微专题20 分段函数问题(解析版)

微专题20 分段函数问题
【题型归纳目录】 题型一：函数三要素的应用 题型二：函数性质与零点的应用 题型三：分段函数的复合
题型四：特殊分段函数的表示与应用 【典型例题】
题型一：函数三要素的应用
例1．已知函数223,0
()2,0
x x x f x x x x ⎧+=⎨-<⎩，若f （a ）()2f a f --（1），则a 的取值范围是( )
A ．[0，8]
B ．[8，)+∞
C ．(-∞，8]
D ．[8-，8]
【解析】解：
f （1）4=，
f ∴（a ）()8f a --，
当0a =时，满足条件；
0a >时，223[()2]6a a a a +--+-，
整理得：8a ， (0a ∴∈，8]
0a <时，222[()3]8a a a a ----，
整理得：8a ， (,0)a ∴∈-∞
综上可得：(a ∈-∞，8] 故选：C ．
例2．已知函数22
,0
(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩
，若()f a f -+（a ）2f （1），则a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1][1，)+∞ B ．[0，1] C ．[1-，0] D ．[1-，1]
【解析】解：
22
,0
(),0x x e x x f x e x x -⎧+=⎨+<⎩
， ()f x ∴为偶函数，
()f a f -+（a ）2f （1）， 2f ∴（a ）2f （1）， f ∴（a ）f （1）
，
当0x 时，函数()f x 为增函数， ||1a ∴，
11a ∴-，
故选：D ．
例3．设函数22,0,(),0.
x x x f x x x ⎧+<=⎨-⎩若(f f （a ）)2，则实数a 的取值范围是( )
A ．[2-，)+∞
B ．(-∞，2]-
C ．(-∞2]
D ．(2)+∞
【解析】解：()y f x =的图象如图所示，
(f f （a ）)2，f ∴（a ）
2-，由函数图象可知2a ．
故选：C ．
变式1．当函数2,1()6
6,1x x f x x x x ⎧⎪
=⎨+->⎪
⎩
取得最小值时，(x = ) A 6B ．26C 66 D ．266
【解析】解：当1x 时，2()0f x x =； 当1x >时，66
()626266f x x x x x
=+--=
， 当且仅当6
x x
=
，即6x 时等号成立． 2660<，∴函数2,1()6
6,1x x f x x x x ⎧⎪
=⎨+->⎪
⎩
取得最小值为266， 对应的x 6． 故选：A ．
变式2．已知函数()1f x x =-+，0x <，()1f x x =-0x ，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集( )
A ．{|21}x x
-
B ．{|12}x x +
C ．{|12}x x <+
D ．{|12}x x >
【解析】解：当10x +<即1x <-时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 (1)[(1)
1]1x x x ++-++即21x -
此时1x <-
当10x +即1x -时，不等式(1)(1)1x x f x +++同解于 2210x x +-
解得1221x --
此时121x
--
总之，不等式的解集为{|21}x x -
故选：A ．
变式3．已知23,0
()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -= ．
【解析】解：根据题意，23,0
()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩
为奇函数，
则(1)(1)g f f -=-=-（1）(13)2=--=， 则((1))f g f -=（2）431=-=-， 故答案为：1．
变式4．若函数3,0()(3),0
log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，则f （9）= ，[g f （3）]= ，1
[()]9f f = ．
【解析】解：
3,
0()(3),0
log x x f x f x x >⎧=⎨+⎩，2()g x x =，
f ∴（9）3lo
g 92==，
[g f （3）3](log 3)g g ==（1）211==， 311
[()](log )(2)99
f f f f f ==-=（1）3lo
g 10==．
故答案为：2；1；0
变式5．已知函数10
()1
x x f x x x -+<⎧=⎨
-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 ． 【解析】解：由题意22&,1
(1)(1)2&,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩
当0x <时，有21x -恒成立，故得0x < 当0x 时，221x x +，解得2121x
-，故得021x
-
综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(21]-∞- 故答案为(-∞21]．
变式6．设2,||1
(),||1x x f x x x ⎧=⎨<⎩
，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，)+∞，则()g x 的值域是 ．
【解析】解：在坐标系中作出函数()211
11x x x f x x x ⎧-=⎨-<<⎩
或的图象，
观察图象可知，当纵坐标在[0，)+∞上时，横坐标在(-∞，1][0-，)+∞上变化， ()f x 的值域是(1,)-+∞，而(())f g x 的值域是[0，)+∞， ()g x 是二次函数
()g x ∴的值域是[0，)+∞．
故答案为：[0，)+∞． 题型二：函数性质与零点的应用
例4．已知函数7(13)10,7
(),7x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩
是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是(
)
A ．11
(,)32
B ．1
(3，6]11
C ．12[,)23
D ．16(,]211
【解析】解：若()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数， 则满足77011307(13)101a a a a a -<<⎧⎪
-<⎨⎪-+=⎩
，
即0113611
a a a ⎧
⎪<<⎪
⎪
>⎨⎪
⎪⎪
⎩，即16311a <，
故选：B ．
例5．已知函数6(13)10,6
(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩
是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是(
) A ．15
(,)38
B ．15(,]38
