3.3垂径定理(1)

CE O
D
如：点C是AB的中点,点D是 ADB 的中点. B
C
O
A
A
E
B
D
A
O
C
B
A
O
D
B
D
B
O
C
C
A
C
B
D
O
例1 已知 AB ，如图，用直尺和圆规求作这条
弧的中点．
作法： ⒈ 连结AB.
⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.

点E就是所求弧AB的中点．
C E
B
D
变式一： 求 AB 的四等分点．
B
交点即为圆弧所在
O
圆的圆心．
１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该 弦的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点．
E
N
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
FC
A
B
D
M
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
C
m
E
F
A
n
G
B
D
求 AB 的四等分点． 错在哪里？
Ｅ
C
G
Ｍ
Ｎ
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD
A
2．作AT、BT的垂直平分线 EF、GH
F
Ｔ
B
DＨ
强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂
直平分线．
变式二：你能确定弧AB所在圆的圆心吗？
方法：只要在圆弧
上任意取三点，连
a
C
b
结两条弦，画这两
条弦的垂直平分线，A
合作交流,探究新知
自主探究
在白纸上任意作一个圆和这
个圆的任意一条直径CD, 然后 沿着直径所在的直线把纸折叠,
C
你发现了什么?
结论：
O
D
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条.
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ）
且OP=3，在过点P的所有⊙O的弦中，最短
的弦长为（ C ）
A．4
B．6
C．8 D．10
(2003•十堰)如图，⊙O的直径为10，弦AB
的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取
值范围是（ A ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5
D．4＜OM＜5
(2004•荆州)已知点P是半径为5的⊙O内一定 点，且OP=4，则过点P的所有弦中，长度为 整数的弦有 8 条．
⊙则弦O的AB弦的A长B的为长为8cm，。弦AB的弦心距为
3cm，则⊙O的半径为
。
1.同心圆Ｏ中，大圆的弦ＡＢ与小圆交于Ｃ， Ｄ两点，判断线段ＡＣ与ＢＤ的大小关系，并 说明理由．
O
Ａ
CD ＥＢ
2、已知：如图，在⊙O中，弦AB∥CD。
求证： AC BD
O
AF
B
CE
D
H
1、(2004•无为)点P是半径为5的⊙O内一点，
题后小结：
1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；
2 ．半径（r)、半弦、弦心
距(d)组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
O．
dr
A
C
B
弦长AB 2 r2 d 2 .
D
已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距
为如图5c，m，已则知这⊙条O的弦半的径长为为5cm，CD=。2cm，
概括性质（垂径定理：垂直于弦的直径平 分这条弦，并且平分弦所对的弧．）
直径平分弦
１.直径垂直于弦
（条件）
直径平分弦所对的弧(劣弧、优弧) （结论）
垂径定理的几何语言叙述:
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）
∴ EA=EB，AC BC，AD BD．
A
2.分一条弧成相等的两条弧的点, 叫做这条弧的中点.
义务教育教科书 浙江版《数学》九年级上册
请观察下列三个银行标志有何共同点?
创设情境,引入新课
复习提问: （１）什么是轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。
（２）正三角形是轴对称性图形吗？ 是
有几条对称轴？ ３
（３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的 对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
2、(1997•安徽)已知AB是⊙O的弦，P是AB上 一点，AB=10，PA=4，OP=5，求⊙O的半 径．
E
3、(2008•芜湖)如图，两正方形彼此相邻且内接 于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的 半径为( C )
A．4 5 cm B．9cm C．4 5 cm D．6 2 cm
在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直 的弦AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在 的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合?
如果把能够重合的圆弧叫做相 A 等的圆弧,那么在右图中,哪些圆
弧相等?
CE O
D
请用命题的形式表述你的结论. B
结论：
A
AE BE AC BC AD BD C E O
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
再见
想一想:排水管中水最深多少?
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8. 由勾股定理得:
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
10 C 88 D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
D
B
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠， 根据圆的轴对称性，可得射线EA与EB重合， ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．
∴ EA=EB， AC BC ， AD BD ．
思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？