对数函数及其性质对数定律互化详尽讲解

对数与对数运算
1．对数的观点
一般地，假如 a x＝ N (a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝log a N ，此中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
说明： (1) 实质上，上述对数表达式，可是是指数函数y＝ a x的另一种表达形式，比如：3 4＝ 81 与 4＝ log 3 81 这两个式子表达是同一关系，所以，有关系式a x＝ N? x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N ＝ N .
(2)“ log 〞同“＋〞“×〞“ 〞等符号同样，表示一种运算，即一个数和它的幂求指数
的运算，这种运算叫对数运算，可是对数运算的符号写在数的前面．
(3)依据对数的定义，对数 log a N (a>0 ，且a≠1) 拥有以下性质：①
零和负数没有对数，即 N >0；
② 1 的对数为零，即 log a1 ＝0 ；
③底的对数等于 1 ，即 log a a＝ 1.
2．对数的运算法那么
利用对数的运算法那么，能够把乘、除、乘方、开方的运算转变为对数的加、减、乘、除
运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加速计算速度．
(1)根本公式
①log a(MN )＝ log a M＋ log a N (a>0 ，a≠1 ，M >0 ，N >0) ，即正数的积的对数，等于
同一底数的各个因数的对数的和．
M
② log a＝log a M－log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于
N
被除数的对数减去除数的对数．
③ log a M n＝n·log a M(a>0 ，a≠1，M >0 ，n∈ R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的
对数乘以幂指数．
(2)对数的运算性质注意点
①一定注意M >0，N >0，比如log a[(－3)×(－4)]是存在的，可是log a(－3) 与 log a(－
4) 均不存在，故不可以写成log a[( － 3) ×(－ 4)] ＝ log a(－ 3) ＋ log a(－ 4) ．
M
②防备出现以下错误：log a(M±N )＝ log a M±log a N，log a(M·N)＝ log a M·log a N，log a N log a M
＝log a N， log a M n＝(log
a M )
n. 3．对数换底公式
在实质应用中，常遇究竟数不为10 的对数，怎样求这种对数，我们有下边的对数换底
公式： log b N＝log c N
(b >0 ，且b≠1；c>0 ，且c≠1 ；N >0) ．log c b
证明设 log b N＝x，那么b x＝N .两边取以c为底的对数，
log c N log c N
得 x log c b＝log c N .所以 x＝log c b，即log b N ＝log c b.
换底公式表达了对数运算中一种常用的转变，马上复杂的或未知的底数转变为的或需要的底数，这是数学转变思想的详细应用．
由换底公式可推出下边两个常用公式：
1
(1)log b N＝或log b N·log N b＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；log
N b
m
(2)log bn N m＝log b N (N >0 ；b >0 ，且b≠1 ；n≠0，m∈ R)
n
.
题型一正确理解对数运算性质
.
对于 a>0且 a≠1，以下说法中，正确的选项是()
①假定 M ＝ N ，那么log a M ＝log a N ；
②假定 log a M＝ log a N，那么M＝N；
③假定 log a M2＝ log a N2，那么M＝N；
④假定 M ＝ N ，那么log a M 2＝log
a N 2.
A．①与③B．②与④C．②D．①、②、③、④
分析在①中，当M ＝N≤0时， log a M与 log a N均无心义，所以log a M＝ log a N不建立．
在②中，当 log a M＝ log a N时，必有M >0 ，N >0 ，且M＝N，所以M＝N建立．
在③中，当log a M2＝ log a N2时，有M≠0 ，N≠0 ，且M2＝N2，即 |M |＝ |N |，但未必有 M ＝N.比如， M ＝2，N＝－2时，也有 log a M2＝ log a N2，但M≠N .
在④中，假
定
M ＝
N
＝0 ，那么 log a2与 log a2均无心义，所以 log a2＝ log a2 不建立．M N M N
所以，只有②建立．
答案C
评论正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应切记公式的形式及公式建立的条件．
题型二对数运算性质的应用
求以下各式的值：
(1)2log
32
3 8－5log 53；
3 2－log 3＋log
9
(2)lg25
2
＋ (lg2) 2；＋ lg8 ＋ lg5 ·lg20
3
.
log 5 2·log 7 9
(3) .
1 3 4
log 5 ·log 7 3
剖析
利用对数的性质求值， 第一要明确解题目标是化异为同， 先使各项底数同样， 才
能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，能够先化简再计算．
解 (1) 原式＝ 2log 3 2 － (log 332 － log 3 9) ＋ 3log 3 2 － 3
＝ 2log 32 －5log 32 ＋ 2 ＋3log 3 2 － 3＝－ 1.
10 (2) 原式＝ 2lg5 ＋ 2lg2 ＋ lg
·lg(2 ×10) ＋ (lg2) 2
2
＝ 2lg(5 ×2) ＋ (1 － lg2) ·(lg2 ＋ 1) ＋ (lg2) 2
＝ 2＋ 1－ (lg2) 2＋ (lg2) 2＝ 3.
1
log 5
2 ·log 79
log 52 ·2log 73
2
(3) ∵
＝
1
1 3
4
－ log 5 3·log 74
log 5
·log 7
3
3
lg2 lg3
lg5 · 3 lg7
＝－ lg3
＝－ . 1 lg4 2
··
lg5 3 lg7
评论
对数的求值方法一般有两种： 一种是将式中真数的积、 商、幂、方根利用对数的
运算性质将它们化为对数的和、
差、积、商，而后化简求值； 另一种方法是将式中的和、 差、
积、商运用对数的运算法那么将它们化为真数的积、商、幂、方根，而后化简求值．
题型三 对数换底公式的应用
计算： (log 2125 ＋ log 4 25 ＋ log 8 5)(log 52 ＋log 25 4＋ log 125 8) ．
.
剖析 由题目可获得以下主要信息： 本题是一道对数化简求值题，
在题目中各个对数的
底数都各不同样．
解答本题可先经过对数换底公式一致底数再进行化简求值．
解 方法一
原式＝
log 2 25 log 2 5 log 5 4 log 5 8
log 25 3＋ ＋ log 52 ＋ ＋
log 2 4 log 2 8 log 525 log 5125
2log 2 5 log 25 2log 52 3log 5 2 ＝ 3log
25 ＋ ＋ log 52 ＋ 55 ＋
2log 2 2 3log 2 2 2log 3log 5 5
1
＝ 3 ＋ 1 ＋ log 25 ·(3log 52)
3
log 22
＝ 13log 25 · ＝ 13.
log 25
lg125
lg25 lg5 lg2
lg4 lg8 方法二 原式＝
lg2 ＋ ＋
lg5 ＋ ＋
lg4 lg8
lg25 lg125
3lg5 2lg5 lg5
lg2 2lg2 3lg2
＝
＋
＋
＋ ＋ 3lg5 lg2
2lg2
3lg2
lg5 2lg5
13lg5
lg2 ＝ 13.