C ．1(,1)3
D ．16(,]311
【解析】解：函数6(13)10,6
(),6x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩，()f x 是定义域(,)-∞+∞上的单调递减函数，
则满足130
01681a a a -<⎧⎪
<<⎨⎪-⎩
，
解得1538
a <，
故选：B ．
例6．函数21,0()(1),0ax
ax x f x a e x ⎧+=⎨-<⎩
在R 上单调，则a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞ B ．(1，2] C ．(,2)-∞ D ．(,0)-∞
【解析】解：()f x 在R 上单调； ①若()f x 在R 上单调递增，则： 200
1
01(1)a a a a e >⎧⎪
>⎨⎪+-⎩
； 12a ∴<；
②若()f x 在R 上单调递减，则： 0
1a a <⎧⎨>⎩
； a ∴∈∅；
a ∴的取值范围为(1，2]．
故选：B ．
变式7．已知221,0()(1),0x x x f x f x x ⎧--+<=⎨-⎩
，则()y f x x =-的零点有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】解：当0x 时，()(1)f x f x =-，
()f x ∴在0x 的图象相当于在[1-，0)的图象重复出现是周期函数， [1x ∈-，0)时，22()21(1)2f x x x x =--+=-++
对称轴为1x =-，顶点坐标为(1,2)-． 画出函数()y f x =与y x =的图象如图：
则()y f x x =-的零点有2个． 故选：B ．
变式8．已知定义在R +上的函数33103()13949log x x f x log x x x x ⎧-<⎪
=-<⎨⎪
>⎩，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f
（a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围为 ． 【解析】解：作出()f x 的图象如图： 当9x >时，由()40f x x ==，得16x =， 若a ，b ，c 互不相等，不妨设a b c <<， 因为f （a ）f =（b ）f =（c ），
所以由图象可知039a b <<<<，916c <<， 由f （a ）f =（b ），得331log log 1a b -=-， 即33log log 2a b +=，即3log ()2ab =， 则9ab =，所以9abc c =， 因为916c <<， 所以819144c <<， 即81144abc <<，
所以abc 的取值范围是(81,144)． 故答案为：(81,144)．
变式9．已知函数3||,03
()13,3
log x x f x x x <⎧⎪=⎨+>⎪⎩，设a ，b ，c 是三个互不相同的实数，满足f （a ）f =（b ）f
=（c ），则abc 的取值范围为 ．
【解析】解：作出函数3||,03()13,3log x x f x x x <⎧⎪
=⎨+>⎪⎩
的图象如图，
不妨设a b c <<，则3423c <<+
由f （a ）f =（b ），得33|log ||log |a b =，即33log log a b -=， 3log ()0ab ∴=，则1ab =，
abc ∴的取值范围为(3,423)+．
故答案为：(3,423)+．
变式10．已知()f x 在R 上是奇函数，且当0x <时，2()f x x x =+，求函数()f x 的解析式． 【解析】解：当0x >时，0x -<， 0x <时，2()f x x x =+，
22()()()f x x x x x ∴-=-+-=-， 又()f x 为奇函数，
22()()()f x f x x x x x ∴=--=--=-+，
∴当0x >时，2()f x x x =-+，
又(0)0f =符合上式，
综上得，22,0
(),0x x x f x x x x ⎧-<=⎨-+⎩
．
变式11．已知函数()(0)h x x ≠为偶函数，且当0x >时，2
,04
()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩
，若()h t h >（2），求实数t 的
取值范围．
【解析】解：函数()(0)h x x ≠为偶函数，
且当0x >时，2
,04
()442,4x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩
，
当4x >时，()42h x x =-递减，且()4h x <-，
当04x <时，2
()4
x h x =-递减，且()[4h x ∈-，0)，
且0x >，()h x 连续，且为减函数， ()h t h >（2）
，可得(||)h t h >（2）， 即为||2t <，且0t ≠， 解得22t -<<，且0t ≠，
则t 的取值范围是(2-，0)(0⋃，2)． 题型三：分段函数的复合
例7．设函数,0
(),0
x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x ma m a =+，
则正实数m 的最小值是( ) A ．
12
B ．1
C ．
32
D ．2
【解析】解：由已知条件知：2220ma m a +>，
∴若0x ，则()0x f x e =>，(())0x f f x lne x ∴==，∴这种情况不存在，
若01x <，则()0f x lnx =，(())1lnx f f x e x ∴==，1x >时，()0f x lnx =>，(())()f f x ln lnx R =∈，
∴只有(())1f f x >，即2221ma m a +>时，对任意给定的(1,)a ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足
22(())2f f x ma m a =+，
(1,)a ∈+∞，221m m ∴+，即2210m m +-，0m >，∴解得12
m
， ∴正实数m 的最小值是
12
． 故选：A ．
例8．已知函数12,1()2,1
x x
x f x x x --⎧⎪
=⎨⎪<⎩，2()2g x x x =-，若关于x 的方程[()]f g x k =有四个不相等的实根，则实
数(k ∈ ) A ．1
(2
，1)
B ．1
(4
，1)
C ．(0,1)
D ．(1,1)-
【解析】解：对于函数12,1()2,1
x x
x f x x x --⎧⎪
=⎨⎪<⎩，
当1x 时，()f x 单调递减且1()1f x -<； 当1x <时，()f x 单调递增且0()1f x <<； 故实数k 一定在区间(0,1)之间， 若
2()()g x k g x -=；则可化为22
()21g x x x k
=-=
+； 显然有两个不同的根，
若()12g x k -=，则22()21log g x x x k =-=+； 故△2444log 0k =++>； 即1
4
k >
； 综上所述，实数1
(,1)4
