浙江省2019中考数学复习第一篇教材梳理第六章圆第18课时圆的有关概念及性质课件

考点三 弧、弦、圆心角之间的关系 1．圆心角 顶点在 圆心 的角叫做圆心角． 2．圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧 相等，所对的 弦 相等． 3．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量 都相等．
考点四 圆周角 1．定义 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 一半 ． 3．推论 1：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ，90°的圆 周角所对的弦是 直径 ． 推论 2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ； 相等的圆周角所对的弧也 相等 ．
︵ 如图，AB是半圆，O 为 AB 的中点，C，D 两点在
︵
︵
︵
AB上，且 AD∥OC，连结 BC，BD，若CD＝62°，则AD的度数
为( A )
A．56° B．58°
C．60°
D．62°
考点三 圆周角定理及其推论 (2016·温州)如图，在△ABC 中，
∠C＝90°，D 是 BC 边上一点，以 DB 为直 径的⊙O 经过 AB 的中点 E，交 AD 的延长 线于点 F，连结 EF.
温馨提示: 1．圆周角定理的意义在于把圆周角和圆心角这两类不同的角 联系在一起． 2．同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等 或互补． 3．当已知条件中有直径时，常常作直径所对的圆周角，这是 圆中常添加的辅助线．
考点五 圆内接四边形性质定理 1．圆内接四边形 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形 叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 2．性质定理 1：圆内接四边形的对角 互补 ．
由(1)可知，BC＝2CD＝6.∵∠BCE＝45°，∴CE＝BE＝3x， ∴由勾股定理可知，பைடு நூலகம்3x)2＋(3x)2＝62，x＝ 2，∴BE＝CE＝3 2，
AC＝ 2，∴AE＝AC＋CE＝4 2.在 Rt△ABE 中，由勾股定理可
知，AB2＝(3 2)2＋(4 2)2，∴AB＝5 2.∵∠BAO＝45°，∠AOB ＝90°.在 Rt△AOB 中，设半径为 r，由勾股定理可知，AB2＝2r2， ∴r＝5，∴⊙O 半径的长为 5.
【解析】连结 OE，∵OE＝OB， ∴∠B＝∠OEB＝∠D＋∠DOE. ∵∠AOB＝∠B＋∠D＝3∠D， ∴∠D＝∠DOE，∴DE＝OE＝OB．故选 D． 答案：D
4．(2018·衢州)如图，AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于点 E， 连结 BC，过点 O 作 OF⊥BC 于点 F.若 BD＝8 cm，AE＝2 cm， 则 OF 的长度为( )
典型考题展示
考点一 圆的性质及垂径定理 如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦
AB⊥CD，垂足为 E，连结 BC．若 AB＝ 2 2 cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O 的半径 为 2 cm.
【思路点拨】由∠BCD＝22°30′及一条 弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，该弧所对的圆心 角为 45°，因而利用 45°角构造等腰直角三角形，再解等腰直角 三角形即可求解．
第六章 圆 第18课时 圆的有关概念及性质
浙江考情分析
三年中考精选
1．(2018·衢州)如图，点 A，B，C 在⊙O 上，若∠ACB＝ 35°，则∠AOB 的度数是( B )
A．75° B．70° C．65° D．35°
2．(2017·金华)如图，在半径为 13 cm 的圆形铁片上切下一块 高为 8 cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为( C )
直径作半圆 O，交 BC 于点 D．若∠BAC＝40°，则AD的度数是 140° ．
6．(2018·杭州)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是半径 OA 的 中点，过点 C 作 DE⊥AB，交⊙O 于 D，E 两点，过点 D 作直径 DF，连结 AF，则∠DFA＝ 30° .