＝
3
3lg2
lg5
评论
方法一是先将括号内换底， 而后再将底一致； 方法二是在解题方向还不清楚的情
况下，一次性地一致为常用对数 (自然也能够换成其余非
1 的正数为底 )，而后再化简．上述
方法是不一样底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方
法．
log (x ＋ 3) (x 2＋3 x )＝ 1 ，务实数
x 的值．
错解
由对数的性质可得
x 2＋ 3x ＝ x ＋ 3.
解得 x ＝1 或 x ＝－ 3.
错因剖析 对数的底数和真数一定大于 0 且底数不等于 1，这点在解题中忽视了．
.
x2＋3 x＝ x＋3，
正解由对数的性质知x2＋3 x>0，
x＋3>0且 x＋3≠1.
解得 x ＝1，故实数 x 的值为 1.
对数的定义及其性质是高考取的重要考点之一，主要性质有：log a1 ＝ 0 ， log a a＝ 1 ，a log a N ＝ N ( a>0，且 a≠1， N >0)．
1． (上海高考 ) 方程 9 x－ 6 ·3x－ 7＝ 0 的解是 ________．
分析∵9
x－ 6 ·3x－ 7 ＝ 0 ，即 3 2x－6 ·3x－ 7 ＝ 0
∴(3
x－ 7)(3 x＋ 1) ＝ 0
∴3
x＝ 7 或 3 x＝－ 1( 舍去 )
∴x＝log37.
答案log 3 7
e x，x≤0，那么 g
g 1
2． (辽宁高考 ) 设g (x)＝
x， x>0，＝ ____.
ln2
g 11111
分析＝ ln<0 ，g ln＝ eln＝，22222
∴g
11 g＝ .
22
1
答案
2
1．对数式log (a－3) (7 －a)＝b，实数a的取值范围是 ()
.
A． (－∞， 7)B． (3,7)
C．(3,4) ∪ (4,7) D ． (3 ，＋∞ )
答案C
a－3>0，
分析由题意得a
－3≠1，解得3<a<7且a≠4. 7－a>0 ，
2．设＝ log 3 2 ，那么 log 38 － 2log 36
用
a 表示的形式是 ()
a
A．a－2B． 3 a－ (1 ＋a)2
C．5 a－ 2 D ．－a2＋3 a－ 1
答案A
分析∵＝ log 3 2 ，∴log 3 8－ 2log 3 6＝3log32－2(log32＋1) a
＝3a－ 2( a＋1) ＝a－2.
3． log 56 ·log 6 7·log 78 ·log 89 ·log 910 的值为 ()
1
A． 1 B． lg5 C. D ．1 ＋ lg2
lg5
答案C
lg6 lg7 lg8 lg9 lg10lg101
分析原式＝····＝＝.
lg5 lg6 lg7 lg8 lg9lg5lg5
4． log a(a2＋1)<log a2a<0，那么a的取值范围是()
1
A． (0,1) B. 0，
2
1
C.，1 D．(1，＋∞ )
2
答案C
.
0< a<1 ，
分析由题意，得
2 a>1 ，
∵a>0， a≠1，log a(a2＋1)<log
1
a2a，∴0<a<1.∴<a<1.
2
5．函数f (x)＝a x－1＋ log a x ( a>0 ，a≠1) 在 [1,3] 上最大值与最小值之和为a2，那么
a
的值为 ()
A． 4
11 B.C．3 D.
43
答案D
6．假定方程 (lg x)2＋ (lg7 ＋lg5)lg x＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，那么αβ等于
()
A． lg7 ·lg5B． lg35 C． 35
1 D.
35
答案D
1分析∵lg α＋ lg β＝－ (lg7 ＋ lg5) ＝－ lg35 ＝ lg
35
1
∴α·β＝.
35
7．f(log 2x)＝x，那么f 1
＝________. 2
答案2
111
＝ 21
2.
分析令 log 2x＝
，那么
2＝ x，∴f＝2222
8． log (2－ 1)( 2 ＋ 1) ＝ ________.答案－ 1
log((2＋1)( 2 －1)
分析2－1 2 ＋1) ＝ log 2－1
2－ 1
＝ log ( 2－1)
1
＝－ 1.
2 － 1
9． lg2 ＝ 0.301 0 ，lg3 ＝0.477 1 ， lg x＝－ 2 ＋0.778 1 ，那么x＝________.答案
分析∵lg2 ＝ 0.301 0 ， lg3 ＝0.477 1 ，
而 0.301 0 ＋ 0.477 1 ＝ 0.778 1 ，∴lg x＝－ 2 ＋ lg2 ＋ lg3 ，
即 lg x＝ lg10 －2＋ lg6.
∴lg x＝lg(6 ×10 －2 )，即x＝ 6 ×10 －2＝ 0.06.
10 ．(1) lg x＋ lg y＝ 2lg( x－2 y)，求 log 2x
的值；y
(2) log 18 9 ＝a,18 b＝5 ，试用a，b表示 log365.解 (1)lg x＋lg y＝ 2lg( x－2 y)，
∴xy ＝(x －2y )2，即 x2－5xy ＋4y2＝0.
即 (x－y)( x－ 4 y)＝ 0，解得x＝y或x＝ 4 y，
x>0，
又∵ y >0，∴x>2 y >0，
x－2 y >0，
∴x＝ y，应舍去，取x＝4 y.
x4y lg4
那么
log 2 y＝ log 2 y＝ log24 ＝lg2＝ 4. (2) ∵18 b＝ 5，∴log18 5＝ b, 又∵log189＝ a，
log 185b
∴log 36 5 ＝＝
18 (18×2)
lg 18 36log
b b
＝＝
1＋ log 18 218
1 ＋ log 18
9
b b
＝＝.
1＋ (1 －log 189)2－a
1 11
11 ．设a，b，c均为不等于 1 的正数，且a x＝ b y＝ c z，＋＋＝0，求 abc 的值．
x y z
解令 a x＝ b y＝ c z＝t ( t>0且 t≠1)，
111
那么有x＝ log t a，y＝ log t b，z＝ log t c，
1 11
又＋＋＝0，∴log t abc＝0，∴abc＝ 1.
x y z
12 ．a，b，c是△ABC的三边，且对于x 的方程 x2－2x＋lg( c2－ b2)－2lg a＋1＝0 有等根，试判断△ABC的形状．
解∵对于 x 的方程 x2－2 x＋lg( c2－ b 2)－2lg a＋1＝0有等根，
∴Δ＝0 ，即 4－ 4[lg( c2－b2)－ 2lg a＋ 1] ＝ 0.