k ∈；
故选：B ．
例9．已知函数1|(1)|,1()21,1
x ln x x f x x -->⎧=⎨+⎩，则方程3
(())2[()]04f f x f x -+=的实根个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】解：设()f x t =，可得 3
()2()04
f t t -+=，
分别作出()y f x =和3
22
y x =+的图象， 可得它们有两个交点，
即方程3
()2()04
f t t -+=有两根，
一根为10t =，另一个根为2(1,2)t ∈， 由()0f x =，可得2x =； 由2()f x t =，可得x 有3个解，
综上可得方程3
(())2[()]04
f f x f x -+=的实根个数为4．
故选：B ．
变式12．（多选题）已知函数2
1,0
()log ,0kx x f x x x +⎧=⎨>⎩下列是关于函数[()]1y f f x =+的零点的判断，其中正
确的是( )
A ．在(1,0)-内一定有零点
B ．在(0,1)内一定有零点
C ．当0k >时，有4个零点
D ．当0k <时，有1个零点
【解析】解：令[()]10f f x +=得，[()]1f f x =-，令()t f x =，则()1f t =-， ①当0k >时，作出函数()f x 的草图如下，
由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，20t <，
由1()f x t =可知，此时有两个解，由2()f x t =可知，此时有两个解，共4个解，即[()]1y f f x =+有4个零点； ②当0k <时，作出函数()f x 的草图如下，
由图象可知，此时()1f t =-的解满足101t <<，
由1()f x t =可知，此时有1个解，共1个解，即[()]1y f f x =+有1个零点； 综上，选项BCD 正确． 故选：BCD ．
变式13．（多选题）设函数||,0
()(1),0x lnx x f x e x x >⎧=⎨+⎩
，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 可取的值可
能是( ) A ．0
B ．1
3
C ．
12
D ．1
【解析】解：函数()()g x f x b =-有三个零点，则函数()()0g x f x b =-=，即()f x b =有三个根， 当0x 时，()(1)x f x e x =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+， 由()0f x '<得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数， 由()0f x '>得20x +>，即20x -<<，此时()f x 为增函数， 即当2x =-时，()f x 取得极小值2
1(2)f e -=-， 作出()f x 的图象如图： 要使()f x b =有三个根， 则01b <， 故选：BCD ．
变式14．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足22
,2()2322,02
x f x x x x x ⎧>⎪
=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是(
)
A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根
B ．当1211x x -<<<时，但有12()()f x f x >
C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5
[1,]2
a ∈
D ．若关于x 的方程3()2f x =
和()f x m =的所有实数根之和为零，则32
m =-
E ．对任意实数k ，方程()2f x kx -=都有解 【解析】解：因为该函数为奇函数， 所以，2
22
,(2)2322,(20)()0,(0)22,(02)2
,(2)23
x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----<⎪⎪
==⎨⎪-+<⎪⎪>⎪-⎩，
该函数图象如下：
对于A ；如图所示直线与该函数图象有7个交点，故A 正确； 对于B ；当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；
对于C ；直线1y =，与函数图象交于(1,1)，5(2，1，)，故当()f x 的最小值为1时，[1a ∈，5
]2
，故C 正确；
对于D ；3()2f x =
时，若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，则32m =-，或3
17
m =-，故D 错误； 对于E ；当2k =-时，函数()f x 与2y kx =+没有交点．故E 错误． 故选：AC ．
变式15．（多选题）已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22
,2()2322,02
x f x x x x x ⎧>⎪
=-⎨⎪-+<⎩，下列叙述正确的是
( )
A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根
B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >
C ．若当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则5
[1,]2
a ∈
D ．若关于x 的方程3()2f x =
和()f x m =的所有实数根之和为零，则32
m =- 【解析】解：函数()f x 是奇函数，
∴若2x <-，则2x ->，则2
()()23
f x f x x -=
=---，
则2
()23
f x x =
+，2x <-． 若20x -<，则02x <-，则2()22()f x x x f x -=++=-， 即2()22f x x x =---，20x -<， 当0x =，则(0)0f =． 作出函数()f x 的图象如图：
对于A ，联立2
22
y kx
y x x =⎧⎨=-+⎩，得2(2)20x k x -++=， △22(2)844k k k =+-=+-，存在1k <，使得△0>，
∴存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根，故A 正确；
对于B ，当1211x x -<<<时，函数()f x 不是单调函数，则12()()f x f x >不成立，故B 不正确； 对于C ，当5
2
x =
时，52()152232
f =
=⨯-，
则当(0x ∈，]a 时，()f x 的最小值为1，则[1a ∈，5
]2
，故C 正确；
对于D ，函数()f x 是奇函数，若关于x 的两个方程3
()2
f x =
与()f x m =所有根的和为0， ∴函数3
()2
f x =
的根与()f x m =根关于原点对称， 则3
