八年级数学下册第六章平行四边形3三角形的中位线三角形中位线定理知

三角形中位线定理
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。

【学习目的】
1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
2. 掌握中点四边形的形成规律.
【要点梳理】
要点一、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
要点诠释：〔1〕三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
1
2，每个小三角形的面积为原三角形面积的1 4.
〔3〕三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【典型例题】
类型一、三角形的中位线
1.如图，P、R分别是长方形ABCD的边BC.CD上的点，E.F分别是PA.PR的中点，点P在BC上从B向C 挪动，点R不动，那么以下结论成立的是〔〕
A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定
【答案】C；
【解析】连AR，由E.F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 那么
1
2
EF AR
，而AR长不变，
故EF大小不变.
【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．
举一反三：
【变式】在△ABC中，中线BE.CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，那么四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．
【答案】5；
解：四边形MNEF是平行四边形．
理由如下：∵BE.CF是中线，
∴E.F分别是AC.AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF ∥BC 且EF=21BC ，
∵M 、N 分别是BO 、CO 中点，
∴MN 是△OBC 的中位线，
∴MN ∥BC 且MN=21
BC ，
∴EF ∥MN 且EF=MN ，
∴四边形MNEF 是平行四边形．
2.如图，△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，假设BC ＝6，那么DF 的长是〔 〕
A ．2
B ．3 C.5
2 D ．4
【思路点拨】利用中位线定理，得到DE ∥AB ，根据平行线的性质，可得∠EDC ＝∠ABC ，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF ＝DB ，进而求出DF 的长．
【答案解析】
解：在△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点
∴DE ∥AB
∴∠EDC ＝∠ABC
∵BF 平分∠ABC
∴∠EDC ＝2∠FBD
在△BDF 中，∠EDC ＝∠FBD ＋∠BFD
∴∠DBF ＝∠DFB
∴FD ＝BD ＝12BC ＝1
2×6＝3．
【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
3.如下图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．
【思路点拨】此题中所求线段MD 与线段AB.AC 之间没有什么联络，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一〞构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．
【答案与解析】
解：延长BD 交AC 于点N ．
∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，
∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，
在△ABD 和△AND 中，
BAD NAD AD =AD
ADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝
∴ △ABD ≌△AND(ASA)
∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，∵ D.M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝1
2CN＝
1
6
2
＝3．
【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一〞、三角形的中线、中位线等联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．
举一反三：
【变式】如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．
【答案】
证明：延长AN、AM分别交BC于点D.G．
∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，
∴∠BAG=∠BGA，
∴△ABG为等腰三角形，
∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．
同理AM=DM，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN∥BC．
4.〔1〕如图1，在四边形ABCD中，E.F分别是BC.AD的中点，连接EF并延长，分别与BA.CD的延长线交于点M、N，那么∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．〔提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线〕
〔2〕如图2，在△ABC 中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，假设AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE 的长度．
【思路点拨】
〔1〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ，证明出EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21
CD ，证出HE=HF ，进而证出AB=CD ；
〔2〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，证明出EH=OH ，可证明证出△OEH 是等边三角形，进而求
出OE=25
．
【答案与解析】
〔1〕证明：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ．
∵E.F 分别是BC.AD 的中点，
∴EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21
CD ，
∵∠BME=∠CNE ，
∴HE=HF ，
∴AB=CD ；
〔2〕解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，
∵AB=CD ，
∴HO=HE ，
∵∠OEC=60°，
∴∠HEO=∠AGO=60°，
∴△OEH 是等边三角形，
∵AB=DC=5，
∴OE=25
．
【总结升华】此题考察了三角形的中位线定理、全等三角形的断定与性质，解答此题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．
举一反三：
【变式】如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，假设AB=5，CD=3，那么EF 的长是〔 〕
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】D ；
解：连接DE 并延长交AB 于H ，
∵CD ∥AB ，
∴∠C=∠A ，∠CDE=∠AHE ，
∵E 是AC 中点，
∴AE=CE ，
∴△DCE ≌△HAE ，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF=1
2BH，
∴BH=AB-AH=AB-DC=2，
∴EF=1．
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。