即 lg( c2－b2 )－2lg a＝0 ，故c2－b2＝a2，
∴a2＋ b2＝ c2，∴△ABC 为直角三角形．
2．对数与对数运算(一 )
学习目标
1．理解对数的观点，能进行指数式与对数式的互化．
2．认识常用对数与自然对数的意义．
3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．
自学导引
.
1．假如a(a>0 且a≠1) 的b次幂等于N ，就是 a b＝ N，那么数b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 b ＝log a N ，此中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
2．对数的性质有：(1)1 的对数为零；
(2)底的对数为 1 ；
(3)零和负数没有对数．
3．往常将以10 为底的对数叫做常用对数，以 e 为底的对数叫做自然对数，log 10N可简记为 lg N， log e N简记为 ln N .
4．假定a>0 ，且a≠1 ，那么a b＝N等价于 log a N＝b .
5．对数恒等式：a log a N ＝ N (a>0且 a≠1)
.
一、对数式存心义的条件
例1求以下各式中x 的取值范围：
(1)log2(x－10)；(2)log(x－1) (x＋2)；(3)log(x＋1) (x－1) 2 .
剖析由真数大于零，底数大于零且不等于 1 可获得对于x 的不等式(组 )，解之即可．解 (1) 由题意有x－ 10>0 ，∴x>10 ，即为所求．
x＋2>0，
(2)由题意有
x－1>0且x－1≠1，
x>－2，
即∴x>1且 x≠2.
x>1且 x≠2，
.
(x－ 1) 2 >0 ，
(3)由题意有
x＋1>0且 x＋1≠1，
解得 x >－1且 x≠0， x≠1.
评论在解决与对数有关的问题时，必定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零
且不等于 1.
变式迁徙 1在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是()
A．a>5 或a<2B．2< a<5
C．2< a<3 或 3< a<5 D ． 3< a<4
答案C
5－a>0
分析由题意得a－2>0，
a－2≠1
∴2< a<5 且a≠3.
二、对数式与指数式的互化
例 2将以下对数形式化成指数形式或将指数形式转变为对数形式：
1
(1)5 4＝ 625 ；(2)log8 ＝－ 3 ；
2
1
－2＝ 16; (4)log
10 1 000 ＝ 3.
(3)
4
剖析利用 a x＝ N ? x＝log
a N 进行互化．
解(1) ∵5 4＝ 625 ，∴log 5625 ＝ 4.
.
(2) ∵log 1
8 ＝－ 3，∴
1
2
－3＝8.
2
11
(3) ∵－2＝ 16 ，∴log 16 ＝－ 2.
44
(4) ∵log10 1 000＝3，∴103＝1 000.
评论指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，相互转变是解决有关问题的重
要门路．在利用a x＝N ? x＝log
a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的
地点．
变式迁徙2将以下对数式化为指数式求x 值：
32
(1)log x27 ＝；(2)log 2 x＝－；
23
(3)log 5(log 2 x)＝0;(4) x＝ log
1 27 ；9
(5) x＝ log 1
16.
2
332
＝32＝ 9.
解 (1) 由 log x27 ＝，得 x ＝27，∴x＝27
223
2213
(2) 由 log
2 2 x＝－，得2－＝x，∴x＝＝.
3332
2
2
(3) 由 log 5 (log 2x)＝0，得log 2 x＝1，∴x＝21＝2.
11
(4) 由x＝log 27，得 27 x＝，即 3 3x＝ 3 －2，
99
2
∴x＝－.
3
11
(5) 由x＝log16 ，得x，即 2－x＝ 24，
＝ 16
22
∴x＝－4.
三、对数恒等式的应用
例 3
(1) a log a b ·log b c ·log c N 的值 (a ，b ， c ∈ R ＋
，且不等于 1 ， N >0) ；
1
(2)4 (log 29 － log 25) ．
2
解 (1) 原式＝ (a log a b )log b c ·log c N ＝ b log b c ·log c N ＝ (b log b c )log c N
＝ c log c N ＝ N .
2log 2 9
9
(2) 原式＝ 2(log 2 9－ log
25) ＝
＝ . 2log
2 5 5
评论
对数恒等式
a log
a N ＝ N
中要注意格式： (1) 它们是同底的；
(2) 指数中含有对数
形式； (3) 其值为真数．
1
变式迁徙 3
计算： 3log 3
5 ＋( 3)log 3 .
5
1 1
1 1
解
原式＝
5＋ 3 log 3 ＝
5 ＋ (3log 3 )
2 5 5 2
1 6 5 ＝
5 ＋
5
＝.
5
1．一般地，假如
a (a >0 ，a ≠1) 的
b 次幂等于 N ，就是 a b ＝ N ，那么 b 叫做以 a 为底
N 的对数，记作 log a N ＝ b ，此中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
2．利用 a b
＝ N ? b ＝ log a N ( 此中 a >0 ， a ≠1 ， N >0) 能够进行指数与对数式的互化．
3．对数恒等式： a log a N ＝ N (a >0 且 a ≠1) ．
一、选择题
1．以下指数式与对数式互化不正确的一组是()
A． 10 0＝1与 lg1 ＝0
1111
B．27 －＝与 log 27＝－
3333
11
C．log 3＝ 9与 9＝ 3
22
D． log 5 5 ＝1 与 5 1＝5
答案C
2．指数式 b 6＝a ( b >0， b ≠1)所对应的对数式是()
A． log 6a＝a B． log 6b＝a
C．log a b＝ 6 D ． log b a＝ 6
答案D
3．假定 log x( 5－ 2) ＝－ 1，那么x的值为 ()
A.5－2
B. 5＋2
C. 5－2 或5＋2 D．2－5
答案B
4．假如f(10 x)＝x，那么f(3) 等于
()
A． log 3 10B．lg3 C． 10 3D．310
答案B
x＝t，那么x＝ lg t，
分析方法一令 10
∴f (t )＝lg t ， f(3)＝lg3.
方法二令 10
x＝3 ，那么x＝ lg3 ，∴f (3) ＝ lg3.
