新教材人教B版必修第二册 4.4 幂函数 课件(34张)

调递减函数．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
易错警示
典例剖析
典例 5
若(a＋1)
－1 3
＜(3－2a)
－1 3
，试求 a 的取值范围．
[错解] ∵函数 y＝x－13 是减函数，∴a＋1＞3－2A．
∴a＞23， 即 a 的取值范围是23，＋∞．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
[解析] (1)函数 y＝x－1 在第一象限内单调递减，对应的图像为 C4；y ＝x 对应的图像为一条过原点的直线，对应的图像为 C2；y＝x2 对应的图
1
像为抛物线，对应的图像应为 C1；y＝x2 在第一象限内的图像是 C3，所以 曲线 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为 2,1，12，－1．
可得 m－1＝1，即 m＝2,2n＝8，可得 n＝3，
则 f(x)＝x3，且 f(x)在 R 上单调递增，
由
a＝f
33，b＝f(ln
π)，c＝f
22，
且 0＜ 33＜ 22＜1，ln π＞1，可得 a＜c＜B．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
(2)因为 y＝x－3＝x13，所以定义域为(－∞，0)∪(0，
(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限 内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x趋向 于＋∞时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
思考：当α＜0时，幂函数的图像是否过原点？ 提示：α＜0时，y＝xα在x＝0时无意义，图像不过原点．
数学（必修·第二册 RJB）
7
母题探究：将本例中的 b 改为 23 ，试比较三个数的大小？
4
1
7
1
1
[解析] 因为 a＝23 ＝163 ，b＝23 ＝1283 ，c＝253 ，
1
由幂函数 y＝x3
的单调性，知 a＜c＜B．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
角度2 探究幂函数的图像及性质 典例 4 讨论函数y＝x－2的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解
析式．
以五个常见幂函数为载体，归纳
2．通过具体实例，结合 y＝x，y＝x2，y 幂函数的图像与性质，发展学生
＝x3，y＝x－1，y＝x12 的图像，理解它们 的数学抽象、逻辑推理素养．
的变化规律，了解幂函数．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
数学（必修·第二册 RJB）
[辨析] 误认为 y＝x－13 是 R 上的减函数，实质是 y＝x－13 在(－∞， 0)和(0，＋∞)内均是减函数，而在整个定义域上不是减函数．
[正解]
对于(a＋1)
－1 3
＜(3－2a)
－1 3
，可分三种情况讨论．
a＋1＞3－2a
①a＋1 和 3－2a 都在(－∞，0)内，a＋1＜0 ，此时方程组无解； 3－2a＜0
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
a＋1＞3－2a
②a＋1 和 3－2a 都在(0，＋∞)内，a＋1＞0 3－2a＞0
，解得23＜a＜32；
③若 a＋1 和 3－2a 不在同一单调区间内，
则有3a－＋21a＜＞00，解得 a＜－1．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4 幂函数
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
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素养目标·定方向
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课程标准
学法解读
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
知识点 二
幂函数共同的性质
(1) 所 有 幂 函 数 在 区 间 (0 ， ＋ ∞ ) 上 都 有 定 义 ， 在 第 一 象 限 内 都 有 图 像，并且图像都通过(1,1)．
(2)如果α＞0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是 增函数．
( C)
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
[分析] (1)根据幂函数的定义去判断，只有形如y＝xα的函数才是幂 函数．
(2)根据幂函数的特征，系数等于1求解．
1
[解析] (1)由幂函数的定义知 y＝ x＝x2 ，y＝x 3，y＝x－1 均为幂函 数，而 y＝22x＝4x 是指数函数．
对点训练
数学（必修·第二册 RJB）
2．在同一坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax(a＞0且a≠1)的
图像可能是
( D)
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] 对A，没有幂函数的图像；对B，f(x)＝xa(x＞0)中a＞1，g(x)
＝logax中0＜a＜1，不符合题意；对C，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝ logax中a＞1，不符合题意；对D，f(x)＝xa(x＞0)中0＜a＜1，g(x)＝logax中 0＜a＜1，符合题意．
出的图像才更加准确；
③此种方法是对函数图像和性质的粗略探究，适用的函数有限，更
加准确、科学的探究方法会在以后进一步学习．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
对点训练
数学（必修·第二册 RJB）
3．(1)已知点(m,8)在幂函数
f(x)＝(m－1)xn
的图像上，设
a＝f
33，b
＝f(ln
π)，c＝f
题型 二 典例剖析
幂函数的图像及应用
数学（必修·第二册 RJB）
典例 2 (1)如图的曲线是幂函数 y＝xn 在第一象限内的图像，已知 n
分别取±1，12，2 四个值，相应的曲线 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为 ( B )
A．－1，12，1,2
B．2,1，12，－1
C．12，－1,2,1
D．2，12，－1,1
(2)因为 f(x)＝(m2－4m－4)xm 是幂函数，所以 m2－4m－4＝1，解得 m ＝5 或 m＝－1．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
规律方法：判断一个函数是否为幂函数的方法 (1)幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函 数，也就是说必须完全具备y＝xα(α∈R)结构特征的函数才是幂函数． (2)如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指 数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
