2023学年湖北省荆门市荆州中学、宜昌一中高三(下)月考数学试卷(5月份)+答案解析(附后)

2022-2023学年湖北省荆门市东宝区龙泉中学、荆州中学、宜昌一中高三（下）月考数学试卷（5月份）
1.若复数是纯虚数，则( )
A. B. 2 C. D. 1
2.已知，若集合，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.已知实数a，b满足，则的最小值是( )
A. 5
B. 9
C. 13
D. 18
4.设，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则，( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. 366
B. 365
C. 364
D. 363
6.血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测
一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为( )
A. 11小时
B. 13小时
C. 17小时
D. 19小时
7.关于函数，有下列四个命题：
甲：在单调递增；
乙：是的一个极小值点；
丙：是的一个极大值点；
丁：函数的图象向左平移个单位后所得图象关于y轴对称．
其中只有一个是假命题，则该命题是( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
8.设，函数，曲线的最低点
为，的面积为，则( )
A. 是递增数列
B. 是递减数列
C. 是递增数列
D. 是摆动数列
9.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了30名党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下.则下列对该单位党员一周学习党史时间的叙述，正确的有( )
党史学习时间小时7891011
党员人数48765
A. 众数是8
B. 第40百分位数为8
C. 平均数是9
D. 上四分位数是10
10.已知P是圆O：上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
11.阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
，其中…，k，为多面体M 的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M 的所有以P为公共点的面.“解答问题：已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，则下列结论正确的是( )
A. 直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等
B. 若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为
C.
若四面体在点处的离散曲率为，则平面
D. 若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面所成角的正弦值为
12
.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点斜率为k的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于P、Q两点，下列命题正确的有( )
A.
B. 当点C为线段PQ的中点时，直线l的斜率为
C. 若，则
D.
13.若，则______ .
14
.为椭圆上任意一点，且点P到直线：和：
的距离之和与点P的位置无关，则m的取值范围是______ .
15.在四面体ABCD中，，，AB与CD所在的直线间的距离为3，且AB与CD所成的
角为，则四面体ABCD的体积为______ .
16.某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛，
两人第一局获胜的概率均为，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该
局获胜的概率为，若上局未获胜，则该局获胜的概率为，且一方第一局、第二局连胜的概率为
则______ ；打完4场结束比赛的概率为______ .
17.已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
求数列的通项公式；
数列满足，求的前100项和
18.某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯卫生习惯分为良好和不够良好两类的关系，
设“患有地方性疾病”，“卫生习惯良好”.据临床统计显示，，，该
地人群中卫生习惯良好的概率为
求和；
为进一步验证中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，
利用独立性检验，计算得为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定中的判断，试确定k的最小值.
附表及公式：
19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
求；
求的最大值.
20.在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面ABC，平面
与平面的交线为
证明：；
已知，，l上是否存在点P，使与平面ABP所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
21.已知抛物线：过点，O为坐标原点.
直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB的长等于6，求的面积；
抛物线上是否存在异于O，M的点N，使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
22.设函数
当时，讨论的单调性；
若在R上单调递增，求
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意设，
，即，
则，解得：，
故选：
根据复数的特征，设，再根据复数的运算，利用复数相等，列式求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：，若集合，，
若，则或，
故“”是“”充分不必要条件．