1
5． 21 ＋·log 25 的值等于 ()
2
A．2＋ 5 B．25
55
C．2＋D．1＋
22
答案B
111
分析21 ＋log 25 ＝2 ×2log 25 ＝ 2 ×2log 2 5
222
1
＝2×5 ＝2 5.
2
二、填空题
6．假定 5 lg x＝ 25 ，那么x的值为 ________．
答案100
分析∵5 lg
x＝ 52，∴lg x＝ 2 ，∴x＝10 2＝ 100.
7．设 log a2 ＝m， log a3 ＝n，那么a2m＋n的值为 ________．答案12
分析∵log a2 ＝m， log a3 ＝n，∴a m＝ 2 ，a n＝ 3 ，
∴a2m＋n＝ a2m·a n＝(a m)2·a n＝22×3＝12.
8． lg6 ≈0.778 2 ，那么 10 2.778 2≈________.
答案600
分析10 2.778 2≈10 2×10 lg6＝ 600.
三、解答题
9．求以下各式中x 的值
1 －2x
(1)假定 log 3
9
＝ 1 ，那么求x值；
(2)假定 log 2
003
( x2－ 1) ＝ 0 ，那么求x
值．
1 － 2x 1 －
2 x
＝ 3
解 (1) ∵log 3＝ 1，∴
99
∴1 － 2 x＝ 27 ，即x＝－ 13
(2) ∵log 2 003 (x2－ 1) ＝0
∴x2－1＝1，即 x2＝2
∴x＝±2
2
10 ．求x的值： (1) x＝ log4； (2) x＝ log 9 3 ； (3) x＝71 － log 7 5；
2
1
(4)log x8 ＝－ 3 ； (5)log x＝4.
2
(1) 由得：2
解x＝ 4 ，
2
1x
∴2 －x＝22，－＝2，x＝－4.
22
1 (2)由得： 9x＝ 3 ，即 3 2x＝ 3 . 2
11
∴2 x＝，x＝.
24
7
(3)x＝7÷7log75＝7÷5＝.
5
(4)由得： x－3＝8，
111
即3＝ 2 3，＝ 2 ，x＝ .
x x2
1
4 ＝1
(5) 由得：x＝.2.2.1 对数与对数运算 (二 )
216
学习目标
1．掌握对数的运算性质及其推导．
2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．
自学导引
1．对数的运算性质：假如a>0， a≠1，M >0， N>0，那么，(1)log a(MN )＝ log a M＋ log a N；
M
(2)log a N＝ log a M－log a N；
(3)log a M n＝n log a M (n∈R)．
2．对数换底公式： log a b＝log c b
.
log c a
一、正确理解对数运算性质
例 1假定a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，以下式子中正确的个数有()
①log a x·log a y＝ log a (x＋y )；
② log a x－ log a y＝ log a(x－y) ；
x
③log a y＝ log a x÷log a y；
④log a(xy )＝ log a x·log a y .
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
答案A
分析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转变为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不可以把对数的符号看作表示数的字母参加运算，如log a x≠log a·x，log a x是不
.可分开的一个整体．四个选项都把对数符号看作字母参加运算，因此都是错误的．评论正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．
变式迁徙 1 假定a>0且 a≠1，x>0， n ∈N*，那么以下各式正确的选项是
()
1
A． log a x＝－ log a x B．(log a x )n＝n log a x
C．(log a x)n＝ log a x n
1 D． log a x＝ log a x
答案A
二、对数运算性质的应用
例2计算：
7
(1)log 535 －2log 5＋ log 5 7－ log 5 1.8 ；
3
(2)2(lg2) 2＋lg 2 ·lg5 ＋ (lg2) 2－ lg2 ＋1 ；
lg27 ＋ lg8 － lg 1 000
(3)；
(4)(lg5)2＋ lg2 ·lg50.
剖析利用对数运算性质计算．
9解(1) 原式＝ log 5(5 ×7) －2(log 57 －log 53) ＋ log 5 7 － log 5
5＝log 5 5 ＋ log 57 － 2log 5 7 ＋2log 53 ＋ log 57 － 2log 53 ＋ log 55＝2log 55 ＝2.
(2) 原式＝ lg 2(2lg2＋ lg5) ＋(lg2－ 1) 2
＝ lg 2(lg2 ＋ lg5) ＋ 1 － lg 2 ＝ lg 2 ＋ 1 － lg 2 ＝1.
.
3 3
lg3 ＋3lg2 －
3lg3 ＋ 6lg2 －3
3 2
2 (3) 原式＝ ＝ 2(lg
3 ＋ 2lg2 －1) ＝ .
lg3 ＋ 2lg2 －1 2
(4) 原式＝ (lg5) 2＋ lg2 ·(lg2 ＋ 2lg5)
＝ (lg5) 2 ＋ 2lg5 ·lg2 ＋ (lg2) 2＝(lg5 ＋ lg2) 2＝ 1.
评论 要灵巧运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．
变式迁徙 2
求以下各式的值：
1
1
(1)log 535 ＋2log 2 － log 5 － log 5 14 ；
2 50 (2)[(1 － log 6 3) 2＋ log 6 2·log 6 18] ÷log 6 4.
解 (1) 原式
1
＝ log 5 (5 ×7) － 2log 2 2 ＋ log 5 (5 2 ×2) － log 5(2
×7) 2
＝ 1＋ log 5 7－ 1 ＋2 ＋log 52 － log 52 － log 5 7＝ 2.
2
2 ＋ log 62 ·log 6(
3 ×6)] ÷log 6 2 2
(2) 原式＝ [log 6
＝ log 6 2(log 62 ＋ log 63 ＋ 1) ÷(2log 62) ＝ 1.
三、换底公式的应用
2 1
例 3 (1) 设 3 x ＝ 4 y
＝ 36 ，求 ＋ 的值；
x y
(2) log 18 9 ＝ a,18 b
＝5 ，求 log 36 45.
解
(1) 由分别求出 x 和 y .
∵3 x ＝ 36,4 y
＝36 ，
∴x ＝ log 336 ， y ＝ log 4 36 ，
.
由换底公式得：
log 36 36 1 log 3636 1 x ＝
＝ ， y ＝ ＝ ，
log 36 3 log 36 3 log 36 4 log 36 4
1 ＝ log 1 ＝ log
4 ，
∴x 36
3 ， y
36
2
1
3 ＋ log
4
∴x ＋ y ＝ 2log
36 36
＝ log 36 (3 2 ×4) ＝ log 36 36 ＝ 1.
(2) ∵log 18 9＝ a,18 b
＝ 5 ，∴log 185 ＝ b .