7．(2018·绍兴、义乌)如图，公园内有一个半径为 20 m 的圆 形草坪，A，B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB＝120°，从 A 到
中考考点梳理
考点一 圆的有关概念及其性质 1．圆的定义 (1)定义：在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋 转一周，另一个端点 P 所经过的封闭曲线叫做圆．定点 O 叫做 圆 心 ，线段 OP 叫做 半径 ． (2)圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的 集合 ．
2．圆的有关概念 连结圆上任意两点的线段叫做 弦 ；经过圆心的弦叫做 直 径 ；圆上任意两点间的部分叫做 弧 ；大于半圆的弧叫做 优弧 ； 小于半圆的弧叫做 劣弧 ；圆的任意一条直径的两个端点分圆成 两条弧，每一条弧都叫做 半圆 ． 3．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是 圆的旋转不变性．
仅少走了403π－20 3÷0.5≈15(步)．
答案：15
︵ 8．(2017·杭州)如图，已知△ABC 内接于⊙O，点 C 在AB上(不 与点 A，B 重合)，点 D 为弦 BC 的中点，DE⊥BC，DE 与 AC 的 延长线交于点 E，射线 AO 与射线 EB 交于点 F，与⊙O 交于点 G， 设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.
3．性质定理 2：圆内接四边形的外角等于它的 内对角 ． 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝∠B＋∠D ＝180°，∠DCE＝∠A．
考点六 圆的性质的应用 1．用圆的性质进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段 (即弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用解由半径、弦心距和弦的 一半组成的直角三角形来达到求解的目的． 2．借助在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角和圆心角 相等进行角的等量代换；也可以在同圆或等圆中，由相等的圆周 角所对的弧(或弦)相等，进行弧(或弦)的等量代换．
方法总结： 圆周角定理是把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一 起，求圆周角的度数，可通过求同弧所对的圆心角的度数得到； 当已知条件中有直径时，常利用直径所对的圆周角是 90°来求解．
如图，▱ABCD 的顶点 A，B，D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上，连结 AE.若∠E＝36°，则∠ADC 的度数是 (B)
(1)求证：∠1＝∠F； (2)若 sin B＝ 55，EF＝2 5，求 CD 的长．
【思路点拨】(1)连结 DE，由圆周角定理的推论可得∠DEB ＝90°，再由 E 是 AB 的中点，可得 DA＝DB，从而得出∠1＝∠B； 再由圆周角定理得出∠B＝∠F，等量代换即可得证．(2)由 AE＝ EF＝2 5，得出 AB＝4 5；在 Rt△ABC 中，由锐角三角函数的 定义求出 AC 的长，再由勾股定理求出 BC 的长；设 CD＝x，用含 有 x 的式子表示 BD，AD 的长，在 Rt△ACD 中，利用勾股定理列 出方程求解．
考点二 垂径定理 1．垂径定理 垂直于弦的直径 平分 这条弦，并且 平分 弦所对的弧． 如图，CD 是⊙O 的直径，AB 为弦，CD⊥AB，垂足为 E，则
︵ ︵︵︵ AE＝EB，AD＝DB，AC＝BC.
2．定理 1：平分弦(不是直径)的直径 垂直于 弦，并且平分 弦所对的两条弧．
定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 温馨提示: 平分弦的直径不一定垂直于弦，只有被平分的弦不是直径时 才互相垂直．
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β 关于 α 的函数表达式，γ 关于 α 的函数表达式，并给
出证明；
解：猜想：β＝α＋90°，γ＝－α＋180°.如图①，连结 OB．由 圆周角定理可知，12∠BOA＋∠BCA＝180°， 即 2∠BCA＝360°－∠BOA．∵OB＝OA， ∴∠OBA＝∠OAB＝α，∴∠BOA＝180°－ 2α，∴2β＝360°－(180°－2α)，∴β＝α＋ 90°.∵D 是 BC 的中点，DE⊥BC，∴OE 是线段 BC 的垂直平分线，∴BE＝CE， ∠BED＝∠CED，∠EDC＝90°.∵∠BCA＝∠EDC＋∠CED， ∴ β ＝ 90 ° ＋ ∠CED ， ∴ ∠ CED ＝ α ， ∴ ∠ CED ＝ ∠OBA ＝ α ， ∴O，A，E，B 四点共圆，∴∠EBO＋∠EAG＝180°，∴∠EBA ＋∠OBA＋∠EAG＝180°，∴γ＋α＝180°.