2
m =-，
但0x >时，方程3
()2
f x =
有3个根， 设分别为1x ，2x ，3x ，且12302x x x <<<<， 则有
23232x =-，得136x =，即313
6
x =， 122x x +=，则三个根之和为1325
266
+
=， 若关于x 的两个方程3
()2
f x =与()f x m =所有根的和为0， 则()f x m =的根为25
6-
，此时25263()2561682()36
m f =-=
=-=-⨯-+，故D 错误， 故选：AC ．
变式16．已知函数2,0,
()1,0,x k x f x x x -+<⎧=⎨-⎩
其中0k ．
①若2k =，则()f x 的最小值为 ；
②关于x 的函数(())y f f x =有两个不同零点，则实数k 的取值范围是 ． 【解析】解：①若2k =，则22,0
()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩
，
作函数()f x 的图象如下图所示，
显然，当0x =时，函数()f x 取得最小值，且最小值为(0)1f =-． ②令()m f x =，显然()0f m =有唯一解1m =，
由题意，()1f x =有两个不同的零点，由图观察可知，1k <， 又0k ，则实数k 的取值范围为01k <． 故答案为：1-；[0，1)． 题型四：特殊分段函数的表示与应用
例10．对a ，b R ∈，记{max a ，()
}()
a a
b b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数(){|1|f x max x =+，2}()x x R ∈的最小值是( )
A 35
- B 35
+ C 15
+D 15
-【解析】解：当2|1|x x +，即21x x +或21x x +-， 1515
2
x
-+时， (){|1|f x max x ∴=+，2}|1|1x x x =+=+，函数()f x 单调递减，1535
()(min f x f --==
， 当15x -<(){|1|f x max x =+，22}x x =，函数()f x 单调递减，1535
()(min f x f --=， 当15x +2()f x x =，函数()f x 单调递增，1535
()(min f x f ++== 综上所述：35
()min f x -= 故选：A ．
例11．已知符号函数1,0
()0,01,0
x sgn x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，1()()3x f x =，()()()g x f kx f x =-，其中1k >，则下列结果正确的
是( )
A ．(())()sgn g x sgn x =
B ．(())()sgn g
x sgn x =-
C ．(())(())sgn g x sgn f x =
D ．(())(())sgn g x sgn f x =-
【解析】解：符号函数1,0
()0,01,0
x sgn x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，1()()3x f x =，
11
()()()()()33kx x g x f kx f x ∴=-=-，其中1k >，
11
(())[()()]33kx x sgn g x sgn ∴=-，
当0x >时，kx x >，11
()()033kx x -<，
11
(())[()()]133
kx x sgn g x sgn =-=-，()1sgn x =；
当0x =时，0kx x ==，11
()()033
kx x -=，
(())0sgn g x =，()0sgn x =；
当0x <时，kx x <，11
()()033kx x ->，
11
(())[()()]133
kx x sgn g x sgn =-=，()1sgn x =-．
(())()sgn g x sgn x ∴=-．
故选：B ．
例12．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x A
f x x A ∈⎧=⎨∉⎩
对于任意的集合A 、B U ⊂，下列说法错误的是(
)
A ．若A
B ⊆，则()()A B f x f x ，对于任意的x U ∈成立 B ．()()()A B A B
f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立 C ．()()()A B A
B
f x f x f x =，对于任意的x U ∈成立
D ．若U
A B =
，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立
【解析】解：对于A ，因为A B ⊆，若x A ∈，则x B ∈， 因为1,1,()0,0,A U x A
x A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩， 1,()0,B U x B
f x x B
∈⎧=⎨∈⎩，
而U
A 中可能有
B 中的元素， 但
U
B 中不可能有A 中的元素，
所以()()A B f x f x ，
即对于任意的x U ∈，都有()()A B f x f x 成立， 故选项A 正确； 对于B ，因为1,()0,()A
B
U x A B
f x x A B ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩
， 当某个元素x 在A 中且在B 中， 由于它在A
B 中，故()1A
B
f x =，
而()1A f x =且()1B f x =，可得()()()A B A B
f x f x f x ≠+，
故选项B 错误； 对于C ，1,1,0,()0,()
()
A
B
U U U x A B x A B
f x A B x A B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩，
1,1,1,()()0,0,0,()()
A B U U U U x A x B x A B
f x f x x A x B x A B ⎧∈∈∈⎧⎧⎪⋅=⋅=⎨⎨⎨
∈∈∈⎪⎩⎩⎩，
故选项C 正确；
对于D ，因为1,()0,U U A x A
f x x A ∈⎧=⎨∈⎩，
结合1,1,()0,0,A U x A
x A f x x A x A ∈∈⎧⎧==⎨⎨∈∉⎩⎩
， 所以()1()B A f x f x =-， 即()()1A B f x f x +=， 故选项D 正确． 故选：B ．
变式17．定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x A
f x x C A ∈⎧=⎨
∈⎩
，这里
U
A 表示集合A 在全集U 中的补集，
已A U ⊆，B U ⊆，给出以下结论中不正确的是( ) A ．若A B ⊆，则对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x B ．对于任意x U ∈，都有()1()U C A A f x f x =-
C ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A B
f x f x f x =
D ．对于任意x U ∈，都有()()()A B A B
f x f x f x =
【解析】解：由题意，可得
对于A ，因为A B ⊆，可得x A ∈则x B ∈，
1,()0,A U x A f x x C A ∈⎧=⎨∈⎩，1,()0,B U x B
f x x C B ∈⎧=⎨∈⎩
，
而
U
A 中可能有
B 的元素，但
U
B 中不可能有A 的元素
()()A B f x f x ∴，
即对于任意x U ∈，都有()()A B f x f x 故A 正确； 对于B ，因为1,0,U U C A x C A
f x A ∈⎧=⎨∈⎩
，
结合()A f x 的表达式，可得1()U C A A f f x =-，故B 正确； 对于C ，1,1,()0,()0,()
()
A B
U U U x A B x A B
f x x C A B x C A C B ⎧⎧∈∈⎪⎪==⎨⎨∈∈⎪⎪⎩⎩
1,1,()()0,0,A B U U x A
x B
f x f x x C A
x C B ∈∈⎧⎧==⎨
⎨
∈∈⎩⎩
， 故C 正确； 对于D ，1,()0,()
A
B
U x A B f x x C A
B ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩
当某个元素x 在A 中但不在B 中，由于它在A B 中，故()1A
B
f x =，
而()1A f x =且()0B f x =，可得()()()A B A B
f x f x f x ≠
由此可得D 不正确． 故选：D ．
变式18．对a ，b R ∈，记,(,),a a b
max a b b a b ⎧=⎨<⎩
，函数()(|1|f x max x =+，|2|)()x x R -∈的最小值是 ．
【解析】解：由题意得， ()(|1|f x max x =+，|2|)x - 11,212,2
x x x x ⎧
+⎪⎪=⎨⎪-<
⎪⎩，
故当12x =
时，()f x 有最小值13
()22
f =， 故答案为：
3
2
． 变式19．对a ，b R ∈，记{max a ，,},a a b b b a b
⎧=⎨<⎩，函数(){|1|f x max x =+，||}()x m x R -∈的最小值是3
2，
则实数m 的值是 ．
【解析】解：函数(){|1|f x max x =+，||}x m - |1|,|1|||||,|1|||x x x m x m x x m ++-⎧=⎨-+<-⎩
， 由()f x 的解析式可得，11
()()22
m m f x f x --+=-， 即有()f x 的对称轴为12
m x -=， 则113
(
)||222
m m f -+==， 解得2m =或4-， 故答案为：2或4-．
变式20．设函数[],0
()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩
，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=，
若直线10(0)x ky k -+=>与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． 【解析】解：画出函数[],0
()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩
和函数1
()x g x k
+=
的图象， 若直线1(0)ky x k =+>与函数()y f x = 的图象恰有两个不同的交点， 结合图象可得：1
PA PC k k k
<， 112(1)3PA k =
=--，11
1(1)2PC k ==--，
故
111
3
2
k <，求得23k <， 故答案为：23k <．
【过关测试】 一、单选题
1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）若函数()22,1
4,1x t x f x tx x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则t
的最大值为（ ） A ．3
2
B ．53
C ．74
D ．95
【答案】B
【解析】当1x ≤-时，2()2f x x t =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x tx =+也为增函数，所以
0124t t t >⎧⎨
-+≤-+⎩，解得503t <≤.故t 的最大值为5
3， 故选：B.
2．（2022·云南师大附中高一期中）已知函数()()e e,1
ln 21,1x
x f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩
，若关于x 的不等式
()()21f ax f ax <+的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．()()2,11,4--⋃-
B ．()()1,22,4-
C ．[)1,2-
D ．[)0,4
【答案】D
【解析】当1x <时，()e e x f x =-在(),1-∞上单调递增且()()e e 10x
f x f =-<=；
当1x ≥时，()()ln 21f x x =-在[)1,+∞上单调递增且()()()ln 2110f x x f =-≥=； 所以()f x 在R 上单调递增，
又由()()2
1f ax f ax <+，则有21ax ax <+，
由题，可知210ax ax -+>的解集为R ，
当0a =时，20010x x ⋅-⋅+>恒成立，符合题意；
当0a ≠时，则有2
Δ40
a a a >⎧⎨=-<⎩， 解不等式组，得04a <<；
综上可得，当[)0,4a ∈时，210ax ax -+>的解集为R . 故选：D.
3．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知函数()()2
3++2,<1
=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．()0,3
B ．1,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．2,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】因为函数()()2
3++2,<1
=+,1a x a x f x ax x x --≥⎧⎨⎩在(),-∞+∞上单调递减， ∴3<0>011221+1
a a a a a -≤-≥-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，
解得
2
33
a ≤<， 即a 的取值范围是2,33⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
故选：C.