∴log 36 45 ＝
log 18 45
log 18 (9 ×5)
log 18 36 ＝
log 18 (18 ×2)
log 18 9 ＋ log 18 5 a ＋b
a ＋ b
＝
1 ＋log 18 2
＝ 18 ＝ 2 － a .
1 ＋ log 18
9
评论 指数式化为对数式后，
两对数式的底不一样， 但式子两头取倒数后，
利用对数的换
底公式可将差别除去．
变式迁徙 3
(1) 设 log 34 ·log 4 8 ·log 8 m ＝ log 416 ，求 m ；
(2) log 12 27 ＝ a ，求 log 616 的值．
lg4 lg8 lg m
解 (1) 利用换底公式，得· · ＝ 2， lg3 lg4
lg8
∴lg m ＝ 2lg3 ，于是 m ＝9.
3lg3 ＝a ，
(2) 由 log 12 27 ＝a ，得
2lg2 ＋ lg3 2 a lg2 lg3
2a
∴lg3 ＝ ，∴
＝. 3 －a lg2
3 － a
∴log 6 16 ＝ 4lg2
4
＝
lg3 ＋ lg2 2 a
＋ 1
3 － a
4(3 －a)
＝.
3 ＋a
1．对于同底的对数的化简常用方法是：
(1)“收〞，将同底的两对数的和 (差 )化成积 (商 )的对数；
(2)“拆〞，将积 (商 )的对数拆成对数的和 (差 )．
2．对于常用对数的化简要充足利用“lg5 ＋ lg2 ＝ 1 〞来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
一、选择题
1． lg8 ＋3lg5的值为()
A．－ 3B．－ 1C．1 D ． 3
答案D
分析lg8 ＋ 3lg5＝ lg8＋lg53＝lg1 000＝3.
log36等于 ()
2．lg2 ＝a，lg3 ＝b，那
么
a＋ b a＋ b
A. B.
a b
a b
C.D.
a＋ b a＋ b
答案B
lg6 lg2 ＋ lg3a＋ b
分析log 36 ＝＝＝.
lg3lg3b
3．假定 lg a， lg b是方程 2 x2－ 4 x＋ 1＝ 0 的两个根， lg a
2
的等于 () b
11
A．2 B.C．4 D.
24
答案A
1分析由根与系数的关系，得lg a＋ lg b＝ 2， lg a·lg b＝，
2
a
∴ lg2＝ (lg a－ lg b )2
b
＝(lg a＋ lg b )2－4lg a·lg b
1
＝22－4×＝2.
2
4．假定 2.5 x＝y＝1 000
11
，－等于() x y
11
A.B． 3C．－D．－3
33
答案A
分析由指数式化数式：
x＝log 1 000，y ＝log 1 000，
111－＝ log 1 000 －log 1 000 ＝log 1 000 10＝.
x y3
5．函数f(x)＝ log a x (a>0 ，且a≠1) ，假定f(x1x2⋯x2 005
222
) )＝ 8 ，f(x1)＋f(x2) ＋⋯＋f(x2 005
的等于 ()
A． 4B． 8C． 16 D ． 2log a8
答案C
分析因 f(x )＝log a x，f (x1x2⋯x2 005)＝8，
222
所以 f (x1)＋f(x2)＋⋯＋f( x2 005 )
222
＝ log a x1＋ log a x2＋⋯＋ log a x2 005
＝ 2log a |x 1|＋2log a |x 2 |＋⋯＋ 2log a |x 2 005 |
＝ 2log a |x 1x 2⋯x 2 005 |
＝ 2f (x 1x 2⋯x 2 005 )＝ 2 ×8 ＝ 16.
二、填空
6． lg2 ＝ a ， lg3 ＝ b ，那么 lg 1.8 ＝ __________.
答案
a ＋ 2
b － 1
2
1 1 18 1
2 ×9 分析
lg 1.8 ＝ ＝ lg 10＝ lg
10
2 2 2
1 1
＝ (lg2 ＋ lg9 － 1) ＝ (a ＋ 2b － 1) ． 2 2
7．假定 log a x ＝ 2， log b x ＝ 3 ，log c x ＝ 6 ， log abc x 的 ____．
答案
1
1
1
分析
log abc x ＝
＝
log x abc log x a ＋log x b ＋ log x c
∵log a x ＝ 2 ， log b x ＝ 3 ， log c x ＝ 6
1
1 1
∴log x a ＝ ， log
x b ＝ ， log x c ＝ ，
2 3 6
∴log abc x ＝ 1
1
1 1 ＝ ＝1. 1
1
2 ＋ ＋
3 6
8． log 63 ＝ 0.613 1 ，log 6x ＝ 0.386 9 ， x ＝________.
答案 2
分析
由 log 6 3 ＋ log 6 x ＝ 0.613 1 ＋ 0.386 9 ＝1.
得 log 6(3 x )＝ 1.故 3 x ＝6 ，x ＝ 2.
三、解答
9．求以下各式的 ：
1324
8 ＋lg245 ；
(1)lg－ lg
2493
(2)(lg5) 2＋ 2lg2－(lg2) 2 .
(1) 方法一1 4 3
解原式＝ (5lg2 － 2lg7)－·lg2
2 3 2
1
＋(2lg7 ＋ lg5)
2
51
＝lg2 －lg7 － 2lg2 ＋ lg7 ＋ lg5
22
111
＝ lg2＋ lg5＝ (lg2 ＋ lg5)
222
1 1
＝lg10 ＝ .
2 2
原式＝ lg 42
5
方法二
7
－ lg4 ＋lg7
42×7 5
＝ lg
7 ×4
＝ lg( 2 · 5) ＝ lg
1 10＝ .
2
(2) 方法一原式＝ (lg5 ＋ lg2)(lg5－ lg2) ＋2lg2
55
＝ lg10 ·lg＋ lg4 ＝ lg×4 ＝ lg10 ＝1.
22
方法二原式＝ (lg10－ lg2) 2＋ 2lg2－lg 22
＝1－ 2lg2 ＋lg 2 2＋ 2lg2 － lg 22 ＝ 1.
6 a3b2c 123
10．假定
2＝ 6＋＝ .