22，则
a，b，c
的大小关系为
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
( A)
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
(2)讨论函数 y＝x－3 的定义域、奇偶性，通过描点作出它的图像，并根
据图像说明函数的单调性．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
[解析] (1)点(m,8)在幂函数 f(x)＝(m－1)xn 的图像上，
由图像可以看出，函数y＝x－2在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，在 (－∞，0)上是单调递增函数．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
规律方法：1.关于指数式比较大小 (1)变为同指数：利用幂函数的单调性比较大小． (2)变为同底数：利用指数函数的单调性比较大小．
必备知识·探新知
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
知识点 一 幂函数的概念
形如___y_＝__x_α___的函数称为幂函数，其中α是常数． 思考：(1)幂函数的解析式有什么特征？ (2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么？ 提示：(1)①系数为1；②底数为x自变量；③指数为常数． (2)①自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数函数的自变量为指 数．②底数不同，幂函数的底数是自变量，指数函数的底数是常数．
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数学（必修·第二册 RJB）
关键能力·攻重难
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
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题型 一 典例剖析
题型探究 幂函数的概念
典例 1 (1)下列函数中不是幂函数的是
A．y＝ x
B．y＝x 3
C．y＝22x
D．y＝x－1
(2)若 f(x)＝(m2－4m－4)xm 是幂函数，则 m＝__5_或__－__1___．
(2)函数 f(x)＝xk(k 为常数)为幂函数，图像不过第四象限，所以 C 中函 数图像不是函数 y＝f(x)的图像．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
规律方法：解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
m2＋2m－2＝1，
[解析] (1)由题意，得m－1≠0，
解得 m＝－3．
(2)形如 y＝xα(α 为常数)的函数为幂函数，所以只有 y＝x0；y＝x－2 为
幂函数．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
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对点训练
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1．(1)函数 y＝(m2＋2m－2)xm1-1 是幂函数，则 m＝
A．1
B．－3
(B )
C．－3 或 1
D．2
1
(2)以下四个函数：y＝x0；y＝x－2；y＝(x＋1)2；y＝2·x3 中是幂函数的
有
(B )
A．1 个
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
题型 三 典例剖析
幂函数性质的应用
角度 1 利用幂函数的单调性比较大小
4
2
1
典例 3 已知 a＝23 ，b＝45 ，c＝253 ，则
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
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(A)
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
＋∞)，记 f(x)＝x－3，则 f(－x)＝(－x)－3＝－1x3＝－1x3
＝－x－3＝－f(x)，因此函数 y＝x－3 是奇函数，因此函 数图像关于原点对称．通过列表描点，可以先画出 y＝x－3 在 x∈(0，＋∞)
时的函数图像，再根据对称性，作出它在 x∈(－∞，0)时的图像，如图所
示．
由图像可以看出，函数 y＝x－3 在区间(0，＋∞)，(－∞，0)上都是单
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
(2)已知函数f(x)＝xk(k为常数)，在下列函数图像中，不是函数y＝f(x)
的图像的是
(C )
[分析] (1)根据各个函数的图像特征选取． (2)根据幂函数图像所在的象限判断．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
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像，并根据图像说明函数的单调性．
[解析] 因为 y＝x－2＝x12， 所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，记 f(x)＝x－2， 则 f(－x)＝(－x)－2＝－1x2＝x12＝x－2＝f(x)，
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
因此函数y＝x－2是偶函数，因此函数图像关于y轴对称．通过列表描 点，可以先画出y＝x－2在x∈(0，＋∞)时的函数图像，再根据对称性，作 出它在x∈(－∞，0)时的图像，如图所示．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
2．关于函数图像、性质的探究 (1)探究顺序：一般按照定义域、奇偶性、图像、单调性的顺序进行 探究．
(2)几点说明： ①奇偶性决定了图像是否具有对称性，具有奇遇性的函数可先描点
作出y轴右侧的图像，再根据对称性作左侧的图像； ②作图时尽可能多地选取点，而且选取的点要具有代表性，这样作
大，幂函数图像越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越
大，幂函数图像越远离 x 轴(简记为指大图高)．
(2)依据图像确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系，即根据幂函数在第一象
限内的图像(类似于
y＝x－1 或
1
y＝x2
或
y＝x3)来判断．
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
4
1
1
[解析] 因为 a＝23 ＝163 ，c＝253 ，
1
由幂函数 y＝x3 的单调性，所以 a＜c，
4
1
2
1
由 a＝23 ＝163 ，b＝45 ＝165 ，
根据指数函数 y＝16x 的单调性，所以 a＞b，可得 b＜a＜C．
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