如图，AB 是⊙O 的直径，BC＝CD ︵ ＝DE.若∠COD＝34°，则∠AEO 的度数 是( A )
A．51° B．56° C．68° D．78° 【思路点拨】根据在等圆中，等弧所对的圆心角相等，可求 出∠BOE 的度数，进而求出∠AOE 的度数．然后在△AOE 中， 利用三角形内角和求出∠AEO 的度数．
A．3 cm B． 6 cm C．2.5 cm D． 5 cm
【解析】如图，连结 OB，设 BO＝x cm， ∵AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于点 E，BD＝ 8 cm，∴BE＝4 cm，△BEO 是直角三角形．∵AE ＝2 cm，∴OE＝(x－2)cm，∴在 Rt△BEO 中， (x－2)2＋42＝x2，解得 x＝5.∴OE＝3 cm.在 Rt△BCE 中，BE＝
（1）证明：如图，连结 DE. ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DEB＝90°. ∵E 是 AB 的中点，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B． ∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F.
（2）解：∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2 5，∴AB＝2AE＝4 5.
在 Rt△ABC 中，AC＝AB·sin B＝4 5× 55＝4， ∴BC＝ AB2－AC2＝ (4 5)2－42＝8. 设 CD＝x，则 AD＝BD＝8－x. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AC2＋CD2＝AD2， 即 42＋x2＝(8－x)2，解得 x＝3. ∴CD＝3.
A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
3．(2016·杭州)如图，已知 AC 是⊙O 的直径，点 B 在圆周上 (不与 A，C 重合)，点 D 在 AC 的延长线上，连结 BD 交⊙O 于点 E.若∠AOB＝3∠ADB，则( )
A．DE＝EB C． 3DE＝DO
B． 2DE＝EB D．DE＝OB
︵ B 只有路AB，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一 条小路 AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步(假 设 1 步为 0.5 m，结果保留整数)．(参考数据： 3≈1.732，π 取 3.142)
【解析】如图，过点 O 作 OC⊥AB，则 AC＝12AB．∵∠AOB ＝120°，半径为 20 m，∴A︵B＝1201π8×0 20＝403π，∠A＝30°， ∴OC＝10 m，AC＝10 3 m，AB＝20 3 m，∴这些市民其实仅
4 cm，CE＝OE＋OC＝8(cm)，∴BC＝ BE2＋EC2＝4 5(cm).
∵OF⊥BC，∴CF＝12BC＝2 5(cm)．在 Rt△CFO 中，OC＝5 cm， CF＝2 5 cm，∴OF＝ OC2－CF2＝ 5(cm)．故选 D．
答案：D
5．(2017·湖州)如图，已知在△ABC 中，AB＝AC．以 AB 为 ︵
(2)若 γ＝135°，CD＝3，△ABE 的面积为△ABC 面积的 4 倍， 求⊙O 半径的长．
解：当 γ＝135°时，此时图形如图②所示，∴α＝45°，β＝ 135°，∴∠BOA＝90°，∠BCE＝45°.由(1)可知，O，A，E，B 四点共圆，∴∠BEC＝90°.∵△ABE 的面积为△ABC 面积的 4 倍， ∴AAEC＝4，∴CAEC＝3.设 CE＝3x，AC＝x.
【自主解答】
方法总结： 在半圆、优弧、劣弧中求相关数量的题目，常通过连结半径， 利用圆的性质及垂径定理构造直角三角形解答．
如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC ＝5 cm，CD＝8 cm，则 AE＝( A )
A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm
考点二 弧、弦、圆心角之间的关系 ︵︵