＝ 3，求证：
a b c
证明设 2 6a＝ 3 3b＝ 6 2c＝k ( k>0)
，那么
1
6
＝ 6log k 2 ，
a ＝
6 a ＝ log 2 k ， log 2k
1 3
3 b ＝ log 3k ，
3 k ＝ 3log k 3 ，
∴ b ＝
log
2 c ＝log 6k ，
1 2 ＝ ＝ 2log k 6. c log 6k
1 2
∴ ＋ ＝ 6 ·log k 2 ＋ 2 ×3log k 3 a b
3
＝ log k (2 6×3 6)＝ 6log k 6＝ 3×2log k 6 ＝ ，
c
1 2 3 即＋ ＝ .
a b c
2．
对数函数及其性质
1．对数函数的观点
形如 y ＝ log a x (a >0 且 a ≠1) 的函数叫做对数函数．
对于对数函数定义的理解，要注意：
(1) 对数函数是由指数函数变化而来的， 由指数式与对数式关系知， 对数函数的自变量 x
恰巧是指数函数的函数值
y ，所以对数函数的定义域是
(0 ，＋∞ )；
(2) 对数函数的分析式 y ＝log a x 中， log a x 前面的系数为 1 ，自变量在真数的地点，底数 a 一定知足 a >0 ，且 a ≠1 ；
(3) 以 10 为底的对数函数为
y ＝ lg x ，以 e 为底的对数函数为
y ＝ ln x .
2．对数函数的图象及性质：
a >1 0< a <1
图象
函数的定义域为(0 ，＋∞ )，值域为 (－∞，＋∞ )
函数图象恒过定点(1 ，0) ，即恒有log a1＝0
当>1时，恒有>0 ；当>1时，恒有<0；
性质
当0<x<1时，恒有y<0当 0< x<1时，恒有y>0
函数在定义域(0 ，＋∞ )上为减函函数在定义域(0 ，＋∞ )上为增函数
数
3.指数函数与对数函数的关系比较
名称指数函数对数函数
分析式y＝ a x(a>0，且a≠1)y＝log a x(a>0，且a≠1)
定义域(－∞，＋∞ )(0 ，＋∞ )
值域(0 ，＋∞ )(－∞，＋∞ )
a>1时，a>1时， log a x
1 x00 x1
a x；；
函数值变 1 x00 0x 1
化状况0< a<1 时，0< a<1 时， log a x
x a x 1 x00 x1
1 x10 x1
1 x00 0x 1
图象必
点 (0,1)点 (1,0)
过定点
a>1时， y ＝a x是增函a>1时， y＝log a x是增函数；单一性
数；0< a<1时， y ＝log a x 是减函数
0< a<1 时，y＝a x是减
函数
图象y ＝a x的图象与 y＝log a x 的图象对于直线y ＝x 对称实质上，察看对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y＝log m n 有以下规律：
(1)当 (m－1)( n－ 1)>0 ，即m、n范围同样 (相对于“ 1 〞而言 )，那么 log m n >0 ；(2) 当 (m －1)( n－ 1)<0 ，即m、n范围相反 (相对于“ 1 〞而言 )，那么 log m n <0. 有了这个规律，我们再
1
判断对数值的正负就很简单了，如log 2 <0 ，log 5 2>0 等，一眼就看出来了！
3
题型一求函数定义域
求以下函数的定义域：
(1) y＝ log 3x－1
2x＋ 3
；x－1
(2) y＝
1
(a>0 ，a≠1) ．
1 － log a(x＋a)
剖析定义域即便函数分析式存心义的x 的范围．
解 (1) 要使函数存心义，一定{2 x＋ 3>0， x－1>0， 3 x－1>0 ， 3 x－ 1≠1 同时建立，
3
x>1，12
解得 x>－，x>，x≠.∴x>1.
233
∴定义域为 (1 ，＋∞ )．
(2) 要使原函数存心义，需 1 － log a(x＋a)>0 ，
即 log a(x＋a)<1 ＝ log a a.
当 a>1时，0< x＋a< a，∴－a< x<0.
当 0< a<1 时，x＋a> a，∴x >0.
∴当 a>1时，原函数定义域为{x|－a< x<0}；
当0<a<1时，原函数定义域为{x| x>0}．
评论求与对数函数有关的定义域问题，第一要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于 1 ，假定分母中含有x，还要考虑不可以使分母为零．
题型二对数单一性的应用
43
(1)log43，log34，log的大小次序为 ()
3 4
A． log 3 4<log 4 3<log 43 34
B． log 3 4>log43>log 43 34
4 3
C．log 3 4>log>log43
3 4
4 3
D． log >log 3 4>log 4 3
3 4
a b
(2)假定 a2> b > a>1，试比较log a b，log b a，log b a，log a b 的大小．(1) 分析∵log 3 4>1,0<log43<1，
4 344 log ＝ log
3－1＝－ 1 ，
3 43
43
∴log 3 4>log 43>log.
34
答案B
a
(2) 解∵b>a>1，∴0<b<1.
a b
∴log a b<0 ， log b a∈ (0,1) ， log b a∈ (0,1) ．
又 a>b b
b a，>1 ，且b >1 ，∴log b <log
a a
a b
故有 log a<log b <log b a<log a b.
b a
评论比较对数的大小，一般按照以下几条原那么：
①假如两对数的底数同样，那么由对数函数的单一性(底数a>1 为增；0< a<1 为减 )比较．
②假如两对数的底数和真数均不同样，往常引入中间变量进行比较．
③假如两对数的底数不一样而真数同样，如 y＝log a1 x 与 y＝log a2 x 的比较(a1>0，a1≠1，a2>0， a2≠1)．
当 a1> a2>1时，曲线 y1比 y2的图象(在第一象限内)上涨得慢．即当x>1时， y1< y2；当 0< x<1时， y 1> y2.而在第一象限内，图象越凑近x 轴对数函数的底数越大．当0<a2< a1<1时，曲线y1比y2的图象(在第四象限内)降落得快．即当x>1时，y 1< y 2；
当 0< x<1时， y 1> y2即在第四象限内，图象越凑近x 轴的对数函数的底数越小．
1
log a<1 ，那么 a 的取值范围是________．
2
剖析利用函数单一性或利用数形联合求解．
1
分析由 log a <1 ＝ log a a，适当a>1时，明显切合上述不等式，∴a>1；当0< a<1 2
11
时， a<，∴0<a<.
22
.
1
故 a >1 或 0< a < . 2
1 答案
a >1 或 0< a <
2
评论
解含有对数符号的不等式时， 一定注意对数的底数是大于 1 仍是小于 1 ，而后再
利用相应的对数函数的单一性进行解答．理解会用以下几个结论很有必需：
(1) 当 a >1 时， log a x >0 ? x >1 ， log a x <0 ? 0< x <1 ；
(2) 当 0< a <1 时， log a x >0 ? 0< x <1 ， log a x <0 ? x >1.