故选：
根据集合与集合的关系，求出a的值，再根充分必要条件的定义即可判断．
本题考查了集合与集合的关系，充分必要条件，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由，可得，
所以，
即，且，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
故选：
根据对数的运算法则，求得，且，，利用，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：若在上的投影向量为，
则，
是单位向量，
，即，
，
，
故选：
根据已知条件，结合投影向量的公式，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：令得：，
令得：，
两式相加得：，当时，，
所以
故选：
根据给定条件，利用赋值法列式计算作答．
本题考查二项式定理，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：检测第n次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为a，
则数列是首项为a，公比为的等比数列，所以，
令，即，
解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为
故选：
利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比数列模型，则利用数列的通项公式求解即可．
本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：函数的最小正周期为，半周期为，
，
四个命题中只有一个是假命题，乙丙都是真命题；
由丙知，关于对称，
的图象向左平移个单位后所得图象关于y轴对称，故丁正确；
由丙可知关于对称，的最小正周期为，
关于直线对称，，
在区间不单调，故甲是假命题．
故选：
根据的最小正周期判断乙丙都是真命题，进而判断丁为真命题，从而得到甲为假命题．
本题考查命题真假的判断，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，函数，
其导数，
分析可得在上，，为减函数，
在上，，为增函数，
曲线的最低点，，
对于函数，
其导数，
分析可得在上，，为减函数，
在上，，为增函数，
曲线的最低点，，…，
分析可得曲线的最低点，其坐标为；
则，；
，
直线的方程为，即为，
故点到直线的距离，
，
设，易知函数为单调递减函数，
故是递减数列，
故选：
根据题意，依次求出曲线、的最低点的坐标，分析可得的最低点的坐标，
求出直线与，再根据点到直线的距离，即可求出三角形的面积，根据函数的单调性即可判断．
本题考查导数的应用，涉及三角形面积直线的求法，点到直线的距离公式，函数的单调性，关键是求出最
低点为的坐标，属于难题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由题意，
随机抽取30名党员，
由图可知，党史学习时间为8小时的人最多，为8人，故众数是8，A正确；
第40百分数为：，故B错误；
平均数：，
故C正确．
上四分位数是第23项数据，为10，故D正确；
故选：
通过分析30名党员党史学习时间表，即可得出众数，平均数，第40位百分数和上四分位数．
本题考查众数，平均数，百分数等相关统计知识，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：当点A在圆外，如下图所示，
设AP中点为B，过B作AP垂线交直线OP为Q，连接AQ，则，则
，又，则此时Q轨迹为以O，A为焦点的双曲线；
当点A在圆内非原点，如下图所示，
此时，又，则此时Q轨迹为以O，A为焦点的椭圆；当A在坐标原点，如下图所示，
此时B，Q重合，则，则此时Q轨迹为以O为原点，半径为2的圆；
当A在圆上，如下图所示，
由垂径定理，可知Q点与O重合，此时Q的轨迹为点
故选：
分点A在圆外，圆内非原点，原点，圆上四种情况，结合图形可得答案．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了动点轨迹方程，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当直四棱柱的底面不为正方形时，
其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；
对于B，，则四边形ABCD为正方形，直四棱柱
在点A处的离散曲率为，B
项正确；
对于C，直四棱柱中，四边形ABCD为菱形，
，
直四棱柱侧面均为正方形，
四面体在点处的离散曲率为，
则，则为正三角形，，
，四边形ABCD为正方形，直四棱柱为正方体，平面ABCD，平面ABCD，，
又，平面，平面，，
平面，又平面，，
同理可得，，平面，平面，，
平面，C项正确；
对于D，直四棱柱在点A处的离散曲率为，
则，设，AC交于点O，
则，，
由选项C知，，四边形ABCD为菱形，，
又平面，平面，，
平面，即与平面所成的角，
，与平面所成的角的正弦值为，D项正确．
故选：
根据多面体M在点P处的离散率的定义，由各选项的条件分析几何体的结构特征，判断垂直关系及计算直线与平面所成的角，判断选项的正误．
本题考查新定义，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：如图，
由可知，双曲线的渐近线方程为，
由图可知，当过C点直线的斜率满足时，直线与双曲线左右两支各交于一点，故A错误；
设，，分别代入双曲线方程，
两式相减可得：，点C为线段PQ的中点，
所以，化简得，故B正确；
，，，，
，，
又，，，故C正确；
由题意，其中，代入双曲线方程可得，
，
，
，
，
，故D错误．
故选：
根据渐近线斜率结合图象可判断A，利用点差法可求直线斜率判断B，根据直线的斜率及二倍角的正切公式
可判断C，计算和可判断
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，即
所以，解得
所以
故答案为：
根据两角和的正弦公式可得，从而可得，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由图可知当椭圆C位于两直线和之间时，
点P到两直线和的距离之和即为和两平行线间的距离，
与点P的位置无关，
联立，得，
令，
解得或，
由图可得，
故答案为：
作出图形，结合图形可知当椭圆C位于两直线和之间时即为所求，根据直线和椭圆相切时是临界值即可求解．