4．（2022·山东省青岛第五十八中学高一期中）已知数学符号{}max ,a b 表示取a 和b 中最大的数，若对任意R x ∈，函数()231max 3,,4322f x x x x x ⎧⎫
=-++-+⎨⎬⎩⎭
，则()f x 的最小值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】D
【解析】在同一直角坐标系中，画出函数212331
3,,4322
y x y x y x x =-+=
+=-+的图象，根据{}max ,a b 的定义，可得()f x 的图象（实线部分），由()f x 的图象可知，当=1x 时，()f x 最小，且最小值()12f =， 故选：D
5．（2022·山西太原·高一阶段练习）设()()2,0=1+++4,>0x a x f x x a x x
-≤⎧⎪
⎨⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围
为（ ） A ．[]0,3 B ．()0,3 C ．(]0,3 D ．[)0,3
【答案】A
【解析】当0x >时，由基本不等式可得()11
4246f x x a x a a x x
=+++≥⋅+=+， 当且仅当=1x 时，等号成立；
当0x ≤时，由于()()0f x f ≥，则0a ≥，
由题意可得()()2
min 06f x f a a ==≤+，即260a a --≤，解得23a -≤≤，故03a ≤≤.
因此，实数a 的取值范围是[]0,3. 故选：A.
6．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数()()2
2,f x x g x x =-+=，令
()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（ ）
A ．1<2x x -⎧
⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭
B ．{<1x x -或71<<4x ⎫
⎬⎭
C ．11<<22x x -⎧
⎨⎩
或7>4x ⎫⎬⎭
D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫
⎬⎭
【答案】C
【解析】由()()()()()()()
,=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，
联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1
=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，
所以()2
,2
=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩
，
又由()74h x >
可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()7
4
h x >的解
集为{34<<x x x x 或}5>x x
联立2=+27=
4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4
x y ⎧⎪
⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，
联立=7=4y x y ⎧⎪
⎨⎪⎩，解得7
=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，
所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧
⎨⎩
或7>4x ⎫⎬⎭.
故选：C.
.
7．（2022·浙江·高一阶段练习）设函数1,>0
()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪
⎨⎪⎩，则方程2(1)4x f x -=-的解为（ ）
A ．2x =-
B ．3x =-
C ．=2x
D ．=3x
【答案】A
【解析】因为1,>0()=0,=0-1,<0x f x x x ⎧⎪
⎨⎪⎩
，由2(1)4x f x -=-知，
2
-1>0
1=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1=00=-4x x ⋅⎧⎨⎩，2-1<0(-1)=-4x x ⋅⎧⎨⎩
， 解得2x =-. 故选：A ．
8．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数()f x x x =，若对任意[,1]x t t ∈+，不等式()2
4()f x t f x +≤恒成
立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．15
[
-- B ．15
-+ C ．1515
[
---+ D ．15[-+ 【答案】B
【解析】()2
2,0
,0
x x f x x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，
因为2y
x 在0x ≥上单调递增，2y x =-在0x <上单调递增，
所以()f x x x =在R 上单调递增，
因为)24(2)4(2x x x x x x f f ===，且()2
4()f x t f x +≤，
所以()
2
(2)f x t f x +≤，所以22x t x +≤，即()2
22110x x t x t -+=-+-≤在[,1]x t t ∈+恒成立，
所以()()22
201210t t t t t t ⎧-+≤⎪⎨+-++≤⎪⎩即22010t t t t ⎧-≤⎪⎨+-≤⎪
⎩，解得15
0t -+≤≤， 所以实数t 的取值范围是15
-+， 故选：B
9．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）已知函数()21
,=,2
x c f x x
x x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩ ，若()f x 值域为1,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（ ） A ．11,2⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
B ．1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
C ．11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D ．[)1,-+∞
【答案】A
【解析】当=2x 时，()()2
21112422,244f f x x x x ⎛
⎫=-==-=--≥- ⎪⎝
⎭，
()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦
当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时1
2c ≤-，由()22f x x x =-=，得
220x x --=，得=2x 或=1x -，此时1
12
c -≤≤-
，
综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦，
故选：A 二、多选题
10．（2022·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）我们用符号min 示两个数中较小的数，若x ∈R ，
(){}2min 2,f x x x =-，则()f x （ ）
A ．最大值为1
B ．无最大值
C ．最小值为1-
D ．无最小值
【答案】AD
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数22y x =-，y x =的图象，如图：
根据题意，图中实线部分即为函数()f x 的图象. 由22x x -=，解得12x =-，21x =，
所以()222,2,212,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪
=-<≤⎨⎪->⎩
，
∴当1x =时，()f x 取得最大值，且()max 1f x =，
由图象可知()f x 无最小值， 故选：AD.
11．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a b
a b b a b ≤⎧=⎨>⎩
，若函数
{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则区间[,]m n 长度可以是
（ ）
A ．74
B ．72
C ．
114
D ．1
【答案】AD
【解析】令2
3333x x x -+≤--+①，
当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求， 当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<， 所以不等式①的解为13x ≤≤；
由上可得，不等式2
3333x x x -+>--+的解为1x <或3x >， 所以()233,13
33,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩
或，
令2
3334x x -+=
，解得32x =，令2
7334
x x -+=，解得52x =或12， 令3334x --+=
，解得34x =或21
4，令7334x --+=，解得74x =或174
，
所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为7
4
.