题型三
函数图象的应用
1
假定不等式 2 x － log a x <0 ，当 x ∈ 0，时恒建立，务实数
a 的取
值范围．
2
解
要使不等式 2x<logax 在 x ∈ 0,
1
时恒建立，即函数
y=logax 的图象在
0,
1
内恒
2
2
在函数 y=2x 图象的上方，而
y=2x 图象过点
1 ,
2 .由图可知， loga 1 >
2 ，
2
2
明显这里 0<a<1 ，∴函数 y=logax 递减．
又 loga 1 > 2 =log
a
a
2
，∴a
2
> 1 ，即 a>
1 2
2
2
1
2
∴所求的 a 的取值范围为
2
<a<1.
2 2
.
2
.
评论原问题等价于当x∈0,1
时， y1=2x 的图象在 y2=logax的图象的下方，由2
于 a 的大小不确立，当a>1时，明显 y2<y1，所以 a 必为小于 1 的正数，当 y2 的图象通
12
1
,2 时，y22
过点知足条件，此时 a 0 =.那么 a 是大于 a 0仍是小于 a 0才知足呢？
22
能够绘图象察看，请试着画一画．这样能够对数形联合的方法有更好地掌握．
设函数 f(x)＝lg( ax 2＋2 x＋1)，假定 f(x)的值域是R，务实数 a 的取值范围．错解∵f(x)的值域是R，
∴ax 2＋2 x＋1>0对 x∈R恒建立，
即 {a>0 <0 ? {a>0 4－4a<0 ?a>1.
错因剖析犯错的原由是分不清定义域为R 与值域为R 的差别．
正解函数 f(x )＝lg( ax2＋2x＋1)的值域是R
?真数 t ＝ ax2＋2x＋1能取到全部的正数．
当 a＝0
1
时，只需 x>－，即可使真数 t 取到全部的正数，切合要求；
2
当 a≠0时，一定有
{a>0Δ≥0 ? {a>0 4 － 4 a≥0 ? 0< a≤1.
∴f (x)的值域为R时，实数 a 的取值范围为[0,1]．
本节内容在高考取考察的形式、地位与指数函数相像，侧重考察对数的观点与对数函数的单一性，考察指数、对数函数的图象、性质及其应用．
1．(广东高考 )函数f(x)＝1
的定义域为 M ，g (x)＝ln(1＋ x)的定义域为 N，那么
1－x
M∩N等于()
A． {x|x> － 1}B． {x|x<1}
. C．{ x|－ 1< x <1} D ． ?
分析由题意知 M ＝{x|x<1}， N ＝{x|x>－1}．
故 M ∩N ＝{x|－1< x<1}．
答案 C
2． (湖南高考 ) 以下不等式建立的是()
A． log 3 2<log 2 3<log25
B． log 3 2<log25<log23
C．log 2 3<log32<log25
D． log 2 3<log 2 5<log32
分析∵y＝log2 x 在(0，＋∞)上是增函数，
∴log 2 5>log 23>log22＝1.
又 y＝log3x 在(0，＋∞)上为增函数，
∴log 3 2<log 33 ＝ 1.∴log 3 2<log 2 3<log 2 5.
答案A
3． (全国高考 ) 假定x∈ (e －1,1) ，a＝ ln x，b＝ 2ln x，c＝ ln 3x，那么 ()
A．a< b < c B．c< a< b
C．b < a< c D ．b < c< a
1
分析∵ < x<1 ，∴－ 1<ln x <0.
e
令 t＝ln x，那么－1< t <0.
∴a－ b ＝t－2t ＝－ t>0.∴a> b.
c－ a＝ t 3－ t ＝ t(t2－1)＝ t(t＋1)( t－1)，
又∵－1< t <0 ，
∴0< t＋ 1<1 ，－ 2< t－ 1< － 1，∴c－a>0 ，∴c> a.
∴c> a> b .
答案C
.
1．函数f(x)＝ 1 ＋ 2 x的定义域为会
合
M ，g (x)＝ln(1－ x)的定义域为会合N，那么M ∩N等于 ()
A． {x|x> － 1}B． {x|x<1}
1
C. x |－ < x<1 D ． ?
2
答案C
1 －x1
2．函数f (x)＝ lg，假定 f (a)＝，那么 f(－ a)等于()
1 ＋x2
11
A.B．－C．－2 D．2
22
答案B
f(－ a)＝lg 1 ＋a 1 ＋a
分析＝－ lg－1
－ a
1 －a1
1 －a1
＝－ lg 1＋a＝－f(a)＝－2.
3．a＝ log 23 ，b＝log 3 2 ，c＝log 4 2，那么a，b，c的大小关系是 () A．c< b < a B．a< b< c
C．b < c< a D ．c< a< b
答案A
分析因为 a＝log23>1，b ＝log32<1，所以 a> b ；
又因为 2>3 ，那么 log 3 2>log
3
1
3 ＝，
2
1
而 log 42 ＝ log 2 2 ＝， 2
11
所以 b >，c＝，即b>c.进而a>b>c.
22
4．函数f(x)＝ lg| x|为 ()
A．奇函数，在区间(0 ，＋∞ )上是减函数
B．奇函数，在区间(0 ，＋∞ )上是增函数
C．偶函数，在区间(－∞， 0) 上是增函数
D．偶函数，在区间(－∞， 0) 上是减函数
答案D
分析函数定义域为(－∞， 0) ∪ (0 ，＋∞ )，对于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－
x|＝lg| x|＝ f(x)，所以它是偶函数．
又当 x >0时，|x|＝ x，即函数 y＝lg| x|在区间(0，＋∞)上是增函数．
又 f(x)为偶函数，所以 f (x)＝lg| x|在区间(－∞，0)上是减函数．
5．函数y＝a x与y＝－ log a x ( a>0 ，且a≠1) 在同一坐标系中的图象只可能为()
答案A
分析方法一假定0<a<1，那么曲线y＝a x降落且过(0,1)，而曲线y＝－log a x上涨且过(1,0) ；假定a>1 ，那么曲线y＝ a x上涨且过(0,1)，而曲线 y＝－log a x 降落且过(1,0)．只有选项A 知足条件．
方法二注意到 y＝－log a x 的图象对于x 轴对称的图象的表达式为y＝log a x，又 y＝
log a x与y＝a x互为反函数 (图象对于直线y＝ x 对称)，那么可直接选定选项A.
