D笔直地挖至点F就可以，点F为线段AB的四等分点，且AF:BF=1:3.
理由如下：连结AD,DE.
∴沿着DF挖小水沟，两边的菜地面积相等.
当我把本题的正确答案公布之后，王同学举手发表了他的想法，他觉得：
过三角形重心的直线可以平分三角形的面积。

在科学中，重心是通过悬挂物体得到的，所以如果将三角形看成是一种均匀的介质，拿一根
绳子进行悬挂，那么竖直向下的绳子进行延长一定是经过三角
形的重心的，这样本题只需要先画出三角形的重心O，然后过点D和点O做一条直线，这条直线就能将三角形的面积平分。

一开始听到该学生的解释，好像并未觉得有什么不妥，但是是否有过三角形重心的直线平分三角形面积这一定理我表示很疑惑，因此到课后我对这一问题就行了探究。

1.
问题探究
在物理学中，地球上的任何物体都要
受到地球的引力，若把物体假想地分割成无
数部分，则所有这些微小部分受到的地球引
力将组成一个空间汇交力系(汇交点在地球
中心)。

由于物体的尺寸与地球的半径相比要小很多，因此可近似地认为这个力系是空间平行力系，此平行力系的合力G即物体的重力。

通过实验可以知道，无论物体怎样放置，其重力总是通过物体内的一个确定点记作平行力系的中心，这个确定的点称为物体的重心。

质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。

有规则形状的物体，它
的重心就在几何中心上，例如，均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀球体的重心
在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点。

不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定。

在浙教版初中数学九年级上册《4.7相似三角形的性质及其应用》课本中有
一个探究活动也提到物理学中用悬挂法来找三角形的重心，并且提出了一个问题，物理法找出的三角形的重心和三角形数学意义上的重心有什么关系呢？
重心作为数学几何术语指的是三角形的三条中线的交点。

三角形的重心分每
一条中线成1：2的两条线段。

这个定理是怎么得到的呢？
例题：已知:如图，BD,CE是ABC的两条中线，P是它们的交点.
求证： .
证明：如图，连结DE.
∵BD,CE是的两条中线，
∴DE BC.
∴∠EDB=∠DBC,∠DEC=∠ECB,
∴DEP∽ BPC(有两个角对应相等的两个三角形相似)
∴ .
根据三角形中线的性质再来看该同学的解答，由于点O
为的重心，因此BO:OH=2:1,∵BD:DC=2:1,∠B为公共
角，因此和相似，从而得到DF//AC,因此点F
也为线段AB的三等分点，且AF:BF=1:2，这与正确答案点F是线段AB的四等分点，且AF:BF=1:3相矛盾，由于点F是唯一存在的，因此必然是在不同学科的定
义上存在着差异。

1.
知识拓展
三角形的三条中线的交点是三角形的重心.
如图，得出以下结论：
①∵CF为ABC边AB上的中线，
∴点F为线段AB的中点，
∴OF为AOB的中线，
因此 ,
同理可得： , .
②∵三角形的中线平分三角形的面积,
∴ .
即 ,
∴ ,
同理可得： , .
③ .
1.
知识应用
（1）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》中。

任何一条直线截三角形的各边或其延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角比关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。

定理定义：当一条直线交 ABC三遍所在的直线BC,AC,AB分别于点D,E,F 时，则有： .
定理证明：过点A作AG//DF交BC的延长线于点G.则
∴ .
使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在三角形的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足，则F、D、E 三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线。

（2）塞瓦定理
塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、
CO分别交对边于D、E、F，则 .塞瓦是意大
利水利工程师，数学家。

塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表
的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。

塞瓦定理记忆方法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为1。

本定理可利用梅涅劳斯定理(梅氏定理)证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴①
∵△ABD被直线COF所截，
∴②
约分得： .
用塞瓦定理证明：三角形三条中线交于一点（重心）
如右图：已知，D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、BE相交于点O，连接CO并延长..
求证：AF=FB.
证明：∵BD=DC，CE=EA,
∴ =1， =1,
由塞瓦定理得
∴ =1，∴ AF=FB，
∴CF为AB边上的中线,
∴三角形三条中线交于一点（重心）.
数学是一门非常灵活的学科，与其他科目之间有着千丝万缕的联系，尤其是科学。

学生在课堂上提出的一个小小的问题，却引发出了许多的思考，这也给我许多的启示，在平时教学中要重视学生的提问，要多加积累知识经验与储备，才能更好的去开散学生的思维，让学生学会学习。

参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部浙教版义务教育课程标准实验教科书《数学》（9年级）,2012.
[2] 中华人民共和国教育部《全日制义务教育数学课程标准》初中,2011.
[3] 禹加宽.工程力学[M].北京理工大学出版社，2016.08.。