本题考查直线与椭圆的位置关系，方程思想，数形结合思想，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：如图所示，把三棱锥补成一个平行六面体，
其中PQ为异面直线AB，CD的公垂线，即，且
，
在平行六面体中，可得，所以，
又因为且CD ，平面CDFE ，所以平面CDFE ，又由平面CDFE ，所以点A 到平面CDFE 的距离为
，
因为且异面AB 与CD 所成的角为
，即CE 与CD 所成的角为
又因为，
，
则
，
即四面体ABCD 的体积为故答案为：把三棱锥
补成一个平行六面体，其中PQ 为异面直线AB 与CD 的公垂线，得到
，证得
平面CDFE ，结合
，即可求解．
本题考查几何体的体积的求解，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：令事件为一方在第i 局获胜，
，2，3，
则连胜两局的概率
，解得
，
若打完4场结束比赛，则需一方以3：1获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，其中一方在第1、2、4场获胜的概率，其中一方在第1、3、4场获胜的概率，其中一方在第2、3、4场获胜的概率，
所以打完4场结束比赛的概率
故答案为：；
由已知条件可知连胜两局的概率为
，即可求解p ，若打完4场结束比赛，则需一方以3：1获胜，
因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可，有第1、2、4场获胜，第1、3、4场获胜，第2、3、4场获胜三种情况，分别出每种情况的概率，并求和即可．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
17.【答案】解：
当
时，
，
，，
由
①可知，
当时，②，
①-②得：，
即，
因为数列各项均为正数，
所以，
又因为，
所以数列为等差数列，公差、首项均为1，
所以
由得，，
，
；
令，
则
【解析】由与关系得数列为等差数列，进而结合通项公式求解即可；
结合题意得，，，，进而
，再求和即可．
本题考查数列的通项公式以及数列的前n项和求解，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：该地人群中卫生习惯良好的概率为
则，
，
，
，解得，，故，
不够良好良好
总计
患有该病ka kb
未患该病kc kd
总计
，
故
【解析】
利用条件概率和全概率公式计算即可；
先作出样本容量提高k 倍后的二联表，依据公式计算卡方即可．本题主要考查独立性检验公式，属于中档题．19.【答案】解：
，
，即
，
由正弦定理得
，
，
即
，
，则
，故
，
即
，也即
，
，
由知，B ，C 均为锐角，即有，
，
故，
又
，
，当且仅当
时，等号成立．
故的最大值为
【解析】
结合条件，利用正弦定理进行边角转化即可求出结果；利用
结果，得到
，再利用重要不等式即可得出结果．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，三角恒等变换的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.
【答案】证明：因为四边形为菱形，所以，
又因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，，
所以平面，
又平面，所以，
又，AC、平面，所以平面，
又平面，所以
解：l上存在点P，使与平面ABP所成角的正弦值为，且
理由如下：
取中点D，连接AD，因为，所以，
又，所以为等边三角形，所以，
因为，所以，
又平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，
以A为原点，以，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
使与平面ABP所成角的正弦值为，
设，
则，所以，
设为平面ABP的一个法向量，则，
即，
又，则，可取，
又，所以，
即，解得，此时，
因此l上存在点P，使与平面ABP所成角为，且
【解析】先证线面垂直即平面，再证线线垂直即可；
假设存在，取中点D，证平面ABC，建立空间坐标系，设，利用空间向量计算线面角，待定系数解方程即可．
本题主要考查空间中的垂直关系，空间向量及其应用，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．21.【答案】解：抛物线：过点，可得，
所以抛物线方程，焦点为，
设直线，设，
由，得，
直线l与抛物线有两个交点A，B，所以①，
得，，
于是
，
解得，直线l的方程为，
原点O到直线l距离，
的面积为
已知O，M的坐标分别为，，抛物线方程，
假设抛物线上存在点且，满足题意，
设经过O，M，N三点的圆的方程为，
则，
解得，
，则，抛物线在点处的切线的斜率为t，
经过O，M，N三点的圆C在点处的切线斜率为t，
，直线NC的斜率存在．
圆心的坐标为，，
即，又，得，
解得，，，满足，
故满足题设的点N存在，其坐标为
【解析】先求抛物线方程，设直线l的方程，联立抛物线方程，由弦长公式可得斜率，再由点到直线的距离公式和三角形面积公式，即可求解；
设点且，然后代入圆的一般方程求解的圆心坐标，利用导数求在点N处的切线斜率，然后由切线斜率与的关系列方程，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，化归转化思想，方程思想，属难题．
22.【答案】解：，
，
设，，
当时，恒成立，
在R上单调递增，
又，，
，，，，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
令，所以，
即，，为单调递增，，，为单调递减，
又，恒成立，
，
即，，
令，，即为单调递增，
又，当时，
即，当时，，即，
当时由第一问可知不符合题意，
当时，若，
，
当时，，为单调递减，不符合题意，
当时，若，同理可得，
当时，，为单调递减，不符合题意，
当时，，
即，设，所以，
当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
当，；
当时，，
所以，为单调递减，所以，
所以，即在上单调递增，
综上所述，
【解析】首先求，令，可求，再讨论导函数正负即可求出单调区间．
本题利用函数的两种常见放缩形式，首先证明，即，，令
，即证当时，时，然后对参数a及定义域x分类讨论，使成立，即可求出a值．
本题考查了导数的综合应用，解题过程中注意超越方程求解以及分类讨论思想的应用，属于难题．。