6．设函数 f (x)＝log2a(x＋1)，假定对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有 f(x)>0，那么实数
a 的取值范围为 ( )
1
A ． (0，＋∞ ) B. ，＋∞
2
1
，1
1
C. 2
D. 0 ， 2
答案 D
分析
－ 1< x <0 ，那么 0< x ＋ 1<1 ，又当－ 1< x <0
时，都有 f (x )>0 ，即 0< x ＋1<1
1
时都有 f (x )>0 ，所以 0<2 a <1 ，即 0< a <
.
2
7．假定指数函数 f (x )＝a x
(x ∈ R)的局部对应值以下表：
x － 2 0 2
f (x
1
那么不等式 log a (x － 1)<0
的解集为
．
答案 {x |1< x <2}
分析
由题可知 a ＝ ，∴log (x － 1)<0 ，
∴log (x －1)<log
1.2 1 ，解得
x <2 ，
又∵x － 1>0 ，即 x >1 ，∴1< x <2.
故原不等式的解集为 {x |1< x <2} ．
8．函数 y ＝ log a x (1 ≤x ≤2) 的值域为 [－ 1,0] ，那么 a 的值为 ________．
1
答案
2
分析 假定 a >1 ，那么函数 y ＝ log a x 在区间 [1,2] 上为增函数，其值域不行能为
[－ 1,0] ；
故 0< a <1 ，此时当 x ＝ 2 时， y 取最小值－ 1 ，
1
即 log a 2 ＝－ 1 ，得 a －
1＝2 ，所以 a ＝ .
2
.
(3 a－ 1) x＋ 4a，x<1
9．函数 f (x)＝是实数集R 上的减函数，那么实数 a 的取
log a x，x≥1
值范围为．
1 1
答案，
7 3
分析函数 f(x )为实数集R上的减函数，
1
一方面， 0< a<1 且 3 a－ 1<0 ，所以 0< a<，
3
另一方面，因为f(x)在R上为减函数，
1
所以应有 (3 a－ 1) ×1 ＋4a≥log a 1 ，即a≥ .
7
11
所以知足题意的实数 a 的取值范围为≤a< .
73
10 ．f(x )＝ 1 ＋ log 2x (1 ≤x≤4) ，求函数g (x)＝ f2(x)＋ f (x2)的最大值和最小值．
解∵f(x)的定义域为[1,4]，
∴g (x )的定义域为[1,2]．
∵g (x )＝ f2(x)＋f(x2)＝(1＋log2 x)2＋(1＋log2 x2)
＝(log 2x＋2) 2－ 2，
又 1 ≤x≤2 ，∴0 ≤log 2x≤1.
∴当x＝1时，g (x)min＝2；当x＝2时，g (x)max=7.
学习目标
1．掌握对数函数的观点、图象和性质．
2．能够依据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，掌握指数函数与对数
函数关系的实质．
自学导引
1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其
中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋
∞)．2．对数函数的图象与性质
定义y ＝log a x (a>0，且 a≠1)
底数a>10< a<1
图象
定义域(0 ，＋∞ )
值域R
单一性在 (0 ，＋∞ )上是增函数在(0，＋∞ )上是减函数
共点性图象过点 (1,0) ，即 log a1 ＝ 0
函数值
特色x∈(0,1)时，
y ∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，
y ∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，
y∈(－∞，0]
函数 y ＝log a x 与 y ＝ log
1
x 的图象
对称性
a
对于 x 轴对称
3.反函数
对数函数 y ＝ log a x
(a >0 且 a ≠1) 和指数函数 y ＝ a x
_(a >0 且 a ≠1) 互为反函数．
一、对数函数的图象
例 1
以下列图是对数函数
y ＝ log a x 的图象， a 值取
4 3
1
，
3，，，
，那么图象 C ，C
3
5 1
2
10
C ， C 相应的 a 值挨次是 (
)
3
4
A. 3,4,3, 1
3510
B ． 3,4
,
1 , 3
3 10 5
C ． 4 , 3,3,
1
3
5
10
D ． 4 , 3, 1 , 3
3
10 5
答案 A
分析 方法一 因为对数的底数越大， 函数的图象越远离 y 轴的正方向， 所以 C1 ，C2 ，C3 ，
C4 的 a 值挨次由大到小，即 C1 ， C2 ，C3 ， C4 的 a 值挨次为
4 3 1
3, , ,
.
3510
.
方法二
过 (0,1) 作平行于x 轴的直线，与C1 ， C2 ， C3 ， C4 的交点的横坐标为(a1,1) ，(a2,1) ，(a3,1) ，(a4,1) ，此中 a1 ，a2 ，a3 ，a4 分别为各对数的底，明显a1>a2>a3>a4，所以C1，C2 ， C3 ， C4 的底值挨次由大到小．
评论函数 y=logax (a>0，且a≠1)的底数a的变化对图象地点的影响以下：
①上下比较：在直线x=1的右边，底数大于 1 时，底数越大，图象越凑近x 轴；底数大于 0 且小于 1 时，底数越小，图象越凑近x 轴．
②左右比较： (比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
变式迁徙 1借助图象比较m ， n 的大小关系：
(1) 假定 logm5>logn5，那么m n ；
(2) 假定，那么m n.
答案(1)<(2)>
二、求函数的定义域
例 2求以下函数的定义域：
3
(1)y＝log2 x；
(2)y＝log(4 x－3)；
(3) y＝ log (x＋1) (2 －x)．
剖析定义域即便函数分析式存心义的x 的范围．
解 (1) ∵该函数是奇次根式，要使函数存心义，只需对数的真数是正数即可，
∴定义域是 {x |x>0} ．
(2)要使函数 y＝log(4 x－3)存心义，一定
log (4 x－ 3) ≥0＝ log 1 ，
3
∴0<4 x－ 3 ≤1.解得< x≤1.
4
3
∴定义域是x| < x≤1 .
4
x＋1>0x>－1
(3) 由x＋1≠1，得x≠0，
2 －x>0x<2
即 0< x<2 或－ 1< x<0 ，
所求定义域为 (－ 1,0) ∪ (0,2) ．
评论求与对数函数有关的函数定义域时，除按照前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自己有以下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单一性，有针对性的解不等式．
变式迁徙 2求y＝log a(4 x－3)( a>0 ，a≠1) 的定义域．
解 log a(4 x－ 3) ≥0.(*)
当 a>1时，(*)可化为log a(4 x－3)≥log a1，
∴4 x－ 3≥1 ，x≥1.
当 0< a<1 时， (*) 可化为
log a(4 x－ 3) ≥log a1，
3
∴0<4 x－ 3 ≤1 ， < x≤1.
4
综上所述，当a>1时，函数定义域为[1 ，＋∞ )，。