倾斜角与斜率

y A B O C
1− 2 1 = 锐角 −4 −3 7 −1−1 1 =− kBC = 钝角 0 − (−4) 2 −1− 2 =1 kCA = 锐角 0 −3 x 解： 1 kAB = （）
1 （）k ∈[1,+∞)U(-∞,- ] 2 2
一半
3 已知直线ＡＢ ＡＢ的斜率为 例５：已知直线ＡＢ的斜率为 4 ，直线
3π 2
k
−
π
π
α
3π 2
2
α
前进
升 高
2、直线的斜率
一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。 斜率通常用k 表示， 斜率通常用k 表示，即：
α增大而增大，且k ≥0 增大而增大， 增大而增大， （２）当 α ∈(900 ,1800 ) ，k随α增大而增大，且k＜０ 时 0
（１）当 α ∈[00 ,900 ) ，k随 时 注意: 注意:
| QP2 | y2 − y1 = | QP | x2 − x1 1
θ
3、斜率公式 经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式 1
y2 − y1 k= (x1 ≠ x2 ) x2 − x1
公式的特点: 公式的特点: 与两点的顺序无关; (1) 与两点的顺序无关; 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两 直线上任意 (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两 点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 公式不适用,此时α=90 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
k = tanα
(α ≠ 90o )
α = 90 时，k不存在
y = ta nx
y 3 π 2
-
π
−
π
2
1 -1 0
π
2
π
3 π 2
x
DEF 1:关于直线的倾斜角和斜率 其中＿＿＿＿ 关于直线的倾斜角和斜率， 例1:关于直线的倾斜角和斜率，其中＿＿＿＿ 说法是正确的. 说法是正确的. A.任一条直线都有倾斜角 也都有斜率； 任一条直线都有倾斜角， A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大 它的斜率就越大； 直线的倾斜角越大， B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于 轴的直线的倾斜角是0 C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的斜率相等 两直线的斜率相等， D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等 E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).. E.直线斜率的范围是( ，＋∞ 直线斜率的范围是 F. 一定点和一倾斜角可以唯一确定一条直线
α
α
Q
Q θ
P 2
α
O
（1）
X
O
（２）
X
O
（３）
X
（４）
O
X
的方向向上 向上时 １．当直线 P1 P2 的方向向上时：
(1)在 PP 图(1)在 Rt ∆P P2Q 中， = tanα = tan ∠QP P2 = k 1 1
图(2)在 Rt ∆PPQ 中， = tanα = tan(1800 − θ ) = −tanθ (2)在 k 1 2 | QP2 | y2 − y1 y2 − y1 tan = | QP1 | = x1 − x2 = − x − x 2 1 y2 − y1 = y1 − y2 ∴k = tanα = x1 − x2 x2 − x1 y2 − y1 y1 − y2 = 的方向向下 同理也有k = tanα = 向下时 ２．当直线 P1 P2 的方向向下时， x2 − x1 x1 − x2
例题分析
− − • 例2：在直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 1， 1，2， 3 的直线 l1 , l 2 , l 3 , l 4 . y
A3 A1
l3
l1
x
O
A2
l2
A4
l4
例题分析
3 π 2
K = ta α n
k
π
−
π
2
-
-
1 -1 0
π
2
π
α
3 π 2
例3、(1)直线的倾斜角为 α，且 45 ≤ α ≤ 60 (1)直线的倾斜角为 [1, 3] 则直线的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿ 则直线的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿ 。
小结：1.由（）（）得出：若α的范围不含900，则k范围取中间 1 2 若α的范围含900，则k，应将k值分为正负两部分， 再求角范围
（3，2），（-4，1），C（0， 1 ， B −） 例４：已知点 A
(1).求直线AB，BC，CA的斜率 的斜率， (1).求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这 求直线AB 些直线的倾斜角是锐角还是钝角 (2).过点 过点C 与线段ＡＢ有公共点， ＡＢ有公共点 (2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点， 的斜率k 求 l 的斜率k的取值范围
0
0
(2)直线的倾斜角为 (2)直线的倾斜角为 α，且 450 ≤ α ≤ 1350 [1, +∞) U(−∞, − 则直线的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿1] ＿＿＿＿＿＿＿ 则直线的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿ 。 (3)设直线的斜率为k，且 − ≤ k <1 ，则直线 (3)设直线的斜率为k 设直线的斜率为 1 [00 ,450 ) U[1350 ,1800 ) 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿。 的倾斜角α 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿。
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
y y o
l
l y2
x o
l3
Ｐ y o
l1
αx α
l
l
l l
y o α x
α x β
Ｑ O
x
１、直线的倾斜角
轴相交时， 轴为基准， 轴正向与直线 当直线 l 与x轴相交时，我们取 x 轴为基准， x 轴正向与直线 l 轴相交时 向上方向之间所形成的角 叫做直线 的倾斜角。 向上方向之间所形成的角α 叫做直线 l
解：kl = 2k AB 3 3 = 2× = 2 tan α 4 2
错解 × 2
l 的倾斜角是 直线ＡＢ ＡＢ的倾斜角 的两倍， 的斜率． 直线ＡＢ的倾斜角 α的两倍，求直线 l 的斜率．
3 4 = 24 解：k = tan 2α = = 2 1 − tan α 1 − ( 3 ) 2 7 4
2 得： 3 = 2 = 2k ,即 解：由tanα = α 4 1− tan2 α 1− k2 1− tan2 2 2 1 2 3k + 8k −3 = 0, 解得：k1 = 或k2 = −3 （舍） 3
(1)规定：当直线与 轴平行或重合时，倾斜 0o； 规定： x轴平行或重合时， 角为
(2)倾斜角 的取值范围为 o ≤ α < 180o； 0 α
K = tanα
思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？ 思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？ 1 升高量 π π 坡度（比） 02 - = 前进量 -1
的直线的斜率k 探究： 探究：经过两点 p1(x1, y1), p2 (x2 , y2 ) ,且 x1 ≠ x2 的直线的斜率k Y
P(x1, y1) 1
α
Y
α
P (x2, y2 ) 2
Q(x2, y1) Q(x2, y1)
P (x2 , y2 ) 2
θ
Y
P 1 P 2
α
Y
P 1
P(x1, y1) 1
2tan
α
2tan
α
• 课堂小结
１：直线的倾斜角的概念 ２：直线的斜率 ３：斜率公式
y2 − y1 k= (x2 ≠ x1) x2 − x1
k = tanα
α ∈[0 ,180 )
0 0