故选：AD.
12．（2022·四川省宣汉中学高一阶段练习）设函数()y f x =的定义域为R ，对于任意给定的正数m ，定义
函数(),()(),()m f x f x m f x m f x m ≥⎧=⎨<⎩，若函数()2211f x x x =-++，则下列结论正确的是（ ）
A ．()338f =
B ．()3f x 的值域为[]3,12
C ．()3f x 的单调递增区间为[]2,1-
D ．()31f x +的图像关于原点对称
【答案】ABC
【解析】由22113x x -++≥， 解得：24x -≤≤，
故23211,24
()3,42x x x f x x x ⎧-++-≤≤=⎨><-⎩
或，
A ．23(3)323118f =-+⨯+=，本选项符合题意；
B ．当24x -≤≤时，2321112x x ≤-++≤； 当42x x -或><时，3()3f x =， 故值域为[3,12]，本选项符合题意；
C ．当24x -≤≤时，23()211f x x x =-++，图像开口向下，对称轴为1x =， 故3()f x 在[]2,1-上单调递增，本选项符合题意；
D ．2312,33
(1)3,33
x x y f x x x ⎧-+-≤≤=+=⎨><-⎩或，故函数3(1)y f x =+为偶函数，本选项不符合题意．
故选：ABC ．
13．（2022·福建·厦门双十中学高一阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数()f x ，存在一个点0x ，使()00=f x x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，0x 为函数的不动点，则下列说法正确的（ ）
A ．()1
f x x x -=为“不动点”函数
B ．()253f x x x -=+的不动点为2±
C ．()221,1
=2,>1x x f x x x ≤⎧-⎪⎨-⎪⎩
为“不动点”函数
D ．若定义在R 上有且仅有一个不动点的函数()f x 满足()()
()22
f f x x x f x x x --+=+，则
()2+1f x x x -= 【答案】ABC
【解析】对于A ，令()f x =x ，得1x x x -=，解得2x =22f =⎝⎭
（有一个满足足矣），所以()1
f x x x
-=为“不动点”函数，故A 说法正确；
对于B ，令()f x =x 253x x x -+=253x +=，即259x +=，解得2x =±，即()22f =和
()22f -=-，所以()253f x x x -=+的不动点为2±，故B 说法正确；
对于C ，当1x ≤时，()2
21f x x -=，令()f x =x ，得221x x -=，解得12
x =-或=1x ；
当1x >时，()2f x x -=，令()f x =x ，得2x x -=，即2x x -=±，解得=1x （舍去）； 综上：1122f ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
和()11f =，所以()f x 为“不动点”函数，故C 说法正确；
对于D ，不妨设该不动点为t ，则()f t t =，
则由()()()22f f x x x f x x x --+=+得()()()22f f t t t f t t t --+=+，即()
22
++f t t t t t t --=，整理得
()
2222f t t t t --+=+，
所以22t t -+也是()f x 的不动点，故22t t t -+=，解得=0t 或1t =-，即0,1都是()f x 的不动点，与题设矛盾，故D 说法错误. 故选：ABC 三、填空题
14．（2022·广东·高一期中）已知函数(2),1(),1a
a x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩
是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】)1,2⎡⎣
【解析】由已知，函数(2),1
(),1
a
a x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩是定义为在R 上的增函数， 则(2)y a x =-为单调递增函数，a y x =为单调递增函数，且(2)11a a -⨯≤，
所以20021a a a ->⎧⎪
>⎨⎪-≤⎩，解得12a ≤<，
所以a 的取值范围是：)1,2⎡⎣. 故答案为：)1,2⎡⎣.
15．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）若函数222,0
(),0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=
__________. 【答案】1-
【解析】利用奇函数的定义()()f x f x -=-，求．
当0x <时，则0x ->，所以222()2()()f x x ax f x bx x bx x -=-=-=-+=--， 所以2b =-，1a =，即2,1b a =-= 故1a b +=-． 故答案为：1-．
16．（2022·安徽淮南·高一阶段练习）若函数()()2
,1
13,1
ax x x f x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对1x ∀，2x ∈R ，且12x x ≠，都
有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．
【答案】21,52⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】根据题意，任意实数12x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 是R 上的减函数，则分段
函数的每一段单调递减且在分界点处113a a a -≥--，所以0112130
113a a a a a a ≥⎧⎪-⎪-≥⎪⎨⎪-<⎪-≥--⎪⎩，解得21
52a ≤≤，所以实数a
的取值范围是21,52⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
故答案为：21,52⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
17．（2022·广东·深圳市高级中学高一期中）已知()2
2f x x x =-，()1g x x =+，令
()()(){}max ,M x f x g x =，则()M x 的最小值是___________.
513
- 【解析】令221x x x -≥+，解得313x +≥
313
x -≤ 则()()(){}2313313
2,max ,313313x x x x M x f x g x x x ⎧+--≥
⎪⎪==⎨-+⎪+<<⎪⎩
，
当313x +≥313x -≤()min 313513M x M --==⎝⎭
， 313313x -+<<
513
- 513
- 513
- 四、解答题
18．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习）已知函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<12+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪
⎨⎪⎩
.
(1)求12f f ⎛
⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
； (2)若()2f a =，求a 的值；
【解析】（1）函数()f x 的解析式()3+5,0=+5,0<<1
2+8,>1
x x f x x x x x ≤-⎧⎪
⎨⎪⎩． 11
11522
2f ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，
11111283222f f f ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭；
（2）因为()3+5,0
=+5,0<<1
2+8,>1x x f x x x x x ≤-⎧⎪
⎨⎪⎩且()2f a =，
所以3+5=2
0a a ≤⎧⎨⎩
，解得1a =-；
或+5=20<<1
a a ⎧⎨⎩，解得3a =-（舍去）； 或2+8=2>1a a -⎧⎨⎩
，解得=3a .
综上：1a =-或=3a ．
19．（2022·浙江·玉环市玉城中学高一阶段练习）（1）已知函数()f x 是一次函数，且满足
()()3+121=2+17f x f x x --，求()f x 的解析式；
（2）已知函数()2
+2,1
=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩
①求()2f ，()()1f f -
②若()3f a =，求a 的值
【解析】（1）设()=+,0f x kx b k ≠，则：()+1=++f x kx b k ，()1=+f x kx b k --，
故()()3++2+=2+17kx b k kx b k x --，即++5=2+17kx b k x ，故=2k ，=7b .
所以()27f x x =+
（2）函数()2+2,1=,1<<22,2x x f x x x x x ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩
，①()2=2?2=4f ，()()()()1=1+2=1=3f f f f --．
②当1a ≤时，()=+2=3f a a ，解得=1a ，成立；
当12a <<时，()2==3f a a ，解得3a =3a =-；
当2a ≥时，()=2=3f a a ，解得3=
2
a （舍去）． 故a 31． 20．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数()22122f x x x a a =
+++，()22122
g x x x a a =-+-，R a ∈．设函数()()()()()()(),,f x f x g x M x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩. (1)若1a =，求()M x 的最小值；
(2)若()M x 的最小值小于52
，求a 的取值范围． 【解析】（1）由题意可得，当
()()f x g x ≥时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=+++--+-=+≥ ⎪⎝⎭，
当()()f x g x <时，()()2222112224022f x g x x x a a x x a a x a ⎛⎫-=
+++--+-=+< ⎪⎝⎭， 所以()()(),2,,2.f x x a M x g x x a ⎧≥-⎪=⎨<-⎪⎩
当1a =时，()2213,2,211, 2.2
x x x M x x x x ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩作出()M x 的图象，如图1： 由图可知()M x 的最小值为()512
f -=．
（2）()222212,2,2
12,2,2x x a a x a M x x x a a x a ⎧+++≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩
且()f x ，()g x 图象的对称轴分别为直线=1x -，1x =．
①如图2，当21a -≤-，即12
a ≥时，()M x 在(),1-∞-上随x 的增大而减小，在()1,-+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x f a a =-=+-，由215222a a +-<，解得31a -<<，故112
a ≤<．
②如图3，当121a -<-≤，即1122a -<≤时，()M x 在(),2a -∞-上随x 的增大而减小，在()2,a -+∞上随x 的
增大而增大，所以()()2min 23M x f a a =-=，则2532a <，解得3030a <<1122a -<≤．
③如图4，当21a ->，即12
a <-时，()M x 在(),1-∞上随x 的增大而减小，在()1,+∞上随x 的增大而增大，所以()()2min 1122M x g a a ==--，由215222a a --<，解得13a -<<，故112
a -<<-． 综上，a 的取值范围为()1,1-．
21．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R 的函数f （x ）满足2(f x f x k k ∈Z)（
）＝（＋）及f （－x ）＝－f （x ），且当()0,1x ∈时2()41x
x f x =+．
(1)求()f x 在[1,1]-上的解析式；
(2)求()f x 在[]21)1,2(k k k Z -+∈上的解析式；
(3)求证：()f x 在区间()0,1上单调递减．
【解析】（1）∵当(1,0)x ∈-时，(0,1)x ， ∴22()()4141x x
x x f x f x --=--=-=-++． 由题意，知(0)0f =，
又()()11f f -=-，()()()1121f f f -=-+=， ∴()()110f f -==，
∴()()
()2,1,0412,0,1410,1,0,1
x
x x
x x f x x x ⎧-
∈-⎪+⎪⎪=∈
⎨+⎪=-⎪⎪⎩
，
（2）当[21,21]x k k ∈-+时，2[1,1]x k -∈-， ∴()
()()22222,21,2412()(2),2,21410,21,2,21
x k
x k x k
x k x k k f x f x k x k k k Z x k k k ----⎧-∈-⎪+⎪⎪=-=∈
+∈⎨+⎪=-+⎪⎪⎩
（3）设任意的1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <， ∵2211221212122(22)(21)
()()4141(41)(4)x x x x x x x x x x f x f x ++---=-=+++，
且21220x x ->，12210x x +->， ∴12()()f x f x >，即()f x 在区间()0,1上